随机过程习题第4章01.docx
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随机过程习题第4章01
随机过程习题第4章
4.1设有一泊松过程Nt,t0,求:
(1)
P,用t1、t2的函数表示之;
Nt1k,Ntk
122
(2)该过程的均值和相关函数。
问该过程是否为平稳过程?
(1)解:
首先,
PN
(t1)k,N(t)kPN(t)kN(t)kPN(t)k
122221111
根据泊松过程的独立增量性质可知
PN(t
)
2
k
2
N(t
1
)k
1
P
N
(t
2
t)
1
k
2
k
1
[
(t
2
(k
2
k
2
t)]
1
k)!
1
k
1
e
(t
2
t)
1
于是,
P
N(t)
1
k,
1
N
(t
2
)
k
2
k
2
(t
t)
2
1
k!
(k
12
k
2
k
1
k
1
)!
k
1
t
1
e
t
2
(2)解:
该过程的均值为
EN(t)
k
kk1
(t)t
tt
kete
0!
k1!
k
k1
t
根据泊松过程的独立增量过程性质可得其相关函数为(t2t1)
EN
(t)
1
N
(t
2
)
E
N(t)
1
N(t)
2
N
(t)
1
N(t
1
)
E[N
(t)]E[
1
N
(t)
2
N(t)]
1
E[
N
2
(t
1
)]
其中,
E
[N(t2)N(t1)](t2t1)
E[Nttt
2()]22
111
于是,t2t1时的相关函数为
E
2222
N(t1)N(t)t(tt)ttttt
212111121
同理可得t1t2时的相关函数为
EN
2
(tNtttt
1)()
2122
4-1
随机过程习题第4章
所以,泊松过程的相关函数为
E
2
N(tNttttt
1)()min,
21212
所以,泊松过程过程不是平稳过程。
4.2设有一个最一般概念的随机电报信号{(t)},它的定义如下:
(1)(0)是正态分布的随机变量N(0,2);
(2)时间内出现电报脉冲的个数服从泊松分布,即
k
()
P{k,}e(k=1,2,⋯)
k!
(3)不同时间的电报脉冲幅度服从正态分布N(0,2),这个脉冲幅度延伸到下
一个电报脉冲出现时保持不变,不同电报脉冲幅度的取值是相互统计独立
的,同一电报脉冲内幅度是不变的。
(4)不同时间间隔内出现电报脉冲的个数是相互统计独立的。
它的样本函数如图4-2。
(k)(t)
0
t
图4-2
(1)试求它的二元概率密度。
(2)试问该过程是否平稳?
(1)解:
设t1 ①t1和t2处于同 一脉冲内;②t1,和t2不处于同一脉冲内。 对于情况②,由于不同脉冲内的幅度取值 是相互统计独立的,因此两时刻的脉冲幅度间的联合概率密度函数为 f(t1(x1)f(t2)x2 ( ) ) 4-2 随机过程习题第4章 其中,f(t) (1)和f(t) (2)分别是(t)在t1和t2时刻的概率密度函数。 发生情况② 1x2x 的概率就是t1和t2两个时刻间的脉冲变化次数大于等于1的概率,即 k () Pr{t1t}e1e,tt 和处于不同脉冲内 21 k! k1 2 显然,t1和t2处于同一脉冲内的概率为e。 在这种情况下,两时刻的脉冲幅度间 的联合概率密度函数为 ft (1)(21 (1xxx ) ) 因此,t1和t2时刻的脉冲幅度的联合概率密度函数为 f (t) 1 (t 2 ) (x, 1 x) 2 [1e (t 2 t 1 ) ] 2 1 2 exp 2 x 1 2 2 2 x 2 e (t 2 t 1 ) 1 2 exp 2 x 1 2 2 ( x 2 x 1 ) (2).由此可见该过程是平稳过程,并且可以推导其多维PDF也是只与各时刻间的间 隔有关,因此是严平稳过程。 4.3设1、2为独立同分布随机变量,且均匀分布于(0,1)上,又设有随机过程 (t)1sin(2t) 求 (1)(t)均值; (2)(t)的相关函数 (1)解: 由于1、2是独立的,因此 E[(t)]E[1sin(2t)]E[1]E[sin(2t )] 1、2都均匀分布于(0,1)上,所以 E] [1 1 2 E[sin( t 2 )] 1 sin(t)d 022 1 cost t 于是, E[(t)] 1 cos 2t t (2)相关函数为 4-3 随机过程习题第4章 2 E[2122 ()()][)( t1tE]E[sin(tsint 21 )] 其中 E [2 1 ] 1 3 和 E[sin( t)sin 21 ( t 22 )] 1 2 1 {cos[(tt)]cos[(tt)]}d 02122122 1 sin(t 1 t 2 ) sin(t 1 t 2 ) 2 t 1 t t t 212 所以, E[ (t) 1 (t 2 )] 1 6 sin(t 1 t 1 t) 2 t 2 sin(t 1 t 1 t t 2 ) 2 4.4设(t)是实正态分布平稳随机过程,它的数学期望为0。 如定义 (t) 1 2 1 | (t) (t) (t (t ) ) | 试证明 1 E()}cos {t1k () 其中, 22C代表(t)的方 k,C()代表(t)的协方差函数,(0) ()C()/ 差。 证明: 由给出的(t)定义式可知它有两种可能的取值,即 1,(t)(t)0(t) 0,(t)(t)0 因为(t)是实正态平稳随机过程,且均值为0,所以联合正态分布为 ftt ()( ) (x,y) 2 2 1x exp 2 1r 2 2 2rxy 2 (1 r y 2 ) 2 其中, 2k rC()/() 参考《概率随机变量和随机过程》(西安电子科技大学译本)之第226至229页可以 4-4 随机过程习题第4章 得 P{(t)(t)0} 1 2 P{(t)(t)0} 1 2 其中, arcsinr 因此,(t)的均值为 E{(t)}1P{(t)(t)0}0P{(t)(t)0} 111 arccos(r)cos 2 1k [ ( )] 4.5设有随机过程(t)zsin(t),(t)。 其中,z,是相互独立的随机变 量, 1 P{}, 42 1 P{},Z均匀分布于(-1,1)之间。 试证明(t)是宽 42 平稳随机过程,但(t)不满足严平稳的条件(不满足一级严平稳的条件)。 证明: 由Z均匀分布于(-1,1)之间得 E]0,[ [zEz2 ] 1 3 并且z和相互独立。 所以,(t)的均值为 E[(t)]E[z]E[sin(t)]0 (t)的相关函数为 R[ (t) 1 (t)]E[ 2 2 z ]E[sin(t)sin(t 1 2 )] 1 3 1 2 E cos(t 1 t 2 2 ) cos(t 2 t) 1 1 6 1 2 cos(t 1 t 2 2 ) 1 2 cos(tt 1 2 2 ) cos(t 2 t) 1 1 6 cos(t 1 t) 2 由此可见,(t)的均值为常数,相关函数只与时间差t2t1有关。 因此,随机过程(t) 4-5 随机过程习题第4章 是宽平稳随机过程。 证明严平稳可以用特征函数,(t)的一维特征函数为 juzsin(t) E[e] 1 2 E Z juzsin(t) 4 [e] 1 2 E[e Z juzsin(t 4 ) ] 1 2 1 1 1 2 e juzsin(t) 4 d z 1 2 1 1 1 2 juz e sin(t ) 4 d z sin[usin(t)]sin[usin(t)] 44 jusin(t)jusin(t) 44 与时间t有关(如下图所示),因此(t)不是严平稳。 4.6设z为随机变量,为另一随机变量,z与相互统计独立,均匀分布于(0,2) 间;又设有随机过程 (t)zsin(t)(t) 其中为常数,0,试利用特征函数证明(t)是一严平稳随机过程。 证明: 因为特征函数能唯一地确定概率密度函数,若能证明(t)的k阶特征函数具有 4-6 随机过程习题第4章 时移不变性,即 (u1,u2,,uk;t1,t2,,tk)(u1,u2,,uk;t1,t2,,tk) 则其k维概率密度函数是时移不变的。 如果对于任意k都成立,则该过程是严平稳 的。 该随机过程中包含z和两个随机变量,且z与相互统计独立。 因此,其特征 函数可以分两步求解。 首先,令za,对求均值,然后再对z求均值。 由于均匀 分布于(0,2)间,即 1 f(),于是 2 kk 1 2 Ei {exp[ju(t)]za}exp[juasin(t)] iii 2 0 i1i1 d 令。 则 kk 1 2 E{exp[ju(t)]za}exp[juasin(ti)] iii 2 i1i1 d 上式中的被积函数是的周期函数,周期为2。 因此, k E{exp[j u(t)]z ii a} i1 2 0 exp[j k i1 u i asin( t i )] 1 2 d k E{exp[j u i (t)]z i a} i1 所以, kk E{i E{exp[ju(t)]z}}E{E{exp[ju(t ZiiZi i1i1 )]z}} 即 kk E{exp[j ui(t)]}E{exp[ju(t ii i )]} i1i1 由此可见,(t)的k阶特征函数具有时移不变性,即(t)为严平稳随机过程。 4.7设有一相位调制的正弦信号,其复数表示式为 4-7 随机过程习题第4章 (t)e j (t(tt )) ( ) 其中,为常数,>0,(t)是一个二级严平稳过程,设t1t(u1,u2)是过程(t)的二 2 维特征函数,即 t1(u,u)Ee t12 2 j[u 1 (t) 1 u 2 (t 2 )] 同时对于任何,0(1,0)0。 试证明过程(t)是宽平稳过程,并求它的相 关函数R(t1,t2)。 证明: 首先,(t)的均值为 jEeee tj(t)jtjt E{(,0, t)}e[1,0] tt [1,0]0 (t)的相关函数为 R (t, 1 t) 2 E{ (t) 1 (t 2 )} j(tt)j[(t)(t)] 1212 eEe e j (t 1 t) 2 [1, t,t 12 1] 因为(t)是一个二级严平稳过程,所以t(1,1)只与t1t2有关。 因此,R(t1,t2)也 1,t 2 只与t1t2有关,且其均值为常数,所以(t)是宽平稳随机过程。 4.8设有一时间离散的马尔可夫过程(n)(n0,1,2,)。 (0)具有概率密度函数 2x(0x1) f 0 (x) 0 ( 其它 ) 对于n1,2,3,,当给定(n1)x时(n)的条件概率密度均匀分布于(1-x,1)之 间。 问(n)(n1,2,)是否满足严平稳的条件? 解: 对于任意一个马尔可夫过程和任意m+1个取样点,它们的联合概率密度函数有 如下性质 m1 f(x jxfxf(xx ,)()1|) jmjjijijxfxf(xx i0 对于本题,其中的f(xi1|xi)是不随时刻i变化的。 若f(xi)也是与时刻i无关的, 4-8 随机过程习题第4章 则f(xj,,xjm)在时间轴上做任意平移时是不变的,那么该过程是严平稳的。 因此, 只需要证明f(xj)与时刻j无关。 首先, (1)的概率密度函数为 1 11 ff(y|x)f(x)dx2d2,(0 1yxxyy 11|00 y1y x 1) 由此可见, (1)的概率密度函数与(0)的概率密度函数相同。 依此类推,可得 (n)(n2,3,)的概率密度函数也与(0)的概率密度函数相同,即(n)的概率密度 函数不随时刻i变化。 因此,取样点在时间轴上做任意平移时该过程的所有有限维分 布函数是不变的,即(n)是严平稳过程。 y y 01-y1x 4.9设有两状态时间离散的马尔可夫链(n)(n=1,2,3,⋯),..(n)可取0或1,它的一 步转移矩阵为 q 1 p 1 p 2 q 2 其中, p1+q1=1,p2+q2=1 p 2 P{(0)0}, pp 12 P{(0)1} p 1 p 1 p 2 试证明该过程为严平稳过程。 证明: 对于齐次马尔可夫链,其一步转移概率与时刻无关,若其一维概率分布也与 时刻无关,则其任意维联合概率密度函数只与取样点间的时间间隔有关,而与具体 4-9 随机过程习题第4章 的时刻无关,即具有严平稳性质。 因此,对于本题只需要证明该马尔可夫链的一维 概率分布与时刻无关。 首先, (1)的概率分布为 P{ (1)0}P{ (1)0,(0)0}P{ (1)0,(0)1} P{ (1)0|(0)0}P{(0)0}P{ (1)0|(0)1}P{(0)1} qP{ 1 (0)0} pP{(0) 2 1} q 1 p 2 p 2 p 1 p 1 p 2 P{(0)0} 同理可得 P{ (1)1} ppqp 1221 p1P{(0)0}qP{(0)1}P{ 2 pp 12 (0) 1} 由于一步转移概率与时刻无关。 所以,由此可以推知 P{(n)1}P{ (1)1}P{(0)1} P{(n)0}P{ (1)0}P{(0)0} 其中,n=1,2,3,⋯。 ..所以该过程为严平稳过程。 此题的另一种解法就是先求n步转移阵,然后直接求n时刻的概率分布。 首先, 利用习题2.11的结果可得n步转移阵为 P (n) p 1 1 p 2 p 2 p 2 p(1 1 p 2 (1 p 1 p 1 n p ) 2 p) 2 n p 1 p 1 p(1 1 p 2 (1 p 1 p 1 n p ) 2 p) 2 n 于是, P{(n)1} P (n) 01 P{ (0) 0} (n) PP{ 11 ( 0) 1} [ p 1 p(1 1 p 1 p 2 n ) ] ( p 1 p 2 p 2 ) 2 [ p 1 p 2 (1 p 2 n p) 1 ] ( p 1 p 1 p) 2 2 p 1 p 1 p 2 P{(0)1} 4-10 随机过程习题第4章 同理可得, P{(n)0}P{(0)0} 所以,该过程是严平稳过程。 4.10设有相位调制的正弦过程 (t)Acos[(t(t)] 其中,为常数,>0,t,t0是泊松过程,A是对称贝努利型随机变量,即 1 P{A1}, 2 1 P{A1},A和t是相互统计独立的。 试画出其样本函数,样 2 本函数是否连续? 求(t)的相关函数R(t1,t2),问是否均方连续? 解: 设t1t2。 由给出的(t)Acos[(t(t)]可得 (t) 1 (t ) 2 2 A cos[(t(t)]cos[(t 11 (t 22 )] 2 A cos t 1 cos t 2 t 2 t 1 偶数 2 Acos t 1 cos t 2 t 2 t 1 奇数 其中, 2(t2t) 1 1e P{tt偶数} 21 2 2(t2t) 1 1e P{tt奇数} 21 2 于是, E[ (t)(t)|A 12 a] 2 a cos t 1 cos t 2 1e 2 2 (t 2 t) 1 2 a cos t
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