高三数学第二次联考试题 理 新人教A版.docx
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高三数学第二次联考试题理新人教A版
2019-2020年高三数学11月第二次联考试题理新人教A版
(满分150分)考试时间:
120分钟
一、选择题:
(本大题共8小题,每小题5分,共计40分.每小题只有一个正确答案,请把正确答案填涂在答题卡相应位置)
1.已知集合,,则
A.ΦB.RC.(0,1)D.(-∞,1)
2.命题:
“,”的否定是
A.,B.,
C.,D.,
3.设是等差数列的前项和,已知49,则的等差中项是
A.B.7C.D.
4.函数在点(0,1)处的切线的斜率是
A.B.C.2D.1
5.已知等边的边长为1,则
A.B.C.D.
6.已知角终边上一点的坐标是,则
A.B.C.D.
7.数列中,(N*,是常数),则是数列成等比数列的
A.必要不充分条件B.充分不必要条件C.充要条件D.不充分也不必要条件
8.已知向量不共线,向量,则下列命题正确的是
A.若为定值,则三点共线.
B.若,则点在的平分线所在直线上.
C.若点为的重心,则.
D.若点在的内部(不含边界),则.
二、填空题:
(本大题共6小题,每小题5分,共计30分.)
9.已知函数,则=.
10.已知函数是定义在上的奇函数,则=.
11.右图是函数的部分图象,则.
12..
13.已知,且依次成等比数列,设,则这三个数的大小关系为.
14.给出下列命题:
(1)设是两个单位向量,它们的夹角是,则;
(2)已知函数,若函数有3个零点,则0<<1;
(3)已知函数的定义域和值域都是,则=1;
(4)定义在R上的函数满足,则.
其中,正确命题的序号为.
参考答案
1、C;2、B;3、B;4、C;5、A;6、A;7、D;8、D
9、;10、0;11、;12、;13、;14、
(1)
(2)(3)
三、解答题(本大题共六个小题,共80分.解答应写出文字说明、证明过程和演算步骤)
15.(本小题满分12分)
在中,设角的对边分别为,且.
(1)求角的大小;
(2)若,,求边的大小.
解:
(1)因为,所以
………………………………4分
即,
又因为,所以,
所以,
又因为
所以.………………………………8分
(2)因为,即
所以,解得(舍),.………………………………12分
16.(本小题满分12分)
已知正项等比数列中,,且成等差数列.
(1)求数列的通项公式;
(2)设,求数列的前n项和.
解:
设等比数列的公比为q,
由成等差数列知,,
∴∵∴………………………………4分
(1)∵∴………………………………6分
(2)∵,
∴
∴……………8分
∴
∴………………………………12分
17.(本小题满分14分)
已知函数.
(1)求的值;
(2)求函数的最小正周期和单调增区间;
(3)说明的图像是如何由函数的图像变换所得.
17.解:
∵
………………………4分
(1)………………………6分
(2)的最小正周期为………………………8分
当(Z),
即(Z)时,函数单调递增,
故所求单调增区间为每一个(Z).………………………11分
(3)解法1:
把函数的图像上每一点的向右平移个单位,
再把所得图像上的每一点的横坐标缩短到原来的(纵坐标不变),
再把所得图像上的每一点的纵坐标伸长到原来的2倍(横坐标不变),
就得到函数的图像..………………………14分
解法2:
把函数的图像上每一点的横坐标缩短到原来的(纵坐标不变),
再把所得图像上的每一点的向右平移个单位,
再把所得图像上的每一点的纵坐标伸长到原来的2倍(横坐标不变),
就得到函数的图像..………………………14分
18.(本小题满分14分)
已知数列的首项,其前和为,且满足(N*).
(1)用表示的值;
(2)求数列的通项公式;
(3)对任意的N*,,求实数的取值范围.
解析:
(1)由条件得,.………………………2分
(2)由条件得,………………………3分
两式相减得,
解法1:
故,
两式再相减得,
构成以为首项,公差为6的等差数列;
构成以为首项,公差为6的等差数列;………………………………5分
由
(1)得;
由条件得,得,
从而,
………………………………9分
解法2:
设,即
则
有
时,即
………………………………9分
(3)对任意的N*,,
当时,由,有得………①;
当时,由,有
,即
若为偶数,则得………②;
若为奇数,则得………③.
由①、②、③得.…………………………………………14分
19.(本小题满分14分)
已知函数,设曲线过点,且在点处的切线的斜率等于,为的导函数,满足.
(1)求;
(2)设,,求函数在上的最大值;
(3)设,若对恒成立,求实数的取值范围.
解:
(1)求导可得………………………………………1分
∵,∴的图像关于直线对称,∴……………2分
又由已知有:
∴………………………………4分
∴………………………………………5分
(2),
………………………………………7分
其图像如图所示.
当时,,根据图像得:
(ⅰ)当时,最大值为;
(ⅱ)当时,最大值为;
(ⅲ)当时,最大值为.…………………………………10分
(3),
记,有…………………………………………11分
当时,,
只要,
实数的取值范围为,…………………………………………14分
20.(本小题满分14分)
设函数R,且为的极值点.
(1)当时,求的单调递减区间;
(2)若恰有两解,试求实数的取值范围;
(3)在
(1)的条件下,设,证明:
.
解:
由已知求导得:
,
为的极值点,,.………………2分
(1)当时,,
进而,
函数的定义域为,
的单调减区间为.………………………………4分
(2)由,得,则,,
,,
(ⅰ)当时,在递减,在递增,则的极小值为,
,,
则当时,,
又当时,,要使恰有两解,须,即.
因此,当时,恰有两解.
(ⅱ)当时,在、递增,在递减,
则的极大值为,的极小值为.
,
当时,,此时不可能恰有两解.
(ⅲ)当时,在、递增,在递减,
则的极大值为,的极小值为.
,当时,不可能恰有两解.
(ⅳ)当时,在单调递增,不可能恰有两解.
综合可得,若恰有两解,则实数的取值范围是.………………9分
(3)当时,,
即证:
.
(方法一)先证明:
当时,.
设,,
当时,,则在递减,,
,,即,
,,即.
.
令,得,
则.…………14分
(方法二)数学归纳法:
1.当时,左边=,右边=,
,,,即时,命题成立.
2.设时,命题成立,即.
当时,左边=
右边=,
要证,即证,
即证,也即证.
令,即证:
,(证法见方法一)
因此,由数学归纳法可得命题成立.…………………………………………14分
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