高中数学人教版选修21习题 第3章 空间向量与立体几何 32 第1课时 含答案.docx

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高中数学人教版选修21习题第3章空间向量与立体几何32第1课时含答案

第三章　3.2　第1课时　

一、选择题

1．若平面α、β的法向量分别为a＝、b＝（－1，2，－6），则（　　）

A．α∥β　　　　　　B．α与β相交但不垂直

C．α⊥βD．α∥β或α与β重合

[答案]　D

[解析]　∵b＝－2a，∴b∥a，∴α∥β或α与β重合．

2．直线l1、l2的方向向量分别为a＝（1,2，－2）、b＝（－2，3,2），则（　　）

A．l1∥l2B．l1与l2相交，但不垂直

C．l1⊥l2D．不能确定

[答案]　C

[解析]　∵a·b＝0，∴a⊥b，∴l1⊥l2.

3．若直线l的方向向量为a＝（1,0,2），平面α的法向量为u＝（－2,0，－4），则（　　）

A．l∥αB．l⊥α

C．l⊂αD．l与α斜交

[答案]　B

[解析]　∵u＝－2a，∴u∥a，∴l⊥α.

4．在如图所示的坐标系中，ABCD－A1B1C1D1为正方体，给出下列结论：

①直线DD1的一个方向向量为（0,0,1）；

②直线BC1的一个方向向量为（0,1,1）；

③平面ABB1A1的一个法向量为（0,1,0）；

④平面B1CD的一个法向量为（1,1,1）．

其中正确的个数为（　　）

A．1个　B．2个　

C．3个　D．4个

[答案]　C

[解析]　DD1∥AA1，＝（0,0,1）；BC1∥AD1，＝（0,1,1），直线AD⊥平面ABB1A1，＝（0,1,0）；C1点坐标为（1,1,1），与平面B1CD不垂直，∴④错．

5．已知向量a＝（2,4,5）、b＝（5，x，y）分别是直线l1、l2的方向向量，若l1∥l2，则（　　）

A．x＝6，y＝15　B．x＝3，y＝

C．x＝10，y＝15D．x＝10，y＝

[答案]　D

[解析]　∵l1∥l2，∴a∥b，

∴＝＝，∴.

6．设平面α的法向量为（1,2，－2），平面β的法向量为（－2，－4，k），若α∥β，则k＝（　　）

A．2B．－4

C．4D．－2

[答案]　C

[解析]　∵α∥β，∴＝＝，

∴k＝4，故选C.

二、填空题

7．已知A、B、C三点的坐标分别为A（1,2,3）、B（2，－1,1）、C（3，λ，λ），若⊥，则λ等于________.

[答案]　

[解析]　＝（1，－3，－2）、＝（2，λ－2，λ－3），

∵⊥，

∴·＝0，

∴2－3（λ－2）－2（λ－3）＝0，解得λ＝.

8．已知直线l的方向向量为u＝（2,0，－1），平面α的一个法向量为v＝（－2,1，－4），则l与α的位置关系为________.

[答案]　l∥α或l⊂α

[解析]　u·v＝2×（－2）＋0×1＋（－1）×（－4）＝0，∴l∥α或l⊂α.

三、解答题

9.如图，已知P是正方形ABCD所在平面外一点，M、N分别是PA、BD上的点，且PM︰MA＝BN︰ND＝5︰8.

求证：

直线MN∥平面PBC.

[证明]　＝＋＋

＝－＋＋

＝－＋＋

＝－（－）＋＋（＋）

＝－＋＝－，

∴与、共面，∴∥平面BCP，

∵MN⊄平面BCP，∴MN∥平面BCP.

10．已知三棱锥P－ABC，D、E、F分别为棱PA、PB、PC的中点，求证：

平面DEF∥平面ABC.

[证明]　证法一：

如图．

设＝a，＝b，＝c，则由条件知，＝2a，＝2b，＝2c，

设平面DEF的法向量为n，则n·＝0，n·＝0，

∴n·（b－a）＝0，n·（c－a）＝0，

∴n·＝n·（－）＝n·（2b－2a）＝0，n·＝n·（－）＝n·（2c－2a）＝0，∴n⊥，n⊥，

∴n是平面ABC的法向量，

∴平面DEF∥平面ABC.

证法二：

设＝a，＝b，＝c，则＝2a，＝2b，＝2c，

∴＝b－a，＝c－a，＝2b－2a，＝2c－2a，

对于平面ABC内任一直线l，设其方向向量为e，由平面向量基本定理知，存在唯一实数对（x，y），使e＝x＋y＝x（2b－2a）＋y（2c－2a）＝2x（b－a）＋2y（c－a）＝2x＋2y，∴e与、共面，

即e∥平面DEF，

∴l⊄平面DEF，∴l∥平面DEF.

由l的任意性知，平面ABC∥平面DEF.

一、选择题

1．下面各组向量为直线l1与l2方向向量，则l1与l2一定不平行的是（　　）

A．a＝（1,2，－2）、b＝（－2，－4,4）

B．a＝（1,0,0）、b＝（－3,0,0）

C．a＝（2,3,0）、b＝（4,6,0）

D．a＝（－2,3,5）、b＝（－4,6,8）

[答案]　D

[解析]　l1与l2不平行则其方向向量一定不共线．

A中：

b＝－2a，B中：

b＝－3a，C中：

b＝2a.故选D.

2．（2015·甘肃天水一中高二期末测试）两个不重合平面的法向量分别为v1＝（1,0，－1）、v2＝（－2,0,2），则这两个平面的位置关系是（　　）

A．平行B．相交不垂直

C．垂直D．以上都不对

[答案]　A

[解析]　∵v1＝（1,0，－1），v2＝（－2,0,2），

∴v2＝－2v1，∴v1∥v2，

∴两个平面平行．

3．已知点A（4,1,3）、B（2，－5,1），C为线段AB上一点且＝，则点C的坐标为（　　）

A．（，－，）B．（，－3,2）

C．（，－1，）D．（，－，）

[答案]　C

[解析]　∵C在线段AB上，∴∥，∴设C（x，y，z），则由＝得，（x－4，y－1，z－3）＝（2－4，－5－1，1－3），

即，解得.

故选C.

4．对于任意空间向量a＝（a1，a2，a3）、b＝（b1，b2，b3），给出下列三个命题：

①a∥b⇔＝＝；

②若a1＝a2＝a3＝1，则a为单位向量；

③a⊥b⇔a1b1＋a2b2＋a3b3＝0.

其中真命题的个数为（　　）

A．0　B．1　

C．2　D．3

[答案]　B

[解析]　由＝＝⇒a∥b，反之不一定成立，故①不正确；②显然错误；③是正确的，故选B.

二、填空题

5．过点A（1,0,0）、B（0,1,0）、C（0,0,1）的平面的一个法向量为________.

[答案]　（1,1,1）

[解析]　设法向量n＝（x，y,1），

由，得，∴.

∴n＝（1,1,1）．

6．在空间直角坐标系O－xyz中，已知A（1，－2,3）、B（2,1，－1），若直线AB交平面xOz于点C，则点C的坐标为________.

[答案]　（，0，）

[解析]　设点C的坐标为（x,0，z），则＝（x－1,2，z－3），＝（1,3，－4），因为与共线，所以＝＝，解得，所以点C的坐标为（，0，）．

三、解答题

7．设a、b分别是不重合的直线l1、l2的方向向量，根据下列条件判断l1，l2的位置关系；

（1）a＝（4,6，－2）、b＝（－2，－3,1）；

（2）a＝（5,0,2）、b＝（0,1,0）；

（3）a＝（－2，－1，－1）、b＝（4，－2，－8）．

[解析]　

（1）∵a＝（4,6，－2）、b＝（－2，－3,1），

∴a＝－2b，∴a∥b，∴l1∥l2.

（2）∵a＝（5,0,2）、b＝（0,1,0），

∴a·b＝0，a⊥b，∴l1⊥l2.

（3）∵a＝（－2，－1，－1），b＝（4，－2，－8），

∴a与b不共线也不垂直．

∴l1与l2相交或异面．

8．在正四棱锥P－ABCD中，底面正方形边长为3，棱锥的侧棱长为5，E、F、G分别为BC、CD、PC的中点，用向量方法证明下列问题.

（1）EF⊥PA；

（2）EF∥平面PBD；

（3）直线PA与平面EFG不平行．

[解析]　设AC与BD的交点为O，∵P－ABCD为正四棱锥，∴PO⊥平面ABCD，且AC⊥BD，

以O为原点，OB，OC、OP分别为x轴、y轴、z轴建立空间直角坐标系，

∵正方形ABCD边长为3，∴OB＝OC＝3，

又PC＝5，∴OP＝4，

∴A（0，－3,0）、B（3,0,0）、C（0,3,0）、D（－3,0,0）、P（0，0,4）．

（1）∵E、F分别为BC、CD的中点，∴E（，，0）、F（－，，0），∴＝（－3,0,0）、＝（0，－3，－4），·＝0，∴EF⊥PA.

（2）显然＝（0,3,0）为平面PBD的一个法向量，

∵·＝0，∴EF∥平面PBD.

（3）∵G为PC中点，∴G（0，，2），设平面EFG的法向量为n＝（x，y，z），则n·＝0，n·＝0，

∴，∴.

取n＝（0,1,0），∵n·＝－3≠0，∴PA与平面EFG不平行．