勾股定理难题+提高.docx
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勾股定理难题+提高
评卷人
得分
一、选择题
1.下列四组线段中,可以构成直角三角形的是()
A.4,5,6B.3,4,5C.2,3,4D.1,2,3
2.给出下列命题:
①在直角三角形ABC中,已知两边长为3和4,则第三边长为5;②三角形的三边a、b、c满足
,则∠C=90°;③△ABC中,若∠A:
∠B:
∠C=1:
5:
6,则△ABC是直角三角形;④△ABC中,若a:
b:
c=1:
2:
,则这个三角形是直角三角形.其中,假命题的个数为()
A.1个B.2个C.3个D.4个
3.如图,如果把△ABC的顶点A先向下平移3格,再向左平移1格到达A′点,连接A′B,则线段A′B与线段AC的关系是()
A.垂直B.相等C.平分D.平分且垂直
4.下面说法正确的是个数有()
①如果三角形三个内角的比是1∶2∶3,那么这个三角形是直角三角形;
②如果三角形的一个外角等于与它相邻的一个内角,则这么三角形是直角三角形;
③若三角形的三条高的交点恰好是三角形的一个顶点,那么这个三角形是直角三角形;
④如果∠A=∠B=
∠C,那么△ABC是直角三角形;
⑤若三角形的一个内角等于另两个内角之差,那么这个三角形是直角三角形;
⑥在
ABC中,若∠A+∠B=∠C,则此三角形是直角三角形。
A3个B4个C5个D6个
5.如图,△ABC中,AB=AC=5,BC=6,M为BC的中点,MN⊥AC于N点,则MN=()
A.
B.
C.
D.
6.下列各组数中,是勾股数的是( )
A.14,36,39
B.8,24,25
C.8,15,17
D.10,20,26
7.(2013贵州安顺)如图,有两棵树,一棵高10米,另一棵高4米,两树相距8米,一只小鸟从一棵树的树梢飞到另一棵树的树梢,则小鸟至少飞行( )
A.8米
B.10米
C.12米
D.14米
8.如图,四边形ABCD中,AB=AD,AD∥BC,∠ABC=60°,∠BCD=30°,BC=6,那么△ACD的面积是( )
A.
B.
C.2
D.
第II卷(非选择题)
请点击修改第II卷的文字说明
评卷人
得分
二、新添加的题型
评卷人
得分
三、解答题
9.在Rt△ABC中,∠CAB=90°,AB=AC.
(1)如图①,过点A在△ABC外作直线MN,BM⊥MN于M,CN⊥MN于N.①判断线段MN、BM、CN之间有何数量关系,并证明;
②若AM=
,BM=
,AB=
,试利用图①验证勾股定理
=
;
(2)如图②,过点A在△ABC内作直线MN,BM⊥MN于M,CN⊥MN于N,判断线段MN、BM、CN之间有何数量关系?
(直接写出答案)
10.(6分)小王剪了两张直角三角形纸片,进行了如下的操作:
操作一:
如图1,将Rt△ABC沿某条直线折叠,使斜边的两个端点A与B重合,折痕为DE.
(1)如果AC=6cm,BC=8cm,可求得△ACD的周长为;
(2)如果∠CAD:
∠BAD=4:
7,可求得∠B的度数为;
操作二:
如图2,小王拿出另一张Rt△ABC纸片,将直角边AC沿直线AD折叠,
使它落在斜边AB上,且与AE重合,若AC=9cm,BC=12cm,请求出CD的长.
11.如图,有一块直角三角形纸片,两直角边AC=5cm,BC=12cm,现将直角边AC沿直线AD折叠,使它恰好落在斜边AB上,且与AE重合,求CD的长.
12.如图,学校B前面有一条笔直的公路,学生放学后走AB,BC两条路可到达公路,经测量BC=6km,BA=8km,AC=10km,现需修建一条路使学校到公路距离最短,请你帮助学校设计一种方案,并求出所修路的长.
13.如图,△ABC中,∠ACB=90°,AC=9,BC=12,求Rt△ABC中斜边AB上的高CD.
14.阅读理解题:
如图,在△ABC中,AD是BC边上的中线,且AD=
BC.
求证:
∠BAC=90°.
15.如图是用硬纸板做成的四个全等的直角三角形(两直角边长分别是a、b,斜边长为c)和一个正方形(边长为c).请你将它们拼成一个能验证勾股定理的图形.
(1)画出拼成的这个图形的示意图;
(2)用
(1)中画出的图形验证勾股定理.
16.课间,小明拿着老师的等腰三角板玩,不小心掉到两墙之间,如图.
(1)求证:
△ADC≌△CEB;
(2)从三角板的刻度可知AC=25cm,请你帮小明求出砌墙砖块的厚度a的大小(每块砖的厚度相等).
17.(10分)如图,在△ABC中,AB=13,BC=10,BC边上的中线AD=12.
(1)AD平分∠BAC吗?
请说明理由.
(2)求:
△ABC的面积.
评卷人
得分
四、填空题
18.直角三角形两边长分别为3厘米、4厘米,则第三边的长为。
19.一个直角三角形的两边长分别为9和40,则第三边长的平方是.
20.若一个直角三角形的两边的长分别为
、
,且满足
,则第三边的长为___________.
21.已知
则由此
为三边的三角形是三角形
22.△ABC的三边长分别为m2-1,2m,m2+1,则最大角为________.
23.在长方形纸片ABCD中,AD=3cm,AB=9cm,按如图方式折叠,使点B与点D重合,折痕为EF,则DE=.
24.如图,在Rt△ABC中,∠ABC是直角,AB=3,BC=4,P是BC边上的动点,设BP=x,若能在AC边上找到一点Q,使∠BQP=90°,则x的取值范围是.
25.如图,OP=1,过P作PP1⊥OP且PP1=1,得
;再过P1作P1P2⊥OP1且P1P2=1,得
;又过P2作P2P3⊥OP2且P2P3=1,得OP3=2……依此法继续作下去,得OP2012=________.
评卷人
得分
五、计算题
参考答案
1.B.
【解析】
试题分析:
A.42+52≠62,不能构成直角三角形,故不符合题意;
B.32+42=52,能构成直角三角形,故符合题意;
C.22+32≠42,不能构成直角三角形,故不符合题意;
D.12+22≠32,不能构成直角三角形,故不符合题意.
故选B.
考点:
勾股数.
2.B
【解析】
试题分析:
命题①中若4是直角边,则第三边长为5,若4为斜边,则第三边长为
,故错误;命题②中应该是∠B=90°,故错误;命题③、④均正确;故假命题有2个;
故选B.
考点:
真命题与假命题.
3.D
【解析】
试题分析:
先根据题意画出图形,再利用勾股定理结合网格结构即可判断线段A′B与线段AC的关系:
如图,将点A先向下平移3格,再向左平移1格到达A′点,连接A′B,与线段AC交于点O.
∵A′O=OB=
,AO=OC=2
,
∴线段A′B与线段AC互相平分,
又∵∠AOA′=45°+45°=90°,
∴A′B⊥AC,
∴线段A′B与线段AC互相垂直平分.
故选D.
考点:
1.网格问题;2.平移的性质;3.勾股定理.
4.D.
【解析】
试题分析:
①∵三角形三个内角的比是1:
2:
3,
∴设三角形的三个内角分别为x,2x,3x,
∴x+2x+3x=180°,解得x=30°,
∴3x=3×30°=90°,
∴此三角形是直角三角形,故本小题正确;
②∵三角形的一个外角与它相邻的一个内角的和是180°,
∴若三角形的一个外角等于与它相邻的一个内角,则此三角形是直角三角形,故本小题正确;
③∵直角三角形的三条高的交点恰好是三角形的一个顶点,
∴若三角形的三条高的交点恰好是三角形的一个顶点,那么这个三角形是直角三角形,故本小题正确;
④∵∠A=∠B=
∠C,
∴设∠A=∠B=x,则∠C=2x,
∴x+x+2x=180°,解得x=45°,
∴2x=2×45°=90°,
∴此三角形是直角三角形,故本小题正确;
⑤∵三角形的一个外角等于与它不相邻的两内角之和,三角形的一个内角等于另两个内角之差,
∴三角形一个内角也等于另外两个内角的和,
∴这个三角形中有一个内角和它相邻的外角是相等的,且外角与它相邻的内角互补,
∴有一个内角一定是90°,故这个三角形是直角三角形,故本小题正确;
⑥∵三角形的一个外角等于与它不相邻的两内角之和,又一个内角也等于另外两个内角的和,
由此可知这个三角形中有一个内角和它相邻的外角是相等的,且外角与它相邻的内角互补,
∴有一个内角一定是90°,故这个三角形是直角三角形,故本小题正确.
故选D.
考点:
1.三角形内角和定理;2.三角形的外角性质.
5.C.
【解析】
试题分析:
连接AM,
∵AB=AC,点M为BC中点,
∴AM⊥CM,BM=CM,
∵AB=AC=5,BC=6,
∴BM=CM=3,
在Rt△ABM中,AB=5,BM=3,
∴根据勾股定理得:
AM=
,
又S△AMC=
MN•AC=
AM•MC,
∴MN=
.
故选C.
考点:
1.勾股定理;2.等腰三角形的性质.
6.C
【解析】满足a2+b2=c2的三个正整数a,b,c是勾股数,因为82+152=289,172=289,所以82+152=172,即8、15、17为勾股数.同理可判断其余三组数均不是勾股数.
7.B
【解析】如图,设大树高为AB=10米,小树高为CD=4米,过C点作CE⊥AB于E,则四边形EBDC是矩形.连接AC,则EB=CD=4米,EC=8米,AE=AB-EB=10-4=6(米).
在Rt△AEC中,
米.
8.A.
【解析】
试题分析:
如图,过点A作AE⊥BC于E,过点D作DF⊥BC于F.
设AB=AD=x.
又∵AD∥BC,
∴四边形AEFD是矩形形,
∴AD=EF=x.
在Rt△ABE中,∠ABC=60°,则∠BAE=30°,
∴BE=
AB=
x,
∴DF=AE=
=
x,
在Rt△CDF中,∠FCD=30°,则CF=DF•cot30°=
x.
又BC=6,
∴BE+EF+CF=6,即
x+x+
x=6,
解得x=2
∴△ACD的面积是:
AD•DF=
x×
x=
×22=
.
故选A.
考点:
1.勾股定理2.含30度角的直角三角形.
9.
(1)证明见解析;
(2)MN=BM-CN.
【解析】
试题分析:
(1)①利用已知得出∠MAB=∠ACN,进而得出△MAB≌△NCA,进而得出BM=AN,AM=CN,即可得出线段MN、BM、CN之间的数量关系;
②利用S梯形MBCN=S△MAB+S△ABC+S△NCA=
ab+
c2+
ab,S梯形MBCN=
(BM+CN)×MN=
(a+b)2,进而得出答案;
(2)利用已知得出∠MAB=∠ACN,进而得出△MAB≌△NCA,进而得出BM=AN,AM=CN,即可得出线段MN、BM、CN之间的数量关系.
试题解析:
(1)①MN=BM+CN;
理由:
∵∠MAB+∠NAC=90°,∠ACN+∠NAC=90°,
∴∠MAB=∠ACN,
在△MAB和△NCA中
,
∴△MAB≌△NCA(AAS),
∴BM=AN,AM=CN,
∴MN=AM+AN=BM+CN;
②由①知△MAB≌△NCA,
∴CN=AM=a,AN=BM=b,AC=BC=c,
∴MN=a+b,
∵S梯形MBCN=S△MAB+S△ABC+S△NCA=
ab+
c2+
ab,S梯形MBCN=
(BM+CN)×MN=
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