高三数学下学期第一次模拟考试试题 理I.docx
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高三数学下学期第一次模拟考试试题理I
2019-2020年高三数学下学期第一次模拟考试试题理(I)
本试卷分第Ⅰ卷(选择题)和第Ⅱ卷(非选择题)两部分.共150分,考试时间120分钟.第Ⅰ卷1至2页,第Ⅱ卷3至9页.
祝各位考生考试顺利!
第Ⅰ卷
注意事项:
1.答第Ⅰ卷前,考生务必将自己的姓名、准考证号、考试科目涂在答题卡上;
2.每小题选出答案后,用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动,用橡皮擦干净后,再选涂其它答案标号.
3.本卷共8小题,每小题5分,共40分.
一、选择题:
在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的.
(1)i是虚数单位,满足(1+2i)z=–3+4i的复数z=().
(A)1–2i(B)–+2i
(C)1+2i(D)–4+2i
(2)已知集合A={1,a},B={1,2,3},则“A⊆B”是“a=3”的().
(A)充分不必要条件(B)必要不充分条件
(C)充要条件(D)既不充分也不必要条件
(3)以下茎叶图记录了在一次数学模拟考试中甲、乙两组各五名学生的成绩(单位:
分).
甲组
乙组
5
8
9
x 2
10
6 y 9
7 4
11
5
已知甲组数据的中位数为106,乙组数据的平均数为105.4,则x,y的值分别为().
(A)5,7(B)6,8
(C)6,9(D)8,8
(4)执行如图所示的程序框图,若输入n的值为4,则输出s的值为().
(A)4(B)6
(C)7(D)11
(5)已知实数x,y满足约束条件则x–3y>0的概率是().
(A)(B)
(C)(D)
(6)已知双曲线–=1(a>0,b>0)与抛物线y2=4cx(其中c=)交于A,B两点,若|AB|=4c,则双曲线的离心率为().
(A)(B)2
(C)(D)+1
(7)如图,已知AB为⊙O的直径,C、F为⊙O上的两点,OC⊥AB,过点F作⊙O的切线FD交AB的延长线于点D,连结CF交AB于点E.若AB=6,ED=4,则EF=().
(A)2(B)
(C)(D)
(8)在△ABC中,D为边BC上一点,tan∠BAD=,tan∠CAD=,AB=AC,BC=3,则AD=().
(A)(B)
(C)2(D)
南开区2015~2016学年度第二学期高三年级总复习质量检测
(一)
答题纸(理工类)
题号
二
三
总分
(15)
(16)
(17)
(18)
(19)
(20)
得分
第Ⅱ卷
注意事项:
1.用黑色墨水的钢笔或签字笔答题;
2.本卷共12小题,共110分.
得分
评卷人
二、填空题:
本大题共6个小题,每小题5分,共30分.请将答案填在题中横线上。
(9)设f(x)为定义在R上的奇函数,若当x>0时,f(x)=3x+1,则f(log3)=.
(10)一个棱长为的正方体被一个平面截去一部分后,剩余部分的三视图如图所示,则此剩余部分的体积为.
(11)若a=,则(x–)6的二项展开式中的常数项为(用数字作答).
(12)已知在平面直角坐标系xOy中,直线l的参数方程为:
(t为参数),以Ox为极轴建立极坐标系,圆C的极坐标方程为:
=2cos,则圆C上的点到直线l距离的最小值为.
(13)在等腰梯形ABCD中,已知AB∥DC,AC与BD交于点M,AB=2CD=4.若•=–1,则cos∠BMC=.
(14)已知函数f(x)=若函数g(x)=a–|f(x)|有四个零点x1,x2,x3,x4,且x1<x2<x3<x4,则x1+x2x3+x2x4的取值范围是.
三、解答题:
(本大题共6个小题,共80分.解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤)
得分
评卷人
(15)(本小题满分13分)
已知函数f(x)=2cosxcos(x+)+2sin2x(>0)的最小正周期为.
(Ⅰ)求的值和函数f(x)的单调增区间;
(Ⅱ)求函数f(x)在区间上的取值范围.
得分
评卷人
(16)(本小题满分13分)
某家电商场开展购物抽奖促销活动,顾客购物满500元即可获得一次抽奖机会,若每10张券中有一等奖券1张,可获价值100元的奖品;有二等奖券3张,每张可获价值50元的奖品;其余6张没有奖,某顾客从这10张券中任抽2张,求:
(Ⅰ)该顾客中奖的概率;
(Ⅱ)该顾客获得的奖品总价值(元)的概率分布列和期望E.
得分
评卷人
(17)(本小题满分13分)
已知在直三棱柱ABC-A1B1C1中,AB⊥BC,且AA1=2AB=2BC=2,E,M分别是CC1,AB1的中点.
(Ⅰ)证明:
EM∥平面ABC;
(Ⅱ)求直线A1E与平面AEB1所成角的正弦值;
(Ⅲ)求二面角B-EM-B1的余弦值.
得分
评卷人
(18)(本小题满分13分)
设Sn为数列{an}的前n项和,且Sn=n2,数列{bn}为等比数列.已知a1b1+a2b2+a3b3+…+anbn=(n–1)•3n+1+3.
(Ⅰ)求数列{an},{bn}的通项公式;
(Ⅱ)设(an+1)•log3bn+2•cn=1,求证:
数列{cn}的前n项和Tn<.
得分
评卷人
(19)(本小题满分14分)
椭圆C:
(a>b>0)的两焦点为F1(–c,0),F2(c,0),椭圆的上顶点M满足•=0.
(Ⅰ)求椭圆C的离心率e;
(Ⅱ)若以点N(0,2)为圆心,且与椭圆C有公共点的圆的最大半径为.
(ⅰ)求此时椭圆C的方程;
(ⅱ)椭圆C上是否存在两点A,B关于直线l:
y=kx–1(k≠0)对称,若存在,求出k的取值范围;若不存在,请说明理由.
得分
评卷人
(20)(本小题满分14分)
已知函数f(x)=xlnx–x+1.
(Ⅰ)求曲线f(x)在点(1,f
(1))处的切线方程;
(Ⅱ)若函数g(x)=af(x)–x2(a∈R)在其定义域内有两个不同的极值点,求a的取值范围;
(Ⅲ)在(Ⅱ)的条件下,记两个极值点分别为x1,x2,且x1<x2.若不等式a<mx1+(1–m)x2(m>0)恒成立,求m的取值范围.
南开区高三一模
数学试卷(理工类)参考答案
一、选择题:
题号
(1)
(2)
(3)
(4)
(5)
(6)
(7)
(8)
答案
C
B
B
C
A
D
D
B
二、填空题:
(9)–6;(10)5;(11)15;
(12)–1;(13);(14)[–5,–4]
三、解答题:
(其他正确解法请比照给分)
(15)解:
(Ⅰ)f(x)=–2sinxcosx+1–cos2x…………2分
=–sin2x–cos2x+1
=–2sin(2x+)+1…………4分
∵函数f(x)的最小正周期为T==,
∴=1.…………5分
∴f(x)=–2sin(2x+)+1.
由2k+≤2x+≤2k+,
得k+≤x≤k+,
∴函数f(x)的单调增区间为[k+,k+],k∈Z.…………8分
(Ⅱ)∵≤x≤,
∴f(x)在区间[,]单调递增,在区间[,]单调递减,…………10分
f()=–2sin+1=0,f()=–2sin+1=3,f()=–2sin+1=0,
因此f(x)的取值范围为[0,3].…………13分
(16)解:
(Ⅰ)P=1–=1–=,即该顾客中奖的概率为.…………4分
(Ⅱ)的所有可能值为:
0,50,100,150(元).…………5分
P(=0)===,P(=50)===,
P(=100)===,P(=150)===,
0
50
100
150
P
所以的分布列为
…………11分
的数学期望E()=0×+50×+100×+150×=50.…………13分
(17)解:
在直三棱柱ABC-A1B1C1中,BB1⊥AB,BB1⊥BC,
又∵AB⊥BC,
∴AB⊥平面BCC1B1.…………1分
如图,以点B为原点,,,分别为x轴、y轴、z轴正方向,
建立空间直角坐标系,则B(0,0,0),C(1,0,0),B1(0,2,0),
A(0,0,1),C1(1,2,0),A1(0,2,1).…………3分
(Ⅰ)∵E,M分别是CC1,AB1的中点,
∴E(1,1,0),M(0,1,),
∴=(–1,0,).
易知平面ABC的法向量为m=(0,2,0),
∵·m=0,∴⊥m.
又∵EM⊄平面ABC,∴EM∥平面ABC.…………6分
(Ⅱ)=(0,2,–1),=(–1,1,0),=(–1,1,1).
设n1=(x1,y1,z1)为面AEB1的法向量,则n1·=n1·=0,
即取y1=1,则x1=1,z1=2,从而n1=(1,1,2),
设直线A1E与平面AEB1所成角为,
则sin=|cos<,n1>|===,
即直线A1E与平面AEB1所成角的正弦值为.…………10分
(Ⅲ)=(1,1,0),=(0,1,).
设n2=(x2,y2,z2)为面BEM的法向量,则n2·=n2·=0,
即取z2=2,则x2=1,y2=–1,从而n2=(1,–1,2),
∴cos
由图形可知所求二面角的平面角为钝角,
∴二面角B-EM-B1的余弦值为–.…………13分
(18)解:
(Ⅰ)当n≥2时,∵an=Sn–Sn–1=n2–(n–1)2=2n–1,
n=1时,a1=S1=1,满足上式,
∴an=2n–1.…………3分
∵a1b1+a2b2+a3b3+…+anbn=(n–1)•3n+1+3,
∴a1b1=3,a1b1+a2b2=30,
解得b1=3,b2=9.
∴{bn}的通项公式为bn=3n.…………6分
(Ⅱ)∴(an+1)•log3bn+2•cn=2n(n+2)•cn=1,
∴cn==(–)…………9分
∴Tn=(1–)+(–)+(–)+(–)
+…+(–)+(–)
=(1+––)=–(+)<.…………13分
(19)解:
(Ⅰ)∵•=(c,b)•(–c,b)=–c2+b2=0,
∴b=c,从而a=c,
∴椭圆C的离心率e==.…………3分
(Ⅱ)①由(Ⅰ)可得椭圆C的方程为.
设P(x,y)是椭圆上任一点,依题意,|PN|的最大值为,
则|PN|2=x2+(y–2)2=(2b2–2y2)+(y–2)2=–(y+2)2+2b2+8(–b≤y≤b).
(ⅰ)若b≥2,则y=–2时,|PN|max==,
∴b=3,此时椭圆方程为.………………7分
(ⅱ)若0<b<2,则y=–b时,|PN|max=b+2=,
∴b=–2>2,矛盾.
综上得椭圆方程为.………………9分
②设直线AB的方程为x=–ky+m,
联立方程组
化简得:
(k2+2)
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- 高三数学下学期第一次模拟考试试题 理I 数学 下学 第一次 模拟考试 试题
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