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方程专题57版
列方程专题
一、一元一次方程与二元一次方程组
典例1、剃须刀由刀片和刀架组成.某时期,甲、乙两厂家分别生产老式剃须刀(刀片不可更换)和新式剃须刀(刀片可更换).有关销售策略与售价等信息如下表所示:
新式剃须刀
老式剃须刀
刀架
刀片
售价
2.5(元/把)
1(元/把)
0.55(元/片)
成本
2(元/把)
5(元/把)
0.05(元/片)
某段时间内,甲厂家销售了8400把剃须刀,乙厂家销售的刀片数量是刀架数量的50倍,乙厂家获得的利润是甲厂家的两倍,问这段时间内乙厂家销售了多少把刀架?
多少片刀片?
解:
设乙厂家销售了x把刀架,则刀片数量为50x
(1-5)x+(0.55-0.05)×50x
=2×8400×(2.5-2),
即21x=8400,得x=400,∴50x=20000.
答:
这段时间内乙厂家销售了400把刀架,20000片刀片.
典例2、某同学在A、B两家超市发现他看中的随身听的单价相同,书包单价也相同,随身听和书包单价之和是452元,且随身听的单价比书包单价的4倍少8元.
①求该同学看中的随身听和书包单价各是多少元?
②某一天该同学上街,恰好赶上商家促销,超市A所有商品打八折销售,超市B全场购物满100元返购物券30元销售(不足100元不返券,购物券全场通用),但他只带了400元钱,如果他只在一家超市购买看中的这两样物品,你能说明他可以选择哪一家购买吗?
若两家都可以选择,在哪一家购买更省钱?
解:
(1)设书包的单价为x元,则随身听的单价为(4x-8)元.根据题意,得
4x-8+x=452,解这个方程得x=92.
4x-8=4×92-8=360(元).
(2)在超市A购买随身听与书包需花费现金:
452×80%=361.6(元)
因为361.6<400,所以能够在超市A购买.
在超市B可先花费360元购买随身听,再利用得到的90元返券,加上2元现金购买书包,总计共花费现金360+2=362(元).
因为362<400,所以也能够在超市B购买.
典例3、(2013•黄冈)为支援四川雅安地震灾区,某市民政局组织募捐了240吨救灾物资,现准备租用甲、乙两种货车,将这批救灾物资一次性全部运往灾区,它们的载货量和租金如下表:
甲种货车
乙种货车
载货量(吨/辆)
45
30
租金(元/辆)
400
300
如果计划租用6辆货车,且租车的总费用不超过2300元,求最省钱的租车方案.
解答:
解:
设租用甲种货车x辆,则租用乙种6﹣x辆,
根据题意得出:
45x+30(6﹣x)≥240,
解得:
x≥4,
则租车方案为:
甲4辆,乙2辆;甲5辆,乙1辆;甲6辆,乙0辆;
租车的总费用分别为:
4×400+2×300=2200(元),5×400+1×300=2300(元),
6×400=2400(元)>2300(不合题意舍去),
故最省钱的租车方案是租用甲货车4辆,乙货车2辆.
4.某渔场计划购买甲、乙两种鱼苗共6000尾,甲种鱼苗每尾0.5元,乙种鱼苗每尾0.8元.相关资料表明:
甲、乙两种鱼苗的成活率分别为90%和95%.
(1)若购买这批鱼苗共用了3600元,求甲、乙两种鱼苗各购买了多少尾?
(2)若购买这批鱼苗的钱不超过4200元,应如何选购鱼苗?
(3)若要使这批鱼苗的成活率不低于93%,且购买鱼苗的总费用最低,应如何选购鱼苗?
解:
(1)设购买甲种鱼苗x尾,则购买乙种鱼苗
尾,由题意得:
,解这个方程,得:
∴
答:
甲种鱼苗买4000尾,乙种鱼苗买2000尾.
(2)由题意得:
,解这个不等式,得:
,即购买甲种鱼苗应不少于2000尾.
(3)设购买鱼苗的总费用为y,则
,由题意,有
,解得:
,在
中,∵
,∴y随x的增大而减少.∴当
时,
.即购买甲种鱼苗2400尾,乙种鱼苗3600尾时,总费用最低.
学生练习,不讲
1、某商品按成本价提高40%后标价,再打8折(标价的80%)销售,售价240元,设这件商品的成本为x元,根据题意,可列方程:
__________.
解:
(1+40%)x
0.8=240
2、某小学在6月1日组织师生共110人到趵突泉公园游览.趵突泉公园规定:
成人票价每位40元,学生票价每位20元.该校购票共花费2400元.在这次游览活动中,教师和学生各有多少人?
3、(2012年四川凉山州)雅西高速公路于2012年4月29日正式通车,西昌到成都全长420千米,一辆小汽车和一辆客车同时从西昌、成都两地相向开出,经过2.5小时相遇.相遇时,小汽车比客车多行驶70千米,设小汽车和客车的平均速度分别为x千米/小时和y千米/小时,则下列方程组正确的是( D )
A.x+y=70,2.5x+2.5y=420)B.x-y=70,2.5x+2.5y=420)
C.x+y=70,2.5x-2.5y=420)D.2.5x+2.5y=420,2.5x-2.5y=70)
4、夏季,为了节约用电,常对空调采取调高设定温度和清洗设备两种措施.某宾馆先把甲、乙两种空调的设定温度都调高1℃,结果甲种空调比乙种空调每天多节电27度;再对乙种空调清洗设备,使得乙种空调每天的总节电量是只将温度调高1℃后的节电量的1.1倍,而甲种空调节电量不变,这样两种空调每天共节电405度.求只将温度调高1℃后两种空调每天各节电多少度?
设乙将温度调高一度后每天节电X度,则甲将温度调高一度后每天节电X+27度
(X+27)+1.1X=405
2.1X+27=405
2.1X=378
X=180
X+27=180+27=207
答:
将温度调高一度后乙每天节电180,甲每天节电207度
因为362>361.6,所以在超市A购买更省钱.
答:
(1)随身听和书包的单价分别为360元、92元.
(2)在超市A购买更省钱.
5、夏季来临,天气逐渐炎热起来,某商店将某种碳酸饮料每瓶的价格上调了10%,将某种果汁饮料每瓶的价格下调了5%,已知调价前买这两种饮料个一瓶共花费7元,调价后买上述碳酸饮料3瓶和果汁饮料2瓶共花费17.5元,问这两种饮料在调价前每瓶各多少元?
解答:
解:
设这两种饮料在调价前每瓶各x元、y元,根据题意得:
,
解得:
.
答:
调价前这种碳酸饮料每瓶的价格为3元,这种果汁饮料每瓶的价格为4元.
6、某商场用2500元购进A、B两种新型节能台灯共50盏,这两种台灯的进价、标价如下表所示.
类型
价格
A型
B型
进价(元/盏)
40
65
标价(元/盏)
60
100
(1)这两种台灯各购进多少盏?
(2)在每种台灯销售利润不变的情况下,若该商场计划销售这批台灯的总利润不少于1400元,问至少需购进B种台灯多少盏?
解:
(1)设
型台灯购进
盏,
型台灯购进
盏.…………………….……1分
根据题意,得
2分
解得:
3分
(2)设购进B种台灯m盏.
根据题意,得
解得,
4分
答:
型台灯购进30盏,
型台灯购进20盏;要使销售这批台灯的总利润不少于
1400元,至少需购进B种台灯27盏.…………………………………………………5分
7.(本题同鱼苗那题)据统计某外贸公司2007年、2008年的进出口贸易总额分别为3300万元和3760万元,其中2008年的进口和出口贸易额分别比2007年增长20%和10%.
(1)试确定2007年该公司的进口和出口贸易额分别是多少万元;
(2)2009年该公司的目标是:
进出口贸易总额不低于4200万元,其中出口贸易额所占比重不低于60%,预计2009年的进口贸易额比2008年增长10%,则为完成上述目标,2009年的出口贸易额比2008年至少应增加多少万元?
解:
设2007年进口贸易额为x万元、出口贸易额为y万元
则:
∴2007年进口贸易额为1300万元、出口贸易额为2000万元
(2)设2009年的出口贸易额比2008年至少增加z万元
由2008年的进口贸易额是:
1300(1+20%)=1560万元
2008年的出口贸易额是:
2000(1+10%)=2200万元
则:
解得
所以z≥374,即2009年的出口贸易额比2008年至少增加374万元.……………10分
二、分式方程
典例讲解
1、(讲)(09青岛)北京奥运会开幕前,某体育用品商场预测某品牌运动服能够畅销,就用32000元购进了一批这种运动服,上市后很快脱销,商场又用68000元购进第二批这种运动服,所购数量是第一批购进数量的2倍,但每套进价多了10元.
(1)该商场两次共购进这种运动服多少套?
(2)如果这两批运动服每套的售价相同,且全部售完后总利润率不低于20%,那么每套售价至少是多少元?
(利润率
)
解:
(1)设第一次买进X件衣服,则第二次买进2X件,
依题意:
32000/x=68000/(2x)-10,解之得:
X=200,则两次共购进600套。
(2)设单价=X
600X=(32000+68000)*(1+0.2),解之得:
X=200,
所以每套售价至少200元~~
2、苏州地处太湖之滨,有丰富的水产养殖资源,水产养殖户李大爷准备进行大闸蟹与河虾的混合养殖,他了解到如下信息:
①每亩水面的年租金为500元,水面需按整数亩出租;
②每亩水面可在年初混合投放4公斤蟹苗和20公斤虾苗;
③每公斤蟹苗的价格为75元,其饲养费用为525元,当年可获1400元收益;
④每公斤虾苗的价格为15元,其饲养费用为85元,当年可获160元收益;
(1)若租用水面n亩,则年租金共需__________元;
(2)水产养殖的成本包括水面年租金、苗种费用和饲养费用,求每亩水面蟹虾混合养殖的年利润(利润=收益-成本);
(3)李大爷现在奖金25000元,他准备再向银行贷不超过25000元的款,用于蟹虾混合养殖.已知银行贷款的年利率为8%,试问李大爷应该租多少亩水面,并向银行贷款多少元,可使年利润超过35000元?
解:
(1)若租用水面n亩,则年租金共需500*n元;
(2)每亩水面蟹虾混合养殖的成本:
500+4kg*75+4kg*525+20kg*15+20kg*85=4900
每亩水面蟹虾混合养殖的年利润
(4kg*1400+20kg*160)-(500+4kg*75+4kg*525+20kg*15+20kg*85)=8800-4900=3900元
(3)年利润35000元至少需要租用35000元\3900元=8.9亩租9亩
9亩需要资金9*(500+4kg*75+4kg*525+20kg*15+20kg*85)=44100元
则还缺:
44100-25000=19100元
贷款本息和:
19100×1.08=20628元,不超25000元。
最后答案是:
李大爷应该租9亩水面,并向银行贷款约19100元,加上利息为20628元(贷款数不超25000元),可使年利润超过35000元.
学生练习:
1、某书店老板去图书批发市场购买某种图书.第一次用1200元购书若干本,并按该书定价7元出售,很快售完.由于该书畅销,第二次购书时,每本书的批发价已比第一次提高了20%,他用1500元所购该书数量比第一次多10本.当按定价售出200本时,出现滞销,便以定价的4折售完剩余的书.试问该老板这两次售书总体上是赔钱了,还是赚钱了(不考虑其它因素)?
若赔钱,赔多少?
若赚钱,赚多少?
解:
设第一次购书的进价为
元,根据题意得:
解得:
x=5
经检验x=5都是原方程的解
所以第一次购书为
(本).
第二次购书为
(本)
第一次赚钱为
(元)
第二次赚钱为
(元)
所以两次共赚钱
(元)
答:
该老板两次售书总体上是赚钱了,共赚了520元.
2、国务院决定从2009年2月1日起,在全国范围内实施“家电下乡”,农民购买入选产品,政府按原价总额的13%给予补贴返还,某村委会组织部分农民到商场购买入选的同一型号的冰箱.电视机两种家电,已知购买冰箱的数量是电视机的2倍,且按原价购买冰箱总额为40000元,电视机总额为15000元.根据“家电下乡”优惠政策,每台冰箱补贴返还的金额比每台电视机补贴返还的金额多65元,求冰箱、电视机各购买多少台?
解:
可以设购买的电视机数为x,则冰箱的数量就为2x,得方程为:
15000/x*13%+65=40000/x*13%,最后算得x=10,所以购买的电视机为10台,冰箱为20台。
3、(2012•泰安)一项工程,甲,乙两公司合做,12天可以完成,共需付施工费102000元;如果甲,乙两公司单独完成此项工程,乙公司所用时间是甲公司的1.5倍,乙公司每天的施工费比甲公司每天的施工费少1500元.
(1)甲,乙两公司单独完成此项工程,各需多少天?
(2)若让一个公司单独完成这项工程,哪个公司的施工费较少?
解:
(1)设甲公司单独完成此项工程需x天,则乙公司单独完成此项工程需1.5x天.
根据题意,得
+
=
,
解得x=20,
经检验知x=20是方程的解且符合题意.
1.5x=30
故甲,乙两公司单独完成此项工程,各需20天,30天;
(2)设甲公司每天的施工费为y元,则乙公司每天的施工费为(y﹣1500)元,
根据题意得12(y+y﹣1500)=102000解得y=5000,
甲公司单独完成此项工程所需的施工费:
20×5000=100000(元);
乙公司单独完成此项工程所需的施工费:
30×(5000﹣1500)=105000(元);
故甲公司的施工费较少.
4.(8分)小明7∶20离开家步行去上学,走到距离家500米的商店时,买学习用品用了5分钟.从商店出来,小明发现要按原来的速度还要用30分钟才能到校.为了在8∶00之前赶到学校,小明加快了速度,每分钟平均比原来多走25米,最后他到校的时间是7∶55.求小明从商店到学校的平均速度.
设小明原来上学平均速度为x则
500/x+30x/(x+25)=30
x=50因此,小明从商店到学校的平均速度为50+25=75米/分钟
5、(2013•郴州)乌梅是郴州的特色时令水果.乌梅一上市,水果店的小李就用3000元购进了一批乌梅,前两天以高于进价40%的价格共卖出150kg,第三天她发现市场上乌梅数量陡增,而自己的乌梅卖相已不大好,于是果断地将剩余乌梅以低于进价20%的价格全部售出,前后一共获利750元,求小李所进乌梅的数量.
解答:
解:
设小李所进乌梅的数量为xkg,根据题意得:
•40%150﹣(x﹣150)•
•20%=750,
解得:
x=200,
经检验x=200是原方程的解,
答:
小李所进乌梅的数量为200kg.
6、某市在道路改造过程中,需要铺设一条长为1000米的管道,决定由甲、乙两个工程队来完成这一工程.已知甲工程队比乙工程队每天能多铺设20米,且甲工程队铺设350米所用的天数与乙工程队铺设250米所用的天数相同.
(1)甲、乙工程队每天各能铺设多少米?
(2)如果要求完成该项工程的工期不超过10天,那么为两工程队分配工程量(以百米为单位)的方案有几种?
请你帮助设计出来.
(1)解:
设甲工程队每天能铺设
米,则乙工程队每天能铺设(
)米.
根据题意得:
.2分
解得
.
检验:
是原分式方程的解.
答:
甲、乙工程队每天分别能铺设
米和
米.4分
(2)解:
设分配给甲工程队
米,则分配给乙工程队(
)米.
由题意,得
解得
.6分
所以分配方案有3种.
方案一:
分配给甲工程队
米,分配给乙工程队
米;
方案二:
分配给甲工程队
米,分配给乙工程队
米;
方案三:
分配给甲工程队
米,分配给乙工程队
米.8分
7、某工厂准备加工600个零件,在加工了100个零件后,采取了新技术,使每天的工作效率是原来的2倍,结果共用7天完成了任务,求原来每天加工多少个?
设:
原来每天加工X个零件,采取了新技术后每天加工2X个零件。
100/X+(600-100)/(2X)=7
(100个用旧技术花的时间+500个用新技术花的时间=总时间)
100/X+250/X=7解得X=50
答:
原来每天加工50个
8、在四川省发生地震后,成都运往汶川灾区的物资须从西线或南线运输,西线的路程约800千米,南线的路程约80千米,走南线的车队在西线车队出发18小时后立刻启程,结果两车队同时到达.已知两车队的行驶速度相同,求车队走南线所用的时间.
解:
设队走南线所用的时间为x小时,则走西线所用的时间为(x+18)小时.
依题意,得800/18+x=80/x,
解得x=2.
检验,x=2是原方程的解.
答:
车队走南线所用的时间为2小时.
9、今年以来受各种因素的影响,猪肉的市场价格仍在不断上升.据调查,今年5月份一级猪肉的价格是1月份猪肉价格的1.25倍.小英同学的妈妈同样用20元钱在5月份购得一级猪肉比在1月份购得的一级猪肉少0.4斤,那么今年1月份的一级猪肉每斤是多少元?
解:
设一月份的一级猪肉每斤x元,则
5月份的一级猪肉每斤1.25x20/x—20/1.25x=0.4x=10
经检验x=10符合题意答。
。
。
。
。
。
。
三、 一元二次方程
典例讲解
1、某农场去年种植了10亩地的南瓜,亩产量为2000
,根据市场需要,今年该农场扩大了种植面积,并且全部种植了高产的新品种南瓜,已知南瓜种植面积的增长率是亩产量的增长率的2倍,今年南瓜的总产量为60000kg,求南瓜亩产量的增长率.
解:
设南瓜亩产量的增长率为
,则种植面积的增长率为
.1分
根据题意,得
.4分
解这个方程,得
,
(不合题意,舍去).6分
答:
南瓜亩产量的增长率为
.7分
2、某花圃用花盆培育某种花苗,经过实验发现每盆的盈利与每盆的株树构成一定的关系,每盆植3株时,平均单株盈利4元:
以同样的栽培条件,若每盆每增加1株,平均单株盈利就减少0.5元。
要使每盆的盈利达到14元,且尽可能地减少成本,每盆应该植多少株
解:
(1)平均单株盈利×株数=每盆盈利,
(2)平均单株盈利=4-0.5×每盆增加的株数;
解法1(函数法)
解:
设每盆花苗增加x株时,每盆的盈利为y元,根据题意得可得:
y=(x+3)(4-0.5x),
当y=14时,(x+3)(4-0.5x)=14,
解这个方程得:
x1=1,x2=4,
答:
要使每盆的盈利达到14元,每盆应该植入4或7株;
解法2(列分式方程)
解:
设每盆花苗增加x株时,每盆盈利14元,根据题意,得:
14/(x+3)=4-0.5x,
解这个方程得:
x1=1,x2=4,
经检验,x1=1,x2=4都是所列方程的解,
答:
要使每盆的盈利达到14元,每盆应该植入4或7株
学生练习:
1、商场某种新商品每件进价是120元,在试销期间发现,当每件商品售价为130元时,每天可销售70件,当每件商品售价高于130元时,每涨价1元,日销售量就减少1件.据此规律,请回答:
(1)当每件商品售价定为170元时,每天可销售多少件商品?
商场获得的日盈利是多少?
(2)在上述条件不变.商品销售正常的情况下,每件商品的销售价定为多少元时,商场日盈利可达到1600元?
(提示:
盈利=售价-进价)
解:
(1)当每件商品售价为170元时,比每件商品售价130元高出40元,
即170-130=40(元),
则每天可销售商品30件,即70-40=30(件),
商场可获日盈利为(170-120)×30=1500(元).
答:
每天可销售30件商品,商场获得的日盈利是1500元.
(2)设商场日盈利达到1600元时,每件商品售价为x元,
则每件商品比130元高出(x-130)元,每件可盈利(x-120)元
每日销售商品为70-(x-130)=200-x(件)
依题意得方程(200-x)(x-120)=1600
整理,得x2-320x+25600=0,即(x-160)2=0
解得x=160
答:
每件商品售价为160元时,商场日盈利达到1600元.
3、某商品原售价289元,经过连续两次降价后售价为256元,设平均每次降价的百分率为x,则依据题意,可列方程__________________.
解:
289×(1-x)²=256
4、2009年,A市在省财政补助的基础上投入600万元用于“改水工程”,计划以后每年以相同的增长率投资,2010年该市计划投资“改水工程”1176万元。
(1)求A市投资“改水工程”的年平均增长率;
(2)从2009年到2010年,A市三年共投资“改水工程”多少万元?
解:
(1)600*(1+x)^2=1176其中x=0.4、-2.4(舍去)平均年增长率40%
(2)y=600+600*(1+0.4)+1176=2616三年总投资
不等式、一次函数应用题
1、2010潍坊某中学的高中部在
校区,初中部在
校区,学校学生会计划在3月12日植树节当天安排部分学生到郊区公园参加植树活动.已知
校区的每位高中学生往返车费是6元,每人每天可栽植5棵树;
校区的每位初中学生往返车费是10元,每人每天可栽植3棵树.要求初高中均有学生参加,且参加活动的初中学生比参加活动的高中学生多4人,本次活动的往返车费总和不得超过210元.要使本次活动植树最多,初高中各有多少学生参加?
最多植树多少棵?
解:
设参加活动的高中学生为
人,则初中学生为
人,根据题意,得:
2分
∴
∴
所以,参加活动的高中学生最多为10人.5分
设本次活动植树
棵,则
关于高中学生数
的函数关系式为
即:
7分
∴
的值随
的值增大而增大.
∵参加活动的高中学生最多为10人,
∴当
时,
答:
应安排高中学生10人,初中学生14人,最多植树92棵.9分
信息图象类的题目(泰安市未出过此类题)
一列快车从甲地驶往乙地,一列慢车从乙地驶往甲地,两车同时出发,设慢车行驶的时间为
,两车之间的距离为
,图中的折线表示
与
之间的函数关系.
根据图象进行以下探究:
信息读取
(1)甲、乙两地之间的距离为km;
(2)请解释图中点
的实际意义;
图象理解
(3)求慢车和快车的速度;
(4)求线段
所表示的
与
之间的函数关系式,并写出自变量
的取值范围;
问题解决
(5)若第二列快车也从甲地出发驶往乙地,速度与第一列快车相同.在第一列快车与慢车相遇30分钟后,第二列快车与慢车相遇.求第二列快车比第一列快车晚出发多少小时?
28.(本题10分)
解:
(1)900;1分
(2)图中点
的实际意义是:
当慢车行驶4h时,慢车和快车相遇.2分
(3)由图象可知,慢车12h行驶的路程为900km,
所以慢车的速度为
;3分
当慢车行驶4h时,慢车和快车相遇,两车行驶的路程之和为900km,所以慢车和快车行驶的速度之和为
,所以快车的速度为150km/h.4分
(4)根据题意,快车行驶900km到达乙地,所以快车行驶
到达乙地,此时两车之间的距离为
,所以点
的坐标为
.
设线段
所表示的
与
之间的函数关系式为
,把
,
代入得
解得
所以,线段
所表示的
与
之间的函数关系式为
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- 方程 专题 57