第10讲 导数及其运算学生版.docx

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第10讲导数及其运算学生版

第十讲导数及其运算

1．导数与导函数的概念

（1）函数y＝f（x）在x＝x0处的瞬时变化率是

＝

，我们称它为函数y＝f（x）在x＝x0处的导数，记作，即f′（x0）＝

＝

.

（2）如果函数y＝f（x）在开区间（a，b）内的每一点处都有导数，其导数值在（a，b）内构成一个新函数，这个函数称为函数y＝f（x）在开区间内的导函数．记作f′（x）或y′.

2．导数的几何意义

函数y＝f（x）在点x0处的导数的几何意义，就是曲线y＝f（x）在点P（x0，f（x0））处的切线的斜率k，即k＝

3．基本初等函数的导数公式

基本初等函数

导函数

f（x）＝c（c为常数）

f′（x）＝0

f（x）＝xα（α∈Q*）

f′（x）＝αxα－1

f（x）＝sinx

f′（x）＝cos_x

f（x）＝cosx

f′（x）＝－sin_x

f（x）＝ex

f′（x）＝ex

f（x）＝ax（a>0，a≠1）

f′（x）＝axln_a

f（x）＝lnx

f′（x）＝

f（x）＝logax（a>0，a≠1）

f′（x）＝

4.导数的运算法则

若f′（x），g′（x）存在，则有

（1）[f（x）±g（x）]′＝；

（2）[f（x）·g（x）]′＝；

（3）[

]′＝（g（x）≠0）．

5．复合函数的导数

复合函数y＝f（g（x））的导数和函数y＝f（u），u＝g（x）的导数间的关系为yx′＝，即y对x的导数等于的导数与的导数的乘积．

【思考辨析】

判断下面结论是否正确（请在括号中打“√”或“×”）

（1）f′（x0）与（f（x0））′表示的意义相同．（　　）

（2）求f′（x0）时，可先求f（x0）再求f′（x0）．（　　）

（3）曲线的切线不一定与曲线只有一个公共点．（　）

（4）与曲线只有一个公共点的直线一定是曲线的切线．（　　）

（5）函数f（x）＝sin（－x）的导数是f′（x）＝cosx．（　　）

1．（教材改编）f′（x）是函数f（x）＝

x3＋2x＋1的导函数，则f′（－1）的值为（　　）

A．0B．3C．4D．－

2．如图所示为函数y＝f（x），y＝g（x）的导函数的图象，那么y＝f（x），y＝g（x）的图象可能是（　　）

3．有一机器人的运动方程为s＝t2＋

（t是时间，s是位移），则该机器人在时刻t＝2时的瞬时速度为（　　）

A.

B.

C.

D.

4．设函数f（x）的导数为f′（x），且f（x）＝f′（

）sinx＋cosx，则f′（

）＝________.

5．（2015·陕西）设曲线y＝ex在点（0,1）处的切线与曲线y＝

（x＞0）上点P处的切线垂直，则P的坐标为________．

题型一　导数的运算

例1　求下列函数的导数：

（1）y＝（3x2－4x）（2x＋1）；

（2）y＝x2sinx；

（3）y＝3xex－2x＋e；

（4）y＝

；

（5）y＝ln（2x－5）．

（1）f（x）＝x（2016＋lnx），若f′（x0）＝2017，则x0等于（　　）

A．e2B．1

C．ln2D．e

（2）若函数f（x）＝ax4＋bx2＋c满足f′

（1）＝2，则f′（－1）等于（　　）

A．－1B．－2

C．2D．0

题型二　导数的几何意义

命题点1　已知切点的切线方程问题

例2　

（1）函数f（x）＝

的图象在点（1，－2）处的切线方程为（　　）

A．2x－y－4＝0B．2x＋y＝0

C．x－y－3＝0D．x＋y＋1＝0

（2）曲线y＝e－2x＋1在点（0,2）处的切线与直线y＝0和y＝x围成的三角形的面积为________．

命题点2　未知切点的切线方程问题

例3　

（1）与直线2x－y＋4＝0平行的抛物线y＝x2的切线方程是（　　）

A．2x－y＋3＝0B．2x－y－3＝0

C．2x－y＋1＝0D．2x－y－1＝0

（2）（2015·威海质检）已知函数f（x）＝xlnx，若直线l过点（0，－1），并且与曲线y＝f（x）相切，则直线l的方程为（　　）

A．x＋y－1＝0B．x－y－1＝0

C．x＋y＋1＝0D．x－y＋1＝0

命题点3　和切线有关的参数问题

例4　已知f（x）＝lnx，g（x）＝

x2＋mx＋

（m<0），直线l与函数f（x），g（x）的图象都相切，且与f（x）图象的切点为（1，f

（1）），则m等于（　　）

A．－1B．－3C．－4D．－2

命题点4　导数与函数图象的关系

例5　如图，点A（2,1），B（3,0），E（x,0）（x≥0），过点E作OB的垂线l.记△AOB在直线l左侧部分的面积为S，则函数S＝f（x）的图象为下图中的（　　）

（1）已知函数f（x）＝3x＋cos2x＋sin2x，a＝f′（

），f′（x）是f（x）的导函数，则过曲线y＝x3上一点P（a，b）的切线方程为（　　）

A．3x－y－2＝0

B．4x－3y＋1＝0

C．3x－y－2＝0或3x－4y＋1＝0

D．3x－y－2＝0或4x－3y＋1＝0

（2）若直线y＝2x＋m是曲线y＝xlnx的切线，则实数m的值为________．

1．求曲线的切线方程条件审视不准致误

典例　（12分）若存在过点O（0,0）的直线l与曲线y＝x3－3x2＋2x和y＝x2＋a都相切，求a的值．

[方法与技巧]

1．f′（x0）代表函数f（x）在x＝x0处的导数值；（f（x0））′是函数值f（x0）的导数，而函数值f（x0）是一个常数，其导数一定为0，即（f（x0））′＝0.

2．对于函数求导，一般要遵循先化简再求导的基本原则．在实施化简时，首先必须注意变换的等价性，避免不必要的运算失误．

3．未知切点的曲线切线问题，一定要先设切点，利用导数的几何意义表示切线的斜率建立方程．

[失误与防范]

1．利用公式求导时要特别注意除法公式中分子的符号，防止与乘法公式混淆．复合函数的导数要正确分解函数的结构，由外向内逐层求导．

2．求曲线切线时，要分清在点P处的切线与过P点的切线的区别，前者只有一条，而后者包括了前者．

3．曲线的切线与曲线的交点个数不一定只有一个，这和研究直线与二次曲线相切时有差别．

A组　专项基础训练

（时间：

35分钟）

1．已知函数f（x）的导函数为f′（x），且满足f（x）＝2xf′

（1）＋lnx，则f′

（1）等于（　　）

A．－eB．－1C．1D．e

2．已知曲线y＝lnx的切线过原点，则此切线的斜率为（　　）

A．eB．－eC.

D．－

3．已知f1（x）＝sinx＋cosx，fn＋1（x）是fn（x）的导函数，即f2（x）＝f1′（x），f3（x）＝f2′（x），…，fn＋1（x）＝fn′（x），n∈N*，则f2016（x）等于（　　）

A．－sinx－cosxB．sinx－cosx

C．－sinx＋cosxD．sinx＋cosx

4．（2014·课标全国Ⅱ）设曲线y＝ax－ln（x＋1）在点（0,0）处的切线方程为y＝2x，则a等于（　　）

A．0B．1

C．2D．3

5．已知y＝f（x）是可导函数，如图，直线y＝kx＋2是曲线y＝f（x）在x＝3处的切线，令g（x）＝xf（x），g′（x）是g（x）的导函数，则g′（3）等于（　　）

A．－1B．0C．2D．4

6．已知曲线y＝

，则曲线的切线斜率取得最小值时的直线方程为（　　）

A．x＋4y－2＝0B．x－4y＋2＝0

C．4x＋2y－1＝0D．4x－2y－1＝0

7．在平面直角坐标系xOy中，若曲线y＝ax2＋

（a，b为常数）过点P（2，－5），且该曲线在点P处的切线与直线7x＋2y＋3＝0平行，则a＋b的值是______．

8．已知函数f（x）＝x3－3x，若过点A（0,16）且与曲线y＝f（x）相切的直线方程为y＝ax＋16，则实数a的值是________．

9．已知曲线y＝x3＋x－2在点P0处的切线l1平行于直线4x－y－1＝0，且点P0在第三象限．

（1）求P0的坐标；

（2）若直线l⊥l1，且l也过切点P0，求直线l的方程．

10．设函数f（x）＝ax－

，曲线y＝f（x）在点（2，f

（2））处的切线方程为7x－4y－12＝0.

（1）求f（x）的解析式；

（2）证明：

曲线y＝f（x）上任一点处的切线与直线x＝0和直线y＝x所围成的三角形的面积为定值，并求此定值．

B组　专项能力提升

（时间：

20分钟）

11．已知函数f（x）＝

＋1，g（x）＝alnx，若在x＝

处函数f（x）与g（x）的图象的切线平行，则实数a的值为（　　）

A.

B.

C．1D．4

12．曲边梯形由曲线y＝x2＋1，y＝0，x＝1，x＝2所围成，过曲线y＝x2＋1（x∈[1,2]）上一点P作切线，使得此切线从曲边梯形上切出一个面积最大的普通梯形，则这一点的坐标为（　　）

A.

B.

C.

D.

13．若函数f（x）＝

x2－ax＋lnx存在垂直于y轴的切线，则实数a的取值范围是________．

14．已知曲线f（x）＝xn＋1（n∈N*）与直线x＝1交于点P，设曲线y＝f（x）在点P处的切线与x轴交点的横坐标为xn，则log2016x1＋log2016x2＋…＋log2016x2015的值为________．

15．已知函数f（x）＝ax3＋3x2－6ax－11，g（x）＝3x2＋6x＋12和直线m：

y＝kx＋9，且f′（－1）＝0.

（1）求a的值；

（2）是否存在k，使直线m既是曲线y＝f（x）的切线，又是曲线y＝g（x）的切线？

如果存在，求出k的值；如果不存在，请说明理由．