《现代控制理论》第版课后习题答案.docx
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《现代控制理论》第版课后习题答案
《现代控制理论参考答案》
第一章答案
1-1试求图1-27系统的模拟结构图,并建立其状态空间表达式。
解:
系统的模拟结构图如下:
系统的状态方程如下:
令(s)y,则y捲
所以,系统的状态空间表达式及输出方程表达式为
1-2有电路如图1-28所示。
以电压U(t)为输入量,求以电感中的电流和电容上的电压作为状态变量的
状态方程,和以电阻R2上的电压作为输出量的输出方程。
解:
由图,令i1
X1,i2
X2,UcX3,输出量yR2X2
?
R11
?
X1
■—X1—X3■—U
R1x1
L1为x3u
L1L1L1
?
?
R21
有电路原理可知:
L2X2
R2X2X3
既得
X2
X2X3
L2L2
?
?
11
X1X2CX3X3X1X2
CC
yR2x2
写成矢量矩阵形式为:
1-4两输入",U2,两输出y1,y2的系统,其模拟结构图如图1-30所示,试求其状态空间表达式
和传递函数阵。
解:
系统的状态空间表达式如下所示:
1-5系统的动态特性由下列微分方程描述
列写其相应的状态空间表达式,并画出相应的模拟结构图。
解:
令X1y,X2y,X3
y,则有
相应的模拟结构图如下:
1-6
(2)已知系统传递函数
W(s)
6(s1)
2,试求出系统的约旦标准型的实现,并画出相应
s(s
2)(s
3)
的模拟结构图
10
1
解:
W(s)6(S1)2
4
亠、2
3
33
s(s2)(s3)
(s
3)
s3
s2s
1-7给定下列状态空间表达式
X1
0
10
X1
0
X2
2
30
X2
1u
X3
1
13
X3
2
c
X1
y
00
1x2
X3
(1)
画出其模拟结构图
(2)
求系统的传递函数
解:
s
10
(2)
W(s)
(SIA)
2
s30
1
1s3
1-8求下列矩阵的特征矢量
010
(3)A
3
0
2
12
7
6
解:
A的特征方程
10
IA32
1276
解之得:
1
1,2
2,
3
3
0
1
0
P11
P11
当
二1
1时,
3
0
2
p21
P21
12
7
6
P31
P31
P11
1
解得:
p21
P31P1
1
令
P111
得
P
P21
1
P31
1
P11
1
(或令
P11
1,得R
p21
1)
p31
1
0
1
0
P12
P12
当当1
2时,
3
0
2
P22
2P22
12
7
6
P32
P32
Pl2
解得:
P22
2P12,P32
1
P12
2
令P12
2
得
F2P22
P32
P12
1
(或令
P121
,得卩2
P22
2)
1
P32
—
2
01
0
P13
P13
当
二1
3时,
30
2
P233
P23
1276
P33
P33
P13
解得:
P23
3P13,P33
3P13
令P13
1
得
1~3P23
p33
%
4
1
2
X1
3
X2
1
0
2
X2
2
X3
1
1
3
X3
5
(2)
X1
y1
1
2
0
X2
y2
0
1
1
X3
1-9将下列状态空间表达式化成约旦标准型
(并联分解)
1
7u
3
41
2
1
2
(1)(3)20
11
3
解:
A的特征方程|A
412pii
当13时,102P21
113p31
解之得P21P31P11令P11
4
1
2
P11
23时,1
0
2
P21
1
1
3
P31
P11
3P21
P31
P111
1得RP211
P311
P111
3P211
P311
p12
解之得
p12
p22
1,p22
p32
令P121
得
l~2p22
p32
4
12
P13
P13
当
当3
1时,
1
02
P23
P23
1
13
P33
P33
P13
解之得
p13
0,
p23
2p33
令P331
得
P3P23
p33
约旦标准型
1-10已知两系统的传递函数分别为Wi(s)和W2(s)
试求两子系统串联联结和并联连接时,系统的传递函数阵,并讨论所得结果解:
(1)串联联结
(2)并联联结1-11(第3版教材)已知如图1-22所示的系统,其中子系统1、2的传递函数阵分别为求系统的闭环传递函数
解:
1-11(第2版教材)已知如图1-22所示的系统,其中子系统1、2的传递函数阵分别为
求系统的闭环传递函数
解:
1-12已知差分方程为
试将其用离散状态空间表达式表示,并使驱动函数u的系数b(即控制列阵)为
1
(1)b
1
解法1:
解法2:
得T111所以
01
1
求T,使得TB
1
所以,状态空间表达式为
第二章习题答案
2-4用三种方法计算以下矩阵指数函数eAt
1
(2)A=
4
解:
第一种方法:
,即
求解得到1
13时,
特征矢量
P1
P11
AP1
1
1
P113pn
1P1
,得,
1
4
P213p21
P11
p21
3Pn
可令
1
p1
4Pn
P21
3p21
2
2
1时,
特征矢量
P2
P12
P21
由
即
当
P22
AP2
1
2p2,得
4
p12
p12
p22
p22
p12
4p12
p22
p22
p12
p22
,可令
P2
第二种方法,
第三种方法,
即拉氏反变换法:
即凯莱一哈密顿定理
2e七
2te
2e*
2et
(3)
t
te
2te
2e2t
te
1
t
3t
1t
3t
—
e
e
e
e
2
4
(4)
t
t
3t
1t
3t
e
e
e
e
解:
(3)因为
I,所以该矩阵满足状态转移矩阵的条件
(4)因为0
I,所以该矩阵满足状态转移矩阵的条件
2-6求下列状态空间表达式的解:
2.2所示,试求离散化的状态空间表达式。
设采样周期分别为T=0.1s和1s,而Ui和U2
At
初始状态
X0
1
,输入ut时单位阶跃函数。
1
0
1
解:
A
0
0
因为B
0
,utIt
1
2-9有系统如图
为分段常数。
图2.2系统结构图
解:
将此图化成模拟结构图列出状态方程则离散时间状态空间表达式为
eAtdtB得:
当T=1时
xk
xk
k1e1
ke1
当T=0.1时
xk
0.1
e
0.1
1e
xk
ke0.1
第三章习题
3-1判断下列系统的状态能控性和能观测性。
系统中
有关,若有关,其取值条件如何?
1)系统如图3.16所示:
解:
由图可得:
状态空间表达式为:
由于X2、X3、X4与u无关,因而状态不能完全能控,
因而系统为不完全能观的,为不能观系统。
3)系统如下式:
解:
如状态方程与输出方程所示,A为约旦标准形。
0.1
0.9
uk
0
uk
0.1
a,b,c,d的取值对能控性和能观性是否
为不能控系统。
由于y只与X3有关,
要使系统能控,控制矩阵b中相对
于约旦块的最后一行元素不能为0,故有a0,b0。
要使系统能观,则C中对应于约旦块的第一列元素不全为0,故有c0,d0
3-2时不变系统
试用两种方法判别其能控性和能观性。
解:
方法一:
1
1
1,T-12
2
-1,1
1
2
2
CT中没有全为
0的列,系统可观
方法二:
将系统化为约旦标准形。
1
T
1
T-1B中有全为零的行,系统不可控。
3-3确定使下列系统为状态完全能控和状态完全能观的待定常数i和i
解:
构造能控阵:
要使系统完全能控,则112,即1210
构造能观阵:
要使系统完全能观,则121,即1210
3-4设系统的传递函数是
(1)当a取何值时,系统将是不完全能控或不完全能观的?
(2)当a取上述值时,求使系统的完全能控的状态空间表达式
(3)当a取上述值时,求使系统的完全能观的状态空间表达式
系统能控且能观的条件为W(s)没有零极点对消。
因此当a=1,或a=3或a=6时,系统为不能控或不能观。
方法2:
系统能控且能观的条件为矩阵C不存在全为0的列。
因此当a=1或a=3或a=6时,系统为不能控或不能观。
(2)当a=1,a=3或a=6时,系统可化为能控标准I型
(3)根据对偶原理,当a=1,a=2或a=4时,系统的能观标准II型为3-6已知系统的微分方程为:
y6y11y6y6u
试写出其对偶系统的状态空间表达式及其传递函数。
解:
a。
6,ai11,a26,a33,b°6
系统的状态空间表达式为
传递函数为
其对偶系统的状态空间表达式为:
传递函数为W(s)飞』
s36s211s6
3-9已知系统的传递函数为
试求其能控标准型和能观标准型。
2
解:
W(s)
s6s82s5
1
s4s3s4s3
系统的能控标准I型为
能观标准II型为
3-10给定下列状态空间方程,试判别其是否变换为能控和能观标准型。
0
1
0
0
解:
A2
3
0,
b
1,C
001
1
1
3
2
3-11试将卜列系统按能控性进行分解
1
2
1
0
(1)
A0
1
0,b
0
C1
11
0
4
3
1
解:
0
1
4
M
bAb
A2b
0
0
0
rankM=2<3,系统不是元全能控的
1
3
9
0
1
0
构造奇异变换阵Rc:
R1b0,R2Ab
0,R3
1,其中R3是任意的,只要满
1
3
0
足Rc满秩
0
1
0
3
0
1
即Rc0
0
1得R
C
1
0
0
1
3
0
0
1
0
3-12试将下列系统按能观性进行结构分解
1
2
1
0
(1)
A0
1
0
b
0
C
111
0
4
3
1
1
2
1
0
解:
由已知得
A
0
1
0
b
0,C111
0
4
3
1
C
1
1
1
则有
NCA
2
3
2
CA1
4
7
4
rankN=2<3,该系统不能观
111
构造非奇异变换矩阵Ro1,有R01232
001
311
则R0210
001
3-13试将下列系统按能控性和能观性进行结构分解
1
0
0
1
(1)A2
2
3,b
2
C
112
2
0
1
2
111
解:
由已知得
M
AAb
Ab2
21226
202
rankM=3,则系统能控
rankN=3,则系统能观
所以此系统为能控并且能观系统
002
1323
则A105,BTc2b
014
3-14求下列传递函数阵的最小实现
4-
(1)
系统能控不能观
CCcRo
0
1
0
0
)&3
4
0x
1u,y
001x
2
1
2
0
则rankM=2<3,所以系统不完全能控。
当2得输出y2是1的输入
U1时
0
1
1
0
&3
4
1x
0u,y
210x
0
0
2
1
0
01
因为MbAbA2b
0
16
124
rankM=3则系统能控
c210
因为NcA321
2
cA654
rankN=2<3则系统不能观
(2)!
和2并联
0
1
0
0
&3
4
0x
1u,y211x
0
0
2
1
因为rankM=3,所以系统完全能控
因为rankN=3,所以系统完全能观
现代控制理论第四章习题答案
5-1判断下列二次型函数的符号性质:
222
(1)Q(x)x13x211x32X|X2x2x32x1x3
222
(2)v(x)x-i4x2x32x(x26x2x32^X3
解:
(1)由已知得
71
4
11
因此Q(x)是负定的
(2)由已知得
1
1
1
11
30,3
1
4
3
143
1
3
1
16
110,2
因此Q(x)不是正定的
4-2已知二阶系统的状态方程:
试确定系统在平衡状态处大范围渐进稳定的条件。
A的特征值均具有
解:
方法
(1):
要使系统在平衡状态处大范围渐进稳定,则要求满足负实部。
即:
有解,且解具有负实部。
即:
ana220^且ana22a12a21
atppaq。
方法
(2):
系统的原点平衡状态Xe0为大范围渐近稳定,等价于
p1p2
p2l~22
则带入atppaq,得到
2a11
a12
0
2a21
a11a22
2a12
a21
2a22
4(ana22)(a“a22盹玄?
"0,贝吐匕方程组有唯一解。
即
其中detAA
a11a22a12a21
要求P正定,则要求
因此a11a220,且detA0
4-3试用lyapunov第二法确定下列系统原点的稳定性。
11
(1)&x
23
/、11
(2)&x
11
解:
(1)系统唯一的平衡状态是x0。
选取Lyapunov函数为V(x)x;x;0,贝U
?
V(x)是负定的。
x,有V(x)。
即系统在原点处大范围渐近稳定。
(2)系统唯一的平衡状态是x0。
选取Lyapunov函数为V(x)x;x;0,贝U
?
V(x)是负定的。
x,有V(x)。
即系统在原点处大范围渐近稳定。
4-6设非线性系统状态方程为:
试确定平衡状态的稳定性。
解:
若采用克拉索夫斯基法,则依题意有:
取PI
很明显,Q(x)的符号无法确定,故改用李雅普诺夫第二法。
选取Lyapunov函数为
V(x)x:
x|0,则
V(x)是负定的。
x,有V(x)。
即系统在原点处大范围渐近稳定。
4-9设非线性方程:
试用克拉索夫斯基法确定系统原点的稳定性。
解:
(1)
采用克拉索夫斯基法
,依题意有:
|x||
,有V(x)
。
取PI
则Q(x)
0
13彳
,根据希尔维斯特判据,有:
1
3x2
2
10,
2
0
3x;1
(3x;1)20,Q(x)的符号无法判断
13迄
2
(2)李雅普诺夫方法:
选取Lyapunov函数为V(x)孑彳3xf0,则
4-12试用变量梯度法构造下列系统的李雅普诺夫函数解:
假设V(x)的梯度为:
计算V(x)的导数为:
选择参数,试选ana221,ai2a?
i0,于是得:
V
X1,显然满足旋度方程V1V2,即X1
x2
x
0,表明上述选择的参数是允
X2
x2X-ix2
许的。
则有:
如果1
2x1x2
1?
0或X]X22,则V(x)是负定的,因此,
x1x2
1
2是Xi和X2的约束条件。
计算得到V(x)为:
1
V(x)是正定的,因此在12XiX20即X1X22范围内,X0是渐进稳定的
现代控制理论第五章习题答案
5-1已知系统状态方程为:
试设计一状态反馈阵使闭环系统极点配置为
-1,
-2,
-3。
解:
依题意有:
011
2
MbAbAb012rankM
3,
系统
能控。
112
系统0(A,b,C)的特征多项式为:
0
1
0
0
则将系统写成能控标准1型,则有&0
0
1x
0u0
1
2
3
1
引入状态反馈后,系统的状态方程为:
&
(A
bK)xbu,其中K为13矩阵,设
Kkok2,则系统K(A,bK,C)的特征多项式为:
根据给定的极点值,得到期望特征多项式为:
比较f()与f*()各对应项系数,可解得:
ko5k19k29,则有:
K-5-9-9
5-3有系统:
(1)画出模拟结构图。
(2)若动态性能不满足要求,可否任意配置极点?
(3)若指定极点为-3,-3,求状态反馈阵。
解
(1)系统模拟结构图如下:
(2)系统采用状态反馈任意配置极点的充要条件是系统0(A,b,C)完全能控
01
MbAb
11
对于系统0(A,b,C)有:
rankM2,系统能控,故若系统动态性能不满足要求,可
任意配置极点
(3)系统0(A,b,C)的特征多项式为:
则将系统写成能控标准1型,则有&;A0u
引入状态反馈后,系统的状态方程为:
&(AbK)xbu,设Kk0k1,则系统
K(A,bK,C)的特征多项式为:
根据给定的极点值,得到期望特征多项式为:
比较f()与f*()各对应项系数,可解得:
ko7k13,K73
5-4设系统传递函数为
试问能否利用状态反馈将传递函数变成
若有可能,试求出状态反馈K,并画出系统结构图
由于传递函数无零极点对消,因此系统为能控且能观
能控标准I型为
令Kk0k1k2为状态反馈阵,则闭环系统的特征多项式为
由于状态反馈不改变系统的零点,根据题意,配置极点应为-2,-2,-3,得期望特征
多项式为
比较f()与f*()的对应项系数,可得
即K18215
系统结构图如下:
5-5使判断下列系统通过状态反馈能否镇定。
12
2
2
(1)A01
1,b
0
10
1
1
解:
系统的能控阵为:
24
0
MbAbA2b
01
0
rankM3,系统能控。
11
5
由定理5.2.1可知,采用状态反馈对系统0(A,b,C)任意配置极点的充要条件是
0(A,b,C)完全能控。
又由于rankM3,系统0(A,b,C)能控,可以采用状态反馈将系统的极点配置在根平面的左侧,使闭环系统镇定。
5-7设计一个前馈补偿器,使系统
解耦,且解耦后的极点为1,1,2,2。
解:
W(s)W0(s)Wd(s)
6-10已知系统:
试设计一个状态观测器,使观测器的极点为-r,-2r(r>0)。
c
解:
因为N
cA
10
01满秩'系统能观,可构造观测器。
系统特征多项式为
det
101
IAdet2,所以有q0,a00,L
010
于是xT1ATx
T1bu
00_1
xu
100
引入反馈阵G
g1
—?
92
使得观测器特征多项式:
根据期望极点得期望特征式:
比较f与f*各项系数得:
2r2
3r
反变换到x状态下G
TG
012r2
103r
3r
2r2
观测器方程为:
(1)1和2串联
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