高中数学新学案同步 必修2苏教版 第2章 平面解析几何初步 212 第1课时.docx
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高中数学新学案同步必修2苏教版第2章平面解析几何初步212第1课时
2.1.2 直线的方程
第1课时 点斜式
学习目标 1.了解由斜率公式推导直线方程的点斜式的过程.2.掌握直线的点斜式方程与斜截式方程.3.会利用直线的点斜式与斜截式方程解决有关的实际问题.
知识点一 直线的点斜式方程
思考1 如图,直线l经过点P0(x0,y0),且斜率为k,设点P(x,y)是直线l上不同于点P0的任意一点,那么x,y应满足什么关系?
答案 由斜率公式得k=,
则x,y应满足y-y0=k(x-x0).
思考2 经过点P0(x0,y0)的所有直线是否都能用点斜式方程来表示?
答案 斜率不存在的直线不能用点斜式表示,过点P0斜率不存在的直线为x=x0.
梳理
点斜式
已知条件
点P(x0,y0)和斜率k
图示
方程形式
y-y0=k(x-x0)
适用条件
斜率存在
知识点二 直线的斜截式方程
思考1 已知直线l的斜率为k,且与y轴的交点为(0,b),直线l的方程是什么?
答案 将k及点(0,b)代入直线方程的点斜式得y=kx+b.
思考2 方程y=kx+b,表示的直线在y轴上的截距b是距离吗?
b可不可以为负数和零?
答案 y轴上的截距b不是距离,可以是负数和零.
梳理
斜截式
已知条件
斜率k和直线在y轴上的截距b
图示
方程式
y=kx+b
适用条件
斜率存在
1.对直线的点斜式方程y-y0=k(x-x0)也可写成k=.( × )
2.直线y-3=k(x+1)恒过定点(-1,3).( √ )
3.直线y=kx-b在y轴上的截距为b.( × )
类型一 直线的点斜式方程
例1 写出下列直线的点斜式方程.
(1)经过点A(2,5),且其倾斜角与直线y=2x+7相等;
(2)经过点C(-1,-1),且与x轴平行;
(3)经过点D(1,2),且与x轴垂直.
解
(1)由题意知,直线的斜率为2,所以其点斜式方程为y-5=2(x-2).
(2)由题意知,直线的斜率k=tan0°=0,所以直线的点斜式方程为y-(-1)=0.
(3)由题意可知直线的斜率不存在,所以直线的方程为x=1,该直线没有点斜式方程.
反思与感悟
(1)求直线的点斜式方程
已知定点P(x0,y0),若经过点P的直线斜率存在且为k,则其方程为y-y0=k(x-x0);若斜率k为0,则其方程为y-y0=0;若斜率不存在,则其方程为x=x0.
(2)点斜式方程y-y0=k(x-x0)可表示过点P(x0,y0)的所有直线,但直线x=x0除外.
跟踪训练1
(1)经过点(-3,1)且平行于y轴的直线方程是________.
(2)一直线l1过点A(-1,-2),其倾斜角等于直线l2:
y=x的倾斜角的2倍,则l1的点斜式方程为________.
答案
(1)x=-3
(2)y+2=(x+1)
解析
(1)∵直线与y轴平行,∴该直线斜率不存在,
∴直线方程为x=-3.
(2)∵直线l2的方程为y=x,
设其倾斜角为α,则tanα=,∴α=30°,
那么直线l1的倾斜角为2×30°=60°,
则l1的点斜式方程为y+2=tan60°(x+1),
即y+2=(x+1).
类型二 直线的斜截式方程
例2
(1)倾斜角为60°,与y轴的交点到坐标原点的距离为3的直线的斜截式方程是________________________________________________________________________.
(2)直线l1的方程为y=-2x+3,l2的方程为y=4x-2,直线l与l1的倾斜角相等且与l2在y轴上的截距相等,则l的斜截式方程为______________.
答案
(1)y=x+3或y=x-3
(2)y=-2x-2
解析
(1)∵直线的倾斜角是60°,
∴其斜率k=tan60°=,
∵直线与y轴的交点到原点的距离是3,
∴直线在y轴上的截距是3或-3,
∴所求直线方程是y=x+3或y=x-3.
(2)由斜截式方程知直线l1的斜率k1=-2,
又直线l与l1的倾斜角相等,∴kl=-2,
由题意知l2在y轴上的截距为-2,
∴直线l在y轴上的截距b=-2,
由斜截式可得直线l的方程为y=-2x-2.
反思与感悟
(1)斜截式方程的应用前提是直线的斜率存在.当b=0时,y=kx表示过原点的直线;当k=0时,y=b表示与x轴平行(或重合)的直线.
(2)截距不同于日常生活中的距离,截距是一个点的横(纵)坐标,是一个实数,可以是正数,也可以是负数和零,而距离是一个非负数.
跟踪训练2 已知直线l在y轴上的截距为-2,根据条件,分别写出直线l的斜截式方程.
(1)直线l经过点M(m,n),N(n,m)(m≠n);
(2)直线l与坐标轴围成等腰三角形.
解
(1)由题意得直线l的斜率为k==-1,
所以直线l的斜截式方程为y=-x-2.
(2)因为直线l在y轴上的截距为-2,
所以l与y轴的交点为P(0,-2),
而直线l与坐标轴围成等腰三角形,
又是直角三角形,
所以l与x轴的交点为Q(-2,0)或(2,0).
由过两点的斜率公式得k=-1或1,
所以直线l的斜截式方程为y=-x-2或y=x-2.
类型三 直线方程的简单应用
例3 求经过点A(-3,4),且在两坐标轴上的截距之和为12的直线方程.
解 方法一 (点斜式)
设直线方程为y-4=k(x+3)(k≠0).
当x=0时,y=4+3k,
当y=0时,x=--3,
∴3k+4--3=12,即3k2-11k-4=0,
∴k=4或k=-.
故直线方程为y-4=4(x+3)或y-4=-(x+3),
即4x-y+16=0或x+3y-9=0.
方法二 (斜截式)
设直线方程为y=kx+b,
∵直线经过点A(-3,4),
∴3k-b+4=0.①
∵直线在两坐标轴上的截距和为12,
∴b+=12.②
由①②得或
故直线方程为y=4x+16或y=-x+3,
即4x-y+16=0或x+3y-9=0.
反思与感悟 利用待定系数法求直线方程
(1)已知一点,可选用点斜式,再由其他条件确定斜率.
(2)已知斜率,可选用斜截式,再由其他条件确定y轴上的截距.
跟踪训练3 已知直线l的斜率为,且和两坐标轴围成面积为3的三角形,求l的直线方程.
解 设直线方程为y=x+b,则当x=0时,y=b;
当y=0时,x=-6b.由已知可得·|b|·|-6b|=3,
即6|b|2=6,∴b=±1.
故所求直线方程为y=x+1或y=x-1.
1.直线x-y+m=0的倾斜角为________.
答案 60°
2.已知直线l的方程为2x-5y+10=0,且在x轴上的截距为a,在y轴上的截距为b,则|a+b|=________.
答案 3
解析 直线l的方程为2x-5y+10=0,令y=0,得a=-5,令x=0,得b=2,所以|a+b|=|-5+2|=3.
3.过点(1,0)且在y轴上的截距为-的直线方程是______________.
答案 x-2y-1=0
4.已知直线l过点P(2,1),且直线l的斜率为直线x-4y+3=0的斜率的2倍,则直线l的方程为________.
答案 x-2y=0
解析 由x-4y+3=0,得y=x+,其斜率为,
故所求直线l的斜率为,又直线l过点P(2,1),
所以直线l的方程为y-1=(x-2),即x-2y=0.
5.已知直线l的倾斜角是直线y=x+1的倾斜角的2倍,且过定点P(3,3),求直线l的方程.
解 直线y=x+1的斜率为1,所以倾斜角为45°,又所求直线的倾斜角是已知直线倾斜角的2倍,所以所求直线的倾斜角为90°,其斜率不存在.又直线过定点P(3,3),所以直线l的方程为x=3.
1.建立点斜式方程的依据是:
直线上任一点与这条直线上一个定点的连线的斜率相同,故有=k,此式是不含点P1(x1,y1)的两条反向射线的方程,必须化为y-y1=k(x-x1)才是整条直线的方程.当直线的斜率不存在时,不能用点斜式表示,此时方程为x=x1.
2.斜截式方程可看作点斜式的特殊情况,表示过(0,b)点、斜率为k的直线y-b=k(x-0),即y=kx+b,其特征是方程等号的一端只是一个y,其系数是1;等号的另一端是x的一次式,而不一定是x的一次函数.如y=c是直线的斜截式方程,而2y=3x+4不是直线的斜截式方程.
一、填空题
1.若直线y=1的倾斜角为α,则α=________.
答案 0°
2.若直线y=ax-1的倾斜角是30°,则a=________.
答案
3.经过点(-1,1),斜率是直线y=x-2的斜率的2倍的直线的点斜式方程是_______.
答案 y-1=(x+1)
解析 由题意知,直线的斜率为,过点(-1,1),故直线方程为y-1=(x+1).
4.直线y=k(x-2)+3必过定点,该定点坐标为________.
考点
题点
答案 (2,3)
解析 直线方程改写为y-3=k(x-2),则过定点(2,3).
5.已知直线l经过点(-2,2)且与直线y=x+6在y轴上有相同的截距,则直线l的方程为____________.
答案 2x-y+6=0
解析 由题意设直线l的方程为y=kx+6,将(-2,2)代入y=kx+6,得k=2.所以直线l的方程为2x-y+6=0.
6.已知直线l:
ax+y-2-a=0在x轴和y轴上的截距相等,则a的值是________.
答案 -2或1
解析 由题意可知a≠0.
当x=0时,y=a+2.
当y=0时,x=.
∴=a+2,解得a=-2或a=1.
7.直线y=ax与y=x+a的图象可能是________.(填序号)
答案 ③
8.已知直线y=(3-2k)x-6不经过第一象限,则k的取值范围为________.
答案
解析 由题意知,需满足它在y轴上的截距不大于零,且斜率不大于零,则得k≥.
9.已知直线l过点P(2,-3),且与过点M(-1,2),N(5,2)的直线垂直,则直线l的方程为____________.
答案 x=2
解析 因为直线MN的斜率k==0,
所以该直线平行于x轴.
又直线l垂直于直线MN,
因此直线l的倾斜角为90°,
又直线l过点P(2,-3),
所以直线l的方程为x-2=0,即x=2.
10.直线y=bx-的图象如图所示,则a+b=________.
答案 2
解析 由图象知,直线斜率为-1,在y轴上截距为1,故a=b=-1,a+b=-2.
11.已知直线y=x+k与两坐标轴围成的三角形的面积不小于1,则实数k的取值范围是________.
答案 (-∞,-1]∪[1,+∞)
解析 令y=0,则x=-2k.令x=0,则y=k,则直线与两坐标轴围成的三角形的面积为S=|k|·|-2k|=k2.
由题意知,三角形的面积不小于1,可得k2≥1,
所以k的取值范围是k≥1或k≤-1.
12.已知直线l的斜率与直线3x-2y=6的斜率相等,且直线l在x轴上的截距比在y轴上的截距大1,则直线l的斜截式方程为________________.
答案 y=x-
解析 由题意知,直线l的斜率为,
故设直线l的方程为y=x+b,
l在x轴上的截距为-b,在y轴上的截距为b,
所以-b-b=1,b=-,
所以直线l的方程为y=x-.
二、解答题
13.已知△ABC的三个顶点坐标分别是A(-5,0),B(3,-3),C(0,2),求BC边上的高所在的直线方程.
解 设BC边上的高为AD,则BC⊥AD,
∴kAD·kBC=-1,即·k
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