矢量分析与场论课后答案.docx
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矢量分析与场论课后答案
矢量分析与场论
习题1
1•写出下列曲线的矢量方程,并说明它们是何种曲线。
1x二acost,y二bsint
2x=3sint,y=4sint,z=3cost
解:
1r=acostibsintj,其图形是xOy平面上之椭圆。
2r=3sinti4sintj3costk,其图形是平面4x-3y=0与圆柱面
x2z2=32之交线,为一椭圆。
2H
6•求曲线x=:
asint,y=asin2t,z=acost,在t处的一个切向矢量。
4
解:
曲线矢量方程为r二asirntrasin2jacogk
在t处,.
4
dr
在t=2的点M处,切向矢量[2ti4j(4t_6)k]t/=4i4j2k
dty-
于是切线方程为=15丄4,即=X5=34
442221
于是法平面方程为2(x一5)■2(y一5)•(z■4)=0,即
2x2yz-16=0
&求曲线^tit2jt3k上的这样的点,使该点的切线平行于平面
平面的法矢量为i2jk,由题知
22
pi2tj3t2ki2jk]=14t3t2=0
将此依次代入⑴式,得
j-k,|1…-i1j-丄k
^-33927
(111
27丿
故所求点为_1,1-1,1-,-,
「39
习题2
1•说出下列数量场所在的空间区域,并求出其等值面。
』1
1u;
Ax+By+Cz+D
2u=arcsin
z
x2y2
解:
1场所在的空间区域是除AxByCz0外的空间。
等值面为
11
G或AxByCzD0(Ci=0为任意常数),这是与平
AxByCzD6
面AxBy"Cz"D=0平行的空间。
222
2场所在的空间区域是除原点以外的z 等值面为z2=(x2y2)sin2c,(x2y2=0), 当sine=0时,是顶点在坐标原点的一族圆锥面(除顶点外); 当sinc=0时,是除原点外的xOy平面。 X2+y2 2•求数量场u经过点M1,1,2的等值面方程。 z 解: 经过点M1,1,2等值面方程为 x2十y212十12 u1, z2 即x2y2,是除去原点的旋转抛物面。 3•已知数量场u=xy,求场中与直线x•2y-4=0相切的等值线方程。 解: 设切点为x0,y0,等值面方程为xyncnxoyo,因相切,则斜率为 Z,即X。 二2y° X。 2 点Xo,y°在所给直线上,有 Xo2y°-4=0 解之得y0=1,x0=2 故xy=2 4•求矢量A=xy2ix2yjzy2k的矢量线方程。 解矢量线满足的微分方程为 Adr=0, 亠dxdydz 或222 xyxyzy 厶dxdz 有xdx=ydy,=. 5.求矢量场^x2iy2j(xy)zk通过点M(2,1,1)的矢量线方程。 、x_y=z 习题3 232<24 1.求数量场u二xz2yz在点M2,0,-1处沿|二2xi-xyj3zk的方 向导数。 解: 因IM=(2xi—xy2j+3z°kL=4i+3k,其方向余弦为 4內v3 cos,cos0,cos 5 5 所以出二4・(_4)0«03.12二4 a55 2.求数量场u=3x2z-xy•z2在点M1,-1,1处沿曲线x=t,y--t2,z=t3朝t 增大一方的方向导数。 曲线上点 解: 所求方向导数,等于函数u在该点处沿曲线上同一方向的切线方向导数。 M所对应的参数为t=1,从而在点M处沿所取方向,曲线的切向方向导数为 _x 于是所求方向导数为 3•求数量场u=x2yz3在点M2,1,-1处沿哪个方向的方向导数最大? cu0 解: 因一=(gradu)“1=graducosT,T 当v-0时,方向导数最大。 cu-k)cz =(2xy£i+x2z3j+3x2yz2k)M=-如—4j+12k, 即函数u沿梯度graduM=—4i—4j+12k方向的方向导数最大 最大值为gradu|M=J176=4丿11。 113L 4.画出平面场u(x2-y2)中u=0,—,1,—,2的等值线,并画出场在皿1(2八2)与点 222 M2(3八7)处的梯度矢量,看其是否符合下面事实: (1)梯度在等值线较密处的模较大,在较稀处的模较小; (2)在每一点处,梯度垂直于该点的等值线,并指向u增大的方向。 2x 2-y 2 =0,x 2-y =1, 解: 所述等值线的方程为: 2x 2-y =2,x2 2-y -3,其中第一个又可以写为 2x 2-y =4, (如下图, 图中G^graduMi, G2-gradum2,) 由于gradu=xi一yj, 故 gradu=2i-jQj, gradum2=3i—J7j, 由图可见,其图形都符合所论之事实。 5.用以下二法求数量场u二xy•yz,zx在点P1,2,3处沿其矢径方向的方向导数。 1直接应用方向导数公式; 2作为梯度在该方向上的投影。 解: (1)点P的矢径r=i+2j+3k,其模r=其方向余弦为 cos: 1: 23 cos=,cos.又141414 .x +-^k. 6,求数量场u=x22y23z2xy3x_2y_6z在点0(0,0,0)与点A(1,1,1) 处梯度的大小和方向余弦。 又问在哪些点上梯度为0? 解: gradu=(2xy3)i(4yx-2)j(6z-6)k, graduO=3i-2j_6k,graduA=6i+3j+0k, 其模依次为: 32(一2)2•(一6)2=7八62•32•02二3、..5 graduA的方向余弦为 co的=^L,cos0=丄,cosY=0. 、5\5 2x+y+3=0, 求使gradu=0之点,即求坐标满足』4y+x_2=0,之点,由此解得 6z—6=0 x=-2,y=1,z=1故所求之点为(-2,1,1). 7•通过梯度求曲面x2y2xz二4上一点M(1,-2,3)处的法线方程。 2 解: 所给曲面可视为数量场u=xy•2xz的一张等值面,因此,场u在点 M处的梯度,就是曲面在该点的法矢量,即 graduM=(2xy+2z)i+x2j+2xk皿=2i+j+2k, 习题4 1.设S为上半球面x2y2z2=a2(z_0),求矢量场r=xi■yjzk向上穿过S的通量 : -: J。 【提示: 注意S的法矢量n与r同指向】 解: ①=仃rdS=仃rndS=仃|rdSdS=a2g2=2a3. SSSS 2.设S为曲面x2•y2•z2二a2(0-z-h),求流速场v=(x•y•z)k在单位时间内下 侧穿S的流量Q 22 解: Q=(xyz)dxdy(xyxy)dxdy其中d为s在xOy面上的 SD 投影区域: 2 x2h.用极坐标计算,有Q=-(rcosrsinr)rdrd D i22- 3.设S是锥面z=.xy在平面z=4的下方部分,求矢量场A=4xzi•yzj3zk向 下穿出S的通量”。 解: 略 4.求下面矢量场A的散度。 (1)A=(x3yz)i(y2xz)j(z3xy)k; (2)A=(2z-3y)i(3x-z)j(y-2x)k; (3)A=(1ysinx)i(xcosyy)j. 22 解: (1)divA=3x2y3z (2)divA=0 (3)divA=ycosx-xsiny1 5.求divA在给定点处的值: (1)=x3iy3jz3k在点M(1,0,-1)处; (2)A=4xi-2xyjz2k在点M(1,1,3)处; (3)A二xyzn(r二xiyjzk)在点M(1,3,2)处; 解: (1)divAM=(3x2+3y2+3z2)M=6 (2)divA”=(4—2x+2z)m=8 (3)divA=xyzdivrgrad(xyz)r=3xyz(yzixzjxyk)(xiyjzk) =6xyz,故divA^6xyz^36。 6.已知u=xy2z3,A=x2ixzj-2yzk,求div(uA)。 解: divA=2x_2y gradu=y2z3i2xyz3j3xy2z2k =xy2z3(2x-2y)(y2z3i2xyz3j3xy2z2k)(x2ixzj-2yzk) 2232332232433 二2xyz-2xyzxyz2xyz-6xyz =3x2y2z3-8x2y3z32x2yz4. (1)A =x3iy3jz3k,S为球面x2y2z2=a2; (2)A =(x-y•z)i•(y-z•x)j•(z-x•y)k,S为椭球面 2x ~2 a z2)dV 12a5 5 ①=口AdS=HldivAdV=Iff3(x2 s门门 ,2222 其中二为S所围之球域xyz_a今用极坐标 =rsincos,y=rsinrsin,z=rcos计算,有 =3ir2r2sindrdd=3dsindr4dr= oo- Q 4 (2)①=ffAdS=JJJdivAdV=3JJJdV=3^—^iabc=4iabc SdQ3 习题五 1.求一质点在力场F=-yi-zj•xk的作用下沿闭曲线I: x=acost,y=asint. z=a(1-cost)从t=0到t=2运动一周时所做的功。 解: 功W=Fdl--ydx-zdyxdz =0a2sin21一a2(4一cost)costa2costsintdt 22二2 =a0(4—cost+costsint)dt=2n: a 2.求矢量场-yixjCk(C为常数)沿下列曲线的环量: (1)圆周x2-y2二R2,z=0; (2)圆周(X-2)2y2二R2,z=0。 二R2,z=0的方程成为 解: (1)令x二Rcosr,则圆周x2y2 x=Rcost,y=Rsinv,z=0,于是环量 (2)令x-2二Rcosr,则圆周(x-2)2•y2=R2,z=0的方程成为 x=RcosJ2,y=Rsin^z=0,于是环量 2兀22 -二A・dl二-ydxxdyCdz二o[Rsin(Rcosv2)Rcosv]d) 1l 2■22 (R22RcosR-2R2 3.用以下两种方法求矢量场A=x(z-y)i•y(x-z)j•z(y-x)k在点M(4,2,3)处沿方向n=i2j2k的环量面密度。 (4)直接应用环量面密度的计算公式; (2)作为旋度在该方向上的投影。 解: (1)n0=黑=4i+2j+2k,故n的方向余弦为co护=4,cosP=2,cos^=2.ni333333 又P=x(z「y),Q二y(x-z),R二z(y-x)根据公式,环量面密度 叫M=[(Ry-Qz)co炉+(Pz—Rx)cos0+(Qx—Py)cos? 】M ⑵rotAm二[(zy)i(xz)j(xy)k]^5i4j3k,于是 122 .(5i4j3k).(-i-j-k) 19 3 58 =—+_+_ 33 4•用雅可比矩阵求下列矢量场的散度和旋度。 (1) =(3x2yz)i(y3-xz2)j2xyzk; rotA二4xzi(1-2yzj-(z3x2)k. rotA二x(2y-x)iy(2z-y)jz(2x-z)k. rotA=0。 解: rotuA=urotAgraduA, gradu二exyz(yzixzjxyk),graduA xyz =eyzxz 22 zx k xy=exyz[(xyz—xy)j+(xyz2—y3z)j+(x2yz—xz3)k], 2 y rotuA二exyf(2yx^z-x3y)i(2zxyz-y3z)j(2xx2yz-x£)k| 习题六 1.证明下列矢量场为有势场,并用公式法和不定积分法求其势函数。 (1)A=ycosxyixcosxyjsinzk; 22 (2) A=(2xcosy-ysinx)i(2ycosx-xsiny)j.解: (1)记P=ycosxy,Q=xcosxy,R=sinz. 所以A为有势场。 下面用两种方法求势函数V: 0xyZ 1公式法: v-°P(x,0,0)dx-°Q(x,y,0)dy-0R(x,y,z)dzC xy2z =-02xdx—0(2ycosx—xsiny)dy-J00dz+C--x2-y2cosx-x2cosyx2C--y2cosx-x2cosyC. 2°不定积分法: 因势函数v满足A二-gradv,即有 22 vx--2xcosyysinx,vy--2ycosxxsiny,vz=°, 将第一个方程对x积分,得v--x2cosy-y2cosx亠「(y,z), 对y求导,得vy=x2siny-2ycosx•「y(y,z),与第二个方程比较,知 (z)=°,故'(z)=C. y(y,z)=°,于是(y,z)=r(z),从而v--x2cosy-y2cos'(z). 再对z求导,得vz』W(z),与第三个方程比较,知所以v=-x2cosy-y2cosxC. 2.下列矢量场A是否保守场? 若是,计算曲线积分.Adl: l (1)A=(6xyz2)i(3x2-z)j(3xz2-y)k,l的起点为A(4,°,1),终点为 B(2,1,-1); 222 (2)A=2xzi2yzj(x2yz-1)k,l的起点为A(3,°,1),终点为B(5,-1,3). 6y6x3z2 解: (1)DA=<6x°-1>,有 3z2-16xz 22 rotA=[ (1)(T)j(3z3z)j(6x6x)k=Q故a为保守场。 因此,存在 A*dl的原函数u。 按公式 xyz u=P(x,0,0)dx亠IQ(x,y,0)dy亠IR(x,y,z)dz 000 xy2z223 =0Odx+03x2dy+^(3xz-y)dz=3x2y+xz-yz,于 u=-0P(x,0,0)dx-0Q(x,y,0)dy-0R(x,y,z)dz B(5,」,3) A(3,0,1)=73-。 =o^Ddxo”0dy: (x22y2z—1)dz=x2zy2z2—z,于 jAdl=(x2z十y2z2_z) l 3.求下列全微分的原函数u (1)du=(x2-2yz)dx(y2-2xz)dy(z2-2xy)dz; 2223 (2)du=(3x6xy)dx(6xy4y)dy. xyz 解: 由公式u=oP(x,0,0)dx°Q(x,y,0)dy°R(x,y,z)dzC 1313131333 ^x3y? z-2xyzC=? (xyz)-2xyzC; xy (2)u3x2dxo(6x2y4y3)dyC=x33x2y2y4C 9.证明矢量场A=(2x-y)i-(4yx-2z)j•(2y「6z)k为调和场,并求其调和函数。 210' 解: DA=142,有 <02-6」 divA=24-6=0,rotA=(2-2)i(0-0)j(1-1)k=0故A为调和场。 xyz 其调和函数u由公式uP(x,0,0)dx亠iQ(x,y,0)dy亠IR(x,y,z)dzC yz22 0(4yx)dy。 (2y-6z)dzC=x2y
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