二次函数压轴题专题一最短路径问题.docx
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二次函数压轴题专题一最短路径问题
二次函数压轴题专题一
最短路径问题——和最小
知识梳理
最短路径就是无论在立体图形还是平面图形中,两点间的最短距离,常涉及以下两个方面:
1、两点之间,线段最短;2、垂线段最短。
常用思考的方式:
1、把立体转化为平面;2、通过轴对称寻找对称点。
解题总思路:
找点关于线的对称点实现“折”转“直”,近两年出现“三折线”转“直”等变式问题考查。
例题导航
例1:
如图A是锐角∠MON内部任意一点,在∠MON的两边OM,ON上各取一点B,C,组成三角形,使三角形周长最小.
例:
如图,A.B两地在一条河的两岸,现要在河上建一座桥MN,桥造在何处才能使从
的路径AMNB最短?
(假设河的两岸是平行的直线,桥要与河垂直)
解:
1.将点B沿垂直与河岸的方向平移一个河宽到E,
2.连接AE交河对岸与点M,
则点M为建桥的位置,MN为所建的桥。
证明:
由平移的性质,得BN∥EM且BN=EM,MN=CD,BD∥CE,BD=CE,
所以A.B两地的距:
AM+MN+BN=AM+MN+EM=AE+MN,若桥的位置建在CD处,连接AC.CD.DB.CE,
则AB两地的距离为:
AC+CD+DB=AC+CD+CE=AC+CE+MN,
在△ACE中,∵AC+CE>AE,∴AC+CE+MN>AE+MN,即AC+CD+DB>AM+MN+BN所以桥的位置建在CD处,AB两地的路程最短。
例:
如图,A、B是两个蓄水池,都在河流
a的同侧,为了方便灌溉作物,?
A·
要在河边建一个抽水站,将河水送到
A、B两地,问该站建在河边什么地方,
?
可使所修的渠道最短,试在图中确定该点。
作法:
作点B关于直线a的对称点点C,连接AC交直线a于点D,则点D为
建抽水站的位置。
证明:
在直线a上另外任取一点
E,连接AE.CE.BE.BD,
A到B
B·a
D
EC
∵点B.C关于直线a对称,点D.E
在直线a上,∴DB=DC,EB=EC,
∴AD+DB=AD+DC=AC,
AE+EB=AE+EC
在△ACE中,AE+EC>AC,
即AE+EC>AD+DB
所以抽水站应建在河边的点
D处,
常见问题归纳
“和最小”问题常见的问法是,在一条直线上面找一点,
使得这个点与两个定点距离的
和最小(将军饮马问题).如图所示,在直线
l
上找一点
P
使得
+
最小.当点
P
为直线
PA
PB
AB′与直线l的交点时,PA+PB最小.
A
A
B
B
l
P
l
B'
【方法归纳】
①如图所示,在直线l上找一点B使得线段AB最小.过点A作AB⊥l,垂足为B,则线段AB即为所求.
AA
l
l
B
②如图所示,在直线
l
上找一点
P
使得
+
最小.过点
B
作关于直线
l
的对称点
′,
PA
PB
B
BB′与直线l交于点P,此时PA+PB最小,则点
P即为所求.
A
A
B
B
l
P
l
B'
③如图所示,在∠
的边
,
上分别找一点
,
D
使得
+
+
最小.过点
P
分别
AOB
AOBO
C
PCCDPD
作关于AO,BO的对称点E,F,连接EF,并与AO,BO分别交于点
C,D,此时PC+CD+PD
最小,则点C,D即为所求.
A
E
A
P
C
P
O
B
O
D
B
F
④如图所示,在∠AOB的边AO,BO上分别找一点E,F使得DE+EF+CF最小.分别过点C,
D作关于AO,BO的对称点D′,C′,连接D′C′,并与AO,BO分别交于点E,F,此时DE
++
最小,则点
,
即为所求.
EF
CF
EF
A
D'
A
D
E
D
C
C
O
B
O
F
B
C'
⑤如图所示,长度不变的线段
CD在直线l上运动,在直线
l上找到使得
AC+BD最小的CD
的位置.分别过点
A,D作AA′∥CD,DA′∥AC,AA′与DA′交于点A′,再作点B关于直
线l的对称点B′,连接A′B′与直线l交于点D′,此时点D′即为所求.
B
B
A
A
A'
C
l
C
DD'
l
D
B'
1
2
⑥如图所示,在平面直角坐标系中,点P为抛物线(y=4x
)上的一点,点
A(0,1)在y
轴正半轴.点P在什么位置时
PA+PB最小?
过点B作直线l:
y=-1的垂线段BH′,BH′
与抛物线交于点
P′,此时PA+PB最小,则点P即为所求.
y
y
B
B
P
P
A
A
x
P'
x
O
O
l
H
H'
二次函数中最短路径例题
22
例1.(13广东)已知二次函数y=x-2mx+m-1.
(1)当二次函数的图象经过坐标原点O(0,0)时,求二次函数的解析式;
(2)如图,当m=2时,该抛物线与y轴交于点C,顶点为D,求C、D两点的坐标;
(3)在
(2)的条件下,x轴上是否存在一点P,使得PC+PD最短?
若P点存在,求出P点的坐标;若P点不存在,请说明理由.
【解题过程】
O(,),
解:
(1)∵二次函数的图象经过坐标原点
0
0
2
-mx+
2
2
∴代入二次函数
y=x
m-,得出:
m
2
1
-1=0,解得:
m=±,
1
y=x
2-x或y=x2
∴二次函数的解析式为:
+2x;
2
2
2
-
得:
()∵m=,∴二次函数y=x
mx+m-
1
2
2
2
y=x2-4x+3=(x-2)2-1,∴抛物线的顶点为:
D(2,-1),
当x=0时,y=3,∴C点坐标为:
(0,3),∴C(0,3)、D(2,-1);
(3)当P、C、D共线时PC+yPD最短,【方法一】
∵C(0,3)、D(2,-1),
设直线CD的解析式为y=kx+3,代入得:
2k
C
+3=-1,∴k=-2,∴y=-2x+3,
y
C
x
O
D
3
当y=0时,-2x+3=0,解得x=2,
Px
O
3
∴PC+PD最短时,P点的坐标E为:
P(D,0).
2
【方法二】
过点D作DE⊥y轴于点E,
PODE
POCO
,∴
PO3
PO
3
∵∥,∴
=
CE
2
=,解得:
=,
DE
4
2
3
∴PC+PD最短时,P点的坐标为:
P(2,0).
练习1.(11菏泽)如图,抛物线
y
=
1
2+
﹣2与
x
轴交于
,
B
两点,与
y
轴交于
C
点,
2x
bx
A
且A(﹣1,0).
(1)求抛物线的解析式及顶点D的坐标;
(2)判断△ABC的形状,证明你的结论;
(3)点M(m,0)是x轴上的一个动点,当MC+MD的值最小时,求m的值.
练习2.(12滨州)如图,在平面直角坐标系中,抛物线y=ax2+bx+c经过A(﹣2,﹣4),O(0,0),B(2,0)三点.
(1)求抛物线y=ax2+bx+c的解析式;
(2)若点M是该抛物线对称轴上的一点,求AM+OM的最小值.
y
OBx
A
例2.(14海南)如图,对称轴为直线x=2的抛物线经过A(-1,0),C(0,5)两点,与
x轴另一交点为B.已知M(0,1),E(a,0),F(a+1,0),点P是第一象限内的抛物线上的动点.
(1)求此抛物线的解析式;
(2)当a=1时,求四边形MEFP的面积的最大值,并求此时点P的坐标;
(3)若△PCM是以点P为顶点的等腰三角形,求a为何值时,四边形PMEF周长最小?
请说
明理由.
yy
P
CC
P
M
x
M
x
AOEF
B
AOEF
B
【思路点拨】
(1)由对称轴为直线x=2,可以得出顶点横坐标为2,设二次函数的解析式为y=a(x-2)2+k,再把点A,B的代入即可求出抛物线的解析式;
(2)求四边形MEFP的面积的最大值,要先表示出四边形MEFP面积.直接求不好求,可以考虑用割补法来求,过点P作PN⊥y轴于点N,由S四边形MEFP=S梯形OFPN-S△PMN-S△OME即可得出;
(3)四边形PMEF的四条边中,线段PM,EF长度固定,当ME+PF取最小值时,四边形PMEF
的周长取得最小值.将点M向右平移1个单位长度(EF的长度),得到点M1(1,1),作点M1关于x轴的对称点M2(1,-1),连接PM2,与x轴交于F点,此时ME+PF=PM2最小.
【解题过程】
解:
(1)∵对称轴为直线x=2,∴设抛物线解析式为y=a(x-2)2+k.
将A(-1,0),C(0,5)代入得:
9a+k=0
a=-1
4a+k=5,解得
k=9
,
∴y=-(x-2)2+9=-x2+4x+5.
(2)当a=1时,E(1,0),F(2,0),OE=1,OF=2.设P(x,-x2+4x+5),
如答图2,过点
P
作
⊥
y
轴于点
,则
=
,
=-
x
2+4+5,
PN
N
PNx
ON
x
∴MN=ON-OM=-x
2
1
1
+4x+4.S四边形MEFP=S梯形OFPN-S△PMN-S△OME=(PN+OF)?
ON-
PN
2
2
1
1
2
1
2
1
2
9
9
?
MN-2OM?
OE=2(x+2)(-x
+4x+5)-2x?
(-x+4x+4)-2×
1×1=-x+2x+2
=
9
2
153
9
153
9
-(x-4)
+16
∴当x=4时,四边形MEFP的面积有最大值为
16,此时点P坐标为(4,
153).
16
(3)∵M(0,1),C(0,5),△PCM是以点P为顶点的等腰三角形,
∴点P的纵坐标为3.
令y=-x2+4x+5=3,解得x=2±
6.∵点P在第一象限,∴P(2+
6,3).
四边形PMEF的四条边中,PM、EF长度固定,
因此只要
+
最小,则
的周长将取得最小值.
MEPF
PMEF
如答图
3,将点M向右平移
1个单位长度(EF的长度),得M(1,1);
1
作点
1关于
x
轴的对称点
2,则
2(1,-1);
M
M
M
连接PM2,与x轴交于F点,此时ME+PF=PM2最小.
设直线PM2的解析式为y=mx+n,将P(2+
6,3),M2(1,-1)代入得:
(2+6)
+=3
46-4
46+4
46-4
46+4
mn
,解得:
m=
5
,n=
5
,∴y=
5
x-
5
.
m+n=-
1
6+5
6+5
6+5
6+1
当y=0时,解得x=
.∴F(
,0).∵a+1=
,∴a=
4
.
4
4
4
∴a=
6+1
PMEF周长最小.
4
时,四边形
y
y
N
P
C
C
P
MMM1
xx
AOEFBAOEF
M2
图1图2
练习3.(11眉山)如图,在直角坐标系中,已知点
A(0,1),B(﹣4,4),将点B绕点A
顺时针方向90°得到点
;顶点在坐标原点的拋物线经过点
.
C
C的坐标;
B
(1)求抛物线的解析式和点
(2)抛物线上一动点
,设点
P
到
x
轴的距离为
d
1,点
P
到点
A
的距离为
2,试说明
2=
d1+1;
P
d
d
(3)在
(2)的条件下,请探究当点
P位于何处时,△PAC的周长有最小值,并求出△
PAC
的周长的最小值.
y
C
B
P
A
x
O
例4.(14福州)如图,抛物线
1
2
A在点B的左侧),
y=(x3)
1与x轴交于A,B两点(点
2
与y轴交于点C,顶点为D了.
(1)求点A,B,D的坐标;
(2)连接CD,过原点O作OE⊥CD,垂足为H,OE与抛物线的对称轴交于点
E,连接AE,AD.求
证:
∠AEO=∠ADC;
(3)以
(2)中的点E为圆心,1为半径画圆,在对称轴右侧的抛物线上有一动点
P,过点
P
作⊙
E
的切线,切点为
,当
的长最小时,求点
P
的坐标,并直接写出点
Q
的坐标.
Q
PQ
yy
C
C
E
H
x
x
O
A
B
O
A
B
D
D
【思路点拨】
(1)由顶点式直接得出点
D的坐标,再令
1
y=0,得2(x
23)
1=0解出方程,即可得出点
A,
B的坐标;
(2)设HD与AE相交于点F,可以发现△HEF与△ADF组成一个“8字型”.对顶角∠HFE=∠AFD,只要∠FHE=∠FAD即可.因为∠EHF=90°,只需证明∠EAD=90°即可.由勾股定理的逆定理即可得出△ADE为直角三角形,得∠FHE=∠FAD=90°即可得出结论;
(3)先画出图形.因为PQ为⊙E的切线,所以△PEQ为直角三角形,半径EQ长度不变,当斜边PE最小时,PQ的长度最小.设出点P的坐标,然后表示出PE,求出PE的最小值,得到点P的坐标,再求出点Q的坐标即可.
【解题过程】
解:
(1)顶点D的坐标为(3,1).令y=0,得1
(x3)2
1=0,解得x1=3+
2,x2=3
2.
2
∵点A在点B的左侧,∴A点坐标(3
2,0),B点坐标(3
2,0).
(2)过
D
作
⊥
轴,垂足为
.则
(0,
1),
=3.令
x
=0,则
y
=7,∴
C
点坐
DGy
G
G
GD
2
7
标为(0,2).
∴GC=
7
9
x轴于点M.∵OE⊥CD,∴∠GCD+∠COH=90.
2
(1)
=2.设对称轴交
∵∠MOE+∠COH=90
,∴∠MOE=∠GCD.又∵∠CGD=∠OMN=90
,∴△DCG∽△EOM.
9
CGDG
2
3
∴
=
,即
=.∴EM=2,即点E坐标为(3,2),ED=3.
OMEM
3
EM
由勾股定理,得
2=6,
2=3,∴
2+
2=6+3=9=
2.
AE
AD
AE
AD
ED
∴△AED是直角三角形,即∠DAE=90.
设AE交CD于点F.∴∠ADC+∠AFD=90.又∵∠AEO+∠HFE=90,
∴∠AFD=∠HFE,∴∠AEO=∠ADC.
(3)由⊙E的半径为
1,根据勾股定理,得
2
2
PQ=EP-1.
要使切线长
最小,只需
长最小,即
2
最小.
PQ
EP
EP
设P坐标为(x,y),由勾股定理,得
2
2
2
.
EP=(x-3)+(y-2)
∵
y
=1
(
x
-3)2-1,∴(
x
-3)
2=2+2.∴
2=2+2+
y
2
-4+4=(
y
-1)2
+5.
2
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- 二次 函数 压轴 专题 一最短 路径 问题