《运筹学》习题线性规划部分练习题及答案.docx
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《运筹学》习题线性规划部分练习题及答案
一、思考题
1.什么是线性规划模型,在模型中各系数的经济意义是什么?
2.线性规划问题的一般形式有何特征?
3.建立一个实际问题的数学模型一般要几步?
4.两个变量的线性规划问题的图解法的一般步骤是什么?
5.求解线性规划问题时可能出现几种结果,那种结果反映建模时有错误?
6.什么是线性规划的标准型,如何把一个耳非标准形式的线性规划问题转化成标准形式。
7.试述线性规划问题的可行解、基础解、基础可行解、最优解、最优基础解的概念及它们之间的相互关系。
8试述单纯形法的计算步骤,如何在单纯形表上判别问题具有唯一最优解、有无穷多个最优解、无界解或无可行解。
9.在什么样的情况下采用人工变量法,人工变量法包括哪两种解法?
10.大M法中,M的作用是什么?
对最小化问题,在目标函数中人工变量的系数取什么?
最大化问题呢?
11.什么是单纯形法的两阶段法?
两阶段法的第一段是为了解决什么问题?
在怎样的情况下,继续第二阶段?
二、判断下列说法是否正确。
1.线性规划问题的最优解一定在可行域的顶点达到。
2.线性规划的可行解集是凸集。
3.如果一个线性规划问题有两个不同的最优解,则它有无穷多个最优解。
4.线性规划模型中增加一个约束条件,可行域的范围一般将缩小,减少一个约束条件,可行域的范围一般将扩大。
5.线性规划问题的每一个基本解对应可行域的一个顶点。
6.如果一个线性规划问题有可行解,那么它必有最优解。
CTiA0
7.用单纯形法求解标准形式(求最小值)的线性规划问题时,与J对应的变量都可以被选作换入变量。
8单纯形法计算中,如不按最小非负比值原则选出换出变量,则在下一个解中至少有一个基变量的值是负的。
9.单纯形法计算中,选取最大正检验数k对应的变量xk作为换入变量,可使目
标函数值得到最快的减少。
10.一旦一个人工变量在迭代中变为非基变量后,该变量及相应列的数字可以从单纯形表中删除,而不影响计算结果。
三、建立下面问题的数学模型
1.某公司计划在三年的计划期内,有四个建设项目可以投资:
项目I从第一年到
第三年年初都可以投资。
预计每年年初投资,年末可收回本利120%,每年又可以重新将所获本利纳入投资计划;项目"需要在第一年初投资,
经过两年可收回本利150%,又可以重新将所获本利纳入投资计划,但用于该项目的最大投资额不得超过20万元;项目m需要在第二年年初
投资,经过两年可收回本利160%,但用于该项目的最大投资额不得超过15万元;项目W需要在第三年年初投资,年末可收回本利140%,
但用于该项目的最大投资额不得超过10万元。
在这个计划期内,该公司第一年可供投资的资金有30万元。
问怎样的投资方案,才能使该公
司在这个计划期获得最大利润?
2.某饲养场饲养动物,设每头动物每天至少需要700克蛋白质、30克矿物质、
100克维生素。
现有五种饲料可供选用,各种饲料每公斤营养成分含量及单价如下表2—1所示:
表2—1
饲料
蛋白质(克)
矿物质(克)
维生素(毫克)
价格(元/公斤)
1
3
1
0.5
0.2
2
2
0.5
1.0
0.7
3
1
0.2
0.2
0.4
4
6
2
2
0.3
5
12
0.5
0.8
0.8
要求确定既满足动物生长的营养要求,又使费用最省的选择饲料的方案。
年产原料30万吨,同时需要成品7万吨;产地A2年产原料26万吨,同时需要成品13万吨;产地A3年产原料24万吨,不需要成品
又知A1与A2间距离为150公里,A1与A3间距离为100公里,A2与A3间距离为200公里。
原料运费为3千元/万吨公里,成品运费为2.5千元/万吨公里;在A1开设工厂加工费为5.5千元/万吨,在A2开设工厂加工费为4千元/万吨,在A3开设工厂加工费为3千元/万吨;又因条件限制,在A2设厂规模不能超过年产成品5万吨,A1与A3可以不限制(见表2――2),问应在何地设厂,生产多少成品,才使生产费用(包括原料运费、成品运费和加工费)最少?
表2—2
距"产
A1
A2
A3
产原料数
(万吨)
加工费
(千元/万吨)
离
产地
地、
A1
0
150
100
30
5.5
A2
150
0
200
26
4
A3
100
200
0
24
3
需成品数
(万吨)
7
13
0
4某旅馆每日至少需要卜列数量的服务员.
(见表2—3)每班
h服务员从开始上班到
卜班连续工作八小时,为满足每班所需要的最少服务员数,这个
旅馆至少需要多少服务员
5.某农场有100公顷土地及15000元资金可用于发展生产。
农场劳动力情况为秋冬季动力本身用不了
时可外出打工,春秋季收入为25元/人日,秋冬季收入为20元/人日。
该农场种植三种作物:
大豆、玉米、小麦,并饲养奶牛和鸡。
种作
物时不需要专门投资,而饲养每头奶牛需投资800元,每只鸡投资3元。
养奶牛时每头需拨出1.5公顷土地种饲料,并占用人工秋冬季为100
人日,春夏季为50人日,年净收入900元/每头奶牛。
养鸡时不占用土地,需人工为每只鸡秋冬季0.6人日,春夏季为0.3人日,年净收
入2元/每只鸡。
农场现有鸡舍允许最多养1500只鸡,牛栏允许最多养200头。
三种作物每年需要的人工及收入情况如表2—4所示
表2—4
大豆
玉米
麦子
秋冬季需人日数
20
35
10
春夏季需人日数
50
75
40
年净收入(元/公顷)
3000
4100
4600
试决定该农场的经营方案,使年净收入为最大。
6.市场对I、"两种产品的需求量为:
产品I在1—4月份每月需1万件,5—9月份每月需3万件,10—12月份每月需10万0件;产
品“在3—9月份每月需1.5万件,其它每月需5万件。
某厂生产这两种产品的成本为:
产品I在1—5月份内生产时每件5元,6—12
月份内生产时每件4.50元;产品"在在1—5月份内生产时每件8元,6—12月份内生产时每件7元;该厂每月生产两种产品能力总和不超过12万件。
产品I容积每件0.2立方米,产品"容积每件0.4立方米。
该厂仓库容积为1万5千立方米,要求:
(1)说明上述问题无可行
解;
(2)若该厂仓库不足时,可从外厂租借。
若占用本厂仓库每月每立方米需1元,而租用外厂仓库时上述费用增加为1.5元,试问在满足
市场需求情况下,该厂应如何安排生产,使总的生产加库存费用最少?
(建立模型,不求解)
7.某工厂I、n、m三种产品在下一年个季度的合同预定数如表2—5所示,该三种产品第一季度初无库存,要求在在第四季度末每种产品的库
存为150件。
已知该厂每季度生产工时为15000小时,生产产品I、n、m每件需3,4,3小时。
因更换工艺装备,产品I在第二季度无法生产。
规定当产品不能按期交货时,产品I、n每件每迟交一个季度赔偿20元,产品m赔偿15元,又生产出来的产品不在本季度交货的,每件每季度的
库存费为5元。
问应如何安排生产,使总的赔偿加库存费用最小。
表2—5
产口口
季
度
1
2
3
4
I
1500
1000
2000
1200
n
1500
1500
1200
1500
m
1500
2000
1500
2500
&某玩具厂生产I、n、m三种玩具,这三种玩具需在a、b、c三种机器上加工,每60个为一箱。
每箱玩具在不同的机器上加工所需的时间(天)
如表2—6所示,本月可供使用的机器的时间为:
A为15天,B为20天,C为24天。
每箱玩具的价格为I:
1500元;":
1700元;m:
2400
元。
问怎样安排生产,使总的产值最大。
表2—6
项目
单位产值(元)
168
140
1050
406
单位可变成本(元)
42
28
350
140
单位纺纱工时(h)
3
2
10
4
单位织带工时(h)
0
0
2
0.5
10.某制4种服装,他们的生产效率(每天制作的服装件数)等有关数据如表2
—8所示,试确定各种服装的生产数量,使总的加工费用最小。
表2—8
衣服规格
制衣
机
需要生产
数量(件)
A
B
C
I
300
600
800
10000
n
280
450
700
9000
山
200
350
680
7000
IV
150
410
450
8000
每天加工费
(元)
80
100
150
11.某制衣厂生产两种服装,现有100名熟练工人。
已知一名熟练工人每小时生产10件服装I或6件服装n»据销售部门消息,从本周开始,这
两种服装的需求量将持续上升。
见表2—9,为此,该厂决定到第8周末需培训出100名新工人,两班生产。
已知一名工人一周工作40小时,一
名熟练工人每周时间可培训出不多余5名的新工人(培训期间熟练工人和培训人员不参加生产)熟练工人每周工资400元,新工人在培训期间工资
每周80元,培训合格后参加生产每周工资260元,生产效率同熟练工人。
在培训期间,为按期交货,工厂安排部分工人加班生产每周工作50小时,
工资每周600元。
又若所定的服装不能按期交货,每推迟交货一周的赔偿费为:
服装I每件10元,服装"每件20元。
工厂应如何安排生产,使各
项费用总和最少。
表2—9(单位:
千件/周)
周次
服装
1
2
3
4
5
6
7
8
I
20
20
24
25
33
34
40
42
n
12
14
17
22
22
25
25
25
12.某家具制造厂生产五种不同规格的家具。
每种家具都要经过机械成型、打磨、上漆几种主要工序。
每种家具的每道工序所用时间及每道工序的可用时间,每种家具的利润由表2—10给出。
问工厂应如何安排生产,使总的利润最大?
表2—10
生产工序
所需时间(小时)
每道工序可用时
间
一
二
三
四
五
成型
3
4
6
2
3
3600
打磨
4
3
5
6
4
3950
上漆
2
3
3
4
3
2800
利润(百元)
2.7
3
4.5
2.5
3
13.某混合饲料场饲养为某种动物配置。
已知此动物的生长速度和饲料中的三种营养成分甲、乙、丙有关,且每头动物每天需要营养甲85克,乙5
克,丙18克。
现有五种饲料都含有这三种营养成分,每种饲料每公斤所含营养成分及每种饲料成本如表2—11所示,求即满足动物成长需要又使
成本最低的饲料配方。
表2—11
饲料
营养甲(克)
营养乙(克)
营养丙(克)
成本(元)
1
0.50
0.10
0.08
2
2
2.00
0.06
0.70
6
3
3.00
0.04
0.35
5
4
1.50
0.15
0.25
4
5
0.80
0.20
0.02
3
14.某食品厂在第一车间用1单位原料N可加工3单位产品A及2单位产品B,产品A可以按单位售价8元出售,也可以在第二车间继续加工,
单位生产费用要增加6元,加工后单位售价增加9元。
产品B可以按单位售价7元出售,也可以在第三车间继续加工,单位生产费用要增加4元,
加工后单位费用可增加6元。
原料N的单位购入价为2元,上述生产费用不包括工资在内。
3个车间每月最多有20万工时,每工时工资0.5元,每
加工1单位N需1.5个工时,如A继续加工,每单位需3工时,如B继续加工,每单位需2个工时。
原料N每月最多能得到10万单位。
问如何安排生产,使工厂获利最大。
15.某公司有30万元可用于投资,投资方案有下列几种:
方案I:
年初投资1元,第二年年底可收回1.2元。
5年内都可以投资,但投资额不能超过15万元。
方案“:
年初投资1元,第三年年底可收回1.3元。
5年内都可以投资。
方案皿:
年初投资1元,第四年年底可收回1.4元。
5年内都可以投资。
方案只在第二年年初有一次投资机会,每投资1元,四年后可收回1.7元。
但最多投资额不能超过10万元。
方案V:
只在第四年年初有一次投资机会,每投资1元,年底可收回1.4元。
但最多投资额不能超过20万元。
方案可:
存入银行,每年年初存入1元,年底可收回1.02元.
投资所得的收益及银行所得利息也可用于投资.求使公司在第五年底收回资金最多的投资方案
16.某工厂生产I、:
n、m、w四种产品,产品I需依次经过aB两种机器加工,产品"需依次经过aC两种机器加工,产品m需依次经过b、C
两种机器加工,产品W需依次经过AB机器加工。
。
有关数据如表2—12所示,请为该厂制定一个最优生产计划。
表2—12
产品
机器生产率(件/小时)
原料成本(元)
产品价格(元)
A
B
C
I
10
20
16
65
n
20
10
25
80
10
15
12
50
IV
20
10
18
70
机器成本(元/小时)
200
150
225
每周可用小时数
150
120
70
六、表2—13中给出求极大化问题的单纯形表,问表中a1,a2,C1,c2,d为何值时以及表中变量属于哪一种类型时有:
(1)表中解为唯一最优解;
(2)表中解为无穷多最优解之一;
(3)表中解为退化的可行解;(4)下一步迭代将以X1代替基变量X5;
(5)该线性规划问题具有无界解;(6)该线性规划问题无可行解。
表2—13
Xb
b
X1
X2
X3
X4
X5
d
4
1
0
0
X3
a1
2
—1
0
1
0
x4
3
—5
0
0
1
a2
—3
X5
0
0
0
Cj-
-zj
C1
C2
七、某医院的护士分四个班次,每班工作12h。
报到的时间分别是早上6点,中午12点,下午6点,夜间12点。
每班需要的人数分别为19人,
21人,18人,16人。
问:
1)每天最少需要派多少护士值班?
(2)如果早上6点上班和中午12点上班的人每月有120元加班费,下午6点和夜间12点上班的人每月分别有100元和150元加班费,如何
安排上班人数,使医院支付的加班费最少?
八、某石油公司有两个冶炼厂。
甲厂每天可生产高级、中级和低级的石油分别为200,300和200桶,乙厂每天可生产高级、中级和低级的石油分
别为100,200和100桶。
公司需要这三种油的数量分别为14000,24000和14000桶。
甲厂每天的运行费是5000元,乙厂是4000元。
问:
(1)公司应安排这两个厂各生产多少天最经济?
(2)如甲厂的运行费是2000元,乙厂是5000元。
公司应如何安排两个厂的生产。
列出线性规划模型并求解。
《运筹学》习题解答
第二章线性规划模型及其单纯形法
二、
(1)X
(2)V(3)V(4)V(5)X(6)X(7)V(8)"(9)X(10)V
3.、
1.解:
设决策变量X11,X12分别表示第一年投资到项目i、n的资金额;x21,x23分别表示第二年投资到项目i、m的资金额;
x31,X34分别表示第三年投资到项目i、w的资金额。
则得线性规划模型如下:
max^0.2x110.2x210.2x310.5x120.6x230.4x34
X11
十X12
<300000
-0.2x11
X21X12X23
<300000
-0.2x11-
0.2X21X31i0.5x〔2'X23
x34一300000
X12
<200000
X23
<150000
x34乞100000
X11,X21,X31,X12,X23,X34
-0
2.解:
设五种饲料分别选取Xi,x2,X3,x4,x5公斤,则得下面的数学模型:
minZ=0.2x10.7x20.4x30.3x40.8x5
'3X[+2x2+x3+6X4+12x5>700
』X[+0.5x2+0.2x3+2x4+0.5x5兰30
0.5X[+x2+0.2x3+2x4+0.8x5^100
留用数;yij表示由Ai
A
i设厂的年产成品数(单
x^0(j=1,2,3,4,5)
3.解:
设Xij表示由Ai运往Aj的原料数(单位:
万吨)(i,j-1,2,3)o其中i二j时,表示Ai运往Aj的成品数(单位:
万吨)(i,j=1,2,3)。
其中i=j时,表示Ai留用数;zi表示在位:
万吨)(i_1,2,3)。
则这一问题的数学模型为:
minZ=3(X12X13X21X23X31X32)2.5(yi2yi3y2i
y23y31y32)5.5可4z?
3Z3
xii
X21
X31
X11
旳2x13=30
+X22+X23=13
X32X33二24
X21X31二4Z1
X12X22X32二4Z2
X13X23X33二4Z3
yn『12%3語
y21y22畑二Z2
y31y32『33二z?
yn『21『31=7
y12y22y32=13
Z2_5
xij_0,yij_o,召-0(i,j=1,2,3)
4.
解:
设Xi
(i
1,2,3,4,5,6)为第
i班开始上班的服务员人数。
则数学模型:
5.
+X1
>80
X1
+X2
>90
X2
+X3
>80
X3
+X4
>70
X4
+X5
>40
X5
g
>30
/j
>0
(j=1,…,6)
用X1
X2,
X3分别表示大豆、玉米、
季的劳动力(人日)数,则有
麦子的种植公顷数;X4,X5分别表示奶牛和鸡的饲养数;X6,X7分别表示秋冬季和春夏
maxZ=3000X[4100x24600x3900x420x520x625x7
x1x2x31.5x4一100
400x4+3x5<15000
20x135x210x3100x40.6x5卷_3500
50x1175x240x350x40.3x5x7一4000
x4<200
x5<1500
(土地限制)
(资金限制)
(劳动力限制)
(劳动力限制)
(牛栏限制)
(鸡舍限制)
、、XjK0(j=1,2,…,7)
6.解:
(1)因为10—12月份市场需求总计45万件,这三个月最多生产36万件,故需故按上述条件,本题无解。
10月初有9万件的库存,超过该厂的最大仓库容积,
(2)考虑到生产成本、库存费用和生产能力,该厂10—12月份需求的不足只需在7—
生产的产品I的数量;yi为第i个月生产的产品“的数量;召,ui分别为第i个月末产品i、n的库存数,
1)个月库存的原有及租用的仓库容积(立方米),则所求问题的数学模型为:
51211
minZ=\(5Xj8yJ=二(4.5xi7yJ一二(s1is2i)
iWi=6
”Xj=10000(^1,2,3,4)
yj=50000(i=1,2)
-30000=z7
z7-30000二z8
z8-30000二z9
z9T00000二z10
X7
X8
X
X10
9月份生产出来留用即可,故设:
xi为第i个月
s1i,S2i分别为用于第(i+
i=7
Xj=30000(i=5,6)
yi=15000(i=3,4,5,6)y7-15000二u7
y8u7-15000二u8
y9u8-15000二u9
y10u9-50000=u10
y11u10-50000二u“y12u“=50000
x“+%T00000=z11
x12+引=100000
Xj+yj<120000(i=7,8,9,10,11,12)
0.2召+0.4比=却+s2i(i=7,8,9,10,11,12)
s1i兰15000(i=7,8,9,10,11,12)
.Xi,yi,z,Ui,引◎=0
XS・■
7.解:
设IJ为第i个季度生产的产品j的数量;IJ为第i个季度末需库存的产品
j的数量;tij为第i个季度不能交货的产品j的
数量;yij为第i个季度对产品j的预定数量,则有:
433
minZ="2o(tj1■tj2)*15tj3'5二二siji=j」
<15000(i=1,2,3,4)
Xi1
X21
4
'Xiji£_izXkj
iA
Xi2Xi3
=0
4
八yij
i二
150(j=1,2,3)
i
tij-吊八ykjk=1
(i=123,4;j=1,2,3)
Xij,j,tij-0
8.设Xj为第j(j=1,2,3)
种玩具的生产数量,则有:
maxZ-1500x11700x22400x3
2x〔+6x2+x3兰15
3旨+2x2+2x3兰20
5x1+2x2<24
X[,x2,x3KO为整数
9.解:
(1)设A、B、C、D四种产品的生产数量分别为X1,X2,X3,X4,则有:
maxZ=(168-42)禺(140-28)x2(1050-350)x3(406-140)&
3x12x210x34x4-7200
\2x^0.5x^1200
为,X2,X3,X4-0
(2)当增加固定资本20万元时,线性规划模型没有变化。
10.解:
设Xij(i=1,2,3,4;j=1,2,3)
为第j台制衣机生产第i种服装的天数,则有:
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