分式方程的解法及应用.docx

分式方程的解法及应用.docx

《分式方程的解法及应用.docx》由会员分享，可在线阅读，更多相关《分式方程的解法及应用.docx（17页珍藏版）》请在冰豆网上搜索。

分式方程的解法及应用

分式方程的解法及应用

一、目标与策略

明确学习目标及主要的学习方法是提高学习效率的首要条件，要做到心中有数！

学习目标：

●分式方程的概念以及解法；

●分式方程产生增根的原因；

●分式方程的应用题。

重点难点：

●重点：

分式方程转化为整式方程的方法及其中的转化思想，用分式方程解决实际问题，能从实际问题中抽象出数量关系．

●难点：

检验分式方程解的原因，实际问题中数量关系的分析．

学习策略：

●经历“实际问题——分式方程——整式方程”的过程，发展分析问题、解决问题的能力，渗透数学的转化思想，培养数学的应用意识。

二、学习与应用

“凡事预则立，不预则废”。

科学地预习才能使我们上课听讲更有目的性和针对性。

我们要在预习的基础上，认真听讲，做到眼睛看、耳朵听、心里想、手上记。

知识回顾——复习

学习新知识之前，看看你的知识贮备过关了吗？

（一）什么叫方程？

什么叫方程的解？

答：

含有的叫做方程．

使方程两边相等的的值，叫做方程的解．

（二）分式的基本性质：

分式的分子与分母同乘（或除以）同一个，分式的值不变，这个性质叫做分式的基本性质．用式子表示是：

（其中M是不等于0的整式）．

（三）等式的基本性质：

等式的两边都乘（或除以）同一个数或（除数不能为0），所得的结果仍是等式。

（四）解下列方程：

（1）9－3x＝5x＋5；

（2）

知识要点——预习和课堂学习

认真阅读、理解教材，尝试把下列知识要点内容补充完整，带着自己预习的疑惑认真听课学习。

请在虚线部分填写预习内容，在实线部分填写课堂学习内容。

课堂笔记或者其它补充填在右栏。

详细内容请参看网校资源ID：

#tbjx5#233542

知识点一：

分式方程的定义

里含有未知数的方程叫分式方程。

要点诠释：

（1）分式方程的三个重要特征：

①是；②含有；③分母里含有。

（2）分式方程与整式方程的区别就在于分母中是否含有（不是一般的字母系数），分母中含有未知数的方程是，不含有未知数的方程是

方程，如：

关于的方程和都是方程，而关于的方程和都是方程。

知识点二：

分式方程的解法

（一）解分式方程的基本思想

把分式方程化为方程，具体做法是“去分母”，即方程两边同乘最简公分母，将分式方程转化为整式方程，然后利用整式方程的解法求解。

（二）解分式方程的一般方法和步骤

（1），即在方程的两边都乘以最简公分母，把原方程化为整式方程。

（2）解这个方程。

（3）：

把整式方程的根代入最简公分母，使最简公分母不等于零的根是原方程的根，使最简公分母等于零的根是原方程的。

注：

分式方程必须；增根一定适合分式方程转化后的整式方程，但增根不适合原方程，可使原方程的为零。

（三）增根的产生的原因：

对于分式方程，当分式中，分母的值为零时，无意义，所以分式方程，不允许未知数取那些使分母的值为零的值，即分式方程本身就隐含着不为零的条件。

当把分式方程转化为整式方程以后，这种限制取消了，换言之，方程中未知数的值范围了，如果转化后的整式方程的根恰好是原方程未知数的允许值之外的值，那么就会出现增根。

知识点三：

分式方程的应用

分式方程的应用主要就是，它与学习一元一次方程时列方程解应用题的基本思路和方法是一样的，不同的是，表示关系的代数式是分式而已。

一般地，列分式方程（组）解应用题的一般步骤：

（1）题意；

（2）设；

（3）根据题意找关系，列出分式方程；

（4）解分式方程，并验根；

（5）检验分式方程的根是否符合题意，并根据检验结果写出答案．

知识点四：

常见的实际问题中等量关系

（一）工程问题

（1）工作量＝×工作时间，，；

（2）完成某项任务的各工作量的和＝总工作量＝1．

（二）营销问题

（1）商品利润＝商品一商品；

（2）；

（3）商品销售额＝商品销售价×商品销售量；

（4）商品的销售利润＝（销售价一成本价）×．

（三）行程问题

（1）路程＝×时间，，；

（2）在航行问题中，其中数量关系是：

顺水速度＝＋水流速度，逆水速度＝静水速度－；

（3）航空问题类似于航行问题．

经典例题-自主学习

认真分析、解答下列例题，尝试总结提升各类型题目的规律和技巧，然后完成举一反三。

若有其它补充可填在右栏空白处。

更多精彩请参看网校资源ID：

#jdlt0#233542

类型一：

分式方程的定义

例1．下列各式中，是分式方程的是（　）

A．B．C．D.

思路点拨：

要逐个检查是否符合分式方程的三个特征：

A．因为方程里没有

，所以分式方程；B．虽然有分母，但是分母里没有

，所以分式方程；C．没有，所以不是，它只是一个；D．具备分式方程的三个特征，是　　。

总结升华：

举一反三：

【变式】方程中，x为未知量，a，b为已知数，且，则这个方程（　）

A．分式方程B．一元一次方程

C．二元一次方程D．三元一次方程

类型二：

分式方程解的概念

例2．请选择一组的值，写出一个关于的形如的分式方程，使它的解

是x＝0这样的分式方程可以是.

思路点拨：

分式方程是中含有的，能够使分式方程成立的未知数的值叫分式方程的.

总结升华：

举一反三：

【变式】在中，哪个是分式方程的解，为什么？

类型三：

分式方程的解法

例3．（2011北京房山一模）解方程：

思路点拨：

在解分式方程的时候，要把分式方程变为方程。

原方程的两边都要乘，方程等号右边的常数1也必须乘。

在找最简公分母的时候有时需要先把分式方程变形。

总结升华：

例4.已知分式方程的解为非负数，求的取值范围?

思路点拨：

解这个分式方程即可，注意去分母后所得整式方程的解是非负数，且不等

于1.

举一反三：

【变式1】解方程：

（1）＝，

（2）＋＝2.

【变式2】当为何值时，关于的方程的解是0？

类型四：

增根的应用

例5.当m为何值时，关于x的方程会产生增根？

会无解?

思路点拨：

增根是分式方程去分母后的整式方程的根，它使最简公分母得________，且只适合_______，所以只需把可能出现的增根代入该整式方程中，就可以求得对应的m的值．而分式方程无解有两种情况，一是去分母后的整式方程的根都是_________，二是此整式方程__________．

总结升华：

举一反三：

【变式1】当m为何值时，方程会产生增根（）

　　A.2　　　B.－1　　　C.3　　　D.－3

分析：

分式方程，去分母得___________，将增根______代入，得m。

【变式2】.若方程＝无解，则m＝　　　　　。

类型五：

分式方程的应用

（一）工程类应用性问题

例6.某项工程限期完成，甲队独做正好按期完成，乙队独做则要误期3天，现两队合作2天后，留下的工程再由乙队独做，也正好在限期内完成，问该工程期限是多少天？

思路点拨：

若设工期为x天，将总工程量设为“1”，则甲效为____；乙单独做需（x+3）天，乙效为_______.（法1）甲共做2天，乙共做x天，可将工作完成；（法2）乙独做多用的___天完成的工作量，相当于甲____天做的。

举一反三：

☆【变式1】两个工程队共同参与一项筑路工程，甲队单独施工1个月完成总工程的三分之一，这时增加了乙队，两队又共同工作了半个月，总工程全部完成，哪个队的施工速度快？

分析：

甲1个月完成1/3，即甲效率为1/3，或理解为甲单独做3个月完成，所以甲实际做1.5个月完成了1/2的工程，另外的1/2的工程由乙半个月完成，可见乙的效率为甲的3倍，显见乙的工效快。

上述是计算的方法，以下为方程方法。

【变式2】今年某大学在招生录取时，为了防止数据输入出错，2640名学生的成绩数据分别由两位教师向计算机输入一遍，然后让计算机比较两人的输入是否一致.已知教师甲的输入速度是教师乙的2倍，结果甲比乙少用2小时输完.问这两位教师每分钟各能输入多少名学生的成绩？

（二）行程中应用性问题

例7．甲、乙两地相距828km，一列普通快车与一列直达快车都由甲地开往乙地，直达快车的平均速度是普通快车平均速度的1.5倍．直达快车比普通快车晚出发2h，比普通快车早4h到达乙地，求两车的平均速度．

思路点拨：

这是一道实际生活中的行程应用题，基本量是路程、速度和时间，基本关系是：

路程＝速度×时间，应根据题意，找出追击问题中的等量关系．

总结升华：

举一反三：

☆【变式1】一队学生去校外参观．他们出发30分钟时，学校要把一个紧急通知传给带队老师，派一名学生骑车从学校出发，按原路追赶队伍．若骑车的速度是队伍行进速度的2倍，这名学生追上队伍时离学校的距离是15千米，问这名学生从学校出发到追上队伍用了多少时间？

【变式2】轮船在顺水中航行30千米的时间与在逆水中航行20千米所用的时间相等，已知水流速度为2千米／时，求船在静水中的速度．

（三）营销类的应用性问题

例8．某校办工厂将总价值为2000元的甲种原料与总价值为4800元的乙种原料混合

后，其平均价比原甲种原料每0.5kg少3元，比乙种原料每0.5kg多1元，问混合后的单价每0.5kg是多少元？

思路点拨：

市场经济中，常遇到营销类应用性问题，与价格有关的是：

单价、总价、平均价等，要了解它们的意义，建立它们之间的关系式．

总结升华：

举一反三：

☆【变式】A、B两位采购员同去一家饲料公司购买同一种饲料两次，两次饲料的价格有变化，但两位采购员的购货方式不同．其中，采购员A每次购买1000千克，购贷员B每次用去800元，而不管购买饲料多少，问选用谁的购货方式合算？

三、总结与测评

要想学习成绩好，总结测评少不了！

课后复习是学习不可或缺的环节，它可以帮助我们巩固学习效果，弥补知识缺漏，提高学习能力。

总结规律和方法——强化所学

认真回顾总结本部分内容的规律和方法，熟练掌握技能技巧。

相关内容请参看网校资源ID：

#tbjx13#233542

（一）一般地，解分式方程时，去分母后所得整式方程有可能使原方程中分母为0，因此应如下检验：

将整式方程的解代入最简公分母，如果最简公分母的值不为，则整式方程的解是原分式方程的解，否则，这个解不是原分式方程的解．

（二）列方程（组）解应用题，在弄清题意后，接着就是设未知数，设未知数对后面列方程起着关键作用，对于一道应用题，首先考虑设直接未知数，如果设直接未知数不奏效，就应考虑设间接未知数，就是把一个不是题目中最后要求的未知量设为未知数，求出该数后，再求出要求的数．

成果测评

现在来检测一下学习的成果吧！

请到网校测评系统和模拟考试系统进行相关知识点的测试。

知识点：

可化为一元一次方程的分式方程及其应用

测评系统分数：

模拟考试系统分数：

如果你的分数在80分以下，请进入网校资源ID：

#cgcp0#233542，做基础达标部分的练习，如果你的分数在80分以上，你可以进行能力提升题目的测试。

自我反馈

学完本节知识，你有哪些新收获？

总结本节的有关习题，将其中的好题及错题分类整理。

如有问题，请到北京四中网校的“名师答疑”或“互帮互学”交流。

我的收获

习题整理

题目或题目出处

所属类型或知识点

分析及注意问题

好题

错题

注：

本表格为建议样式，请同学们单独建立错题本，或者使用四中网校错题本进行记录。

知识导学：

分式方程的概念，解法及应用（#23