特殊平行四边形与相似练习.docx
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特殊平行四边形与相似练习
特殊平行四边形与相似练习
1.已知菱形在平面直角坐标系的位置如图所示,顶点,,点是对角线上的一个动点,,当最短时,点的坐标为
A.B.C.,D.,
2.如图,矩形中,为中点,过点的直线分别与、交于点、,连结交于点,连结、.若,,则下列结论:
①垂直平分;②;③;④.其中正确结论的个数是
A.4个B.3个C.2个D.1个
3.如图,在矩形中,,的平分线交于点,于点,连接并延长交于点,连接交于点,下列结论:
①;②;③;④;⑤,
其中正确的有
A.2个B.3个C.4个D.5个
4.如图,矩形中,为中点,过点的直线分别与,交于点,,连接交于点,连接,.若,,则下列结论:
①,;
②;
③四边形是菱形;
④.
其中正确结论的个数是
A.1B.2C.3D.4
5.如图,在四边形中,,,对角线,交于点,平分,过点作交的延长线于点,连接.
(1)求证:
四边形是菱形;
(2)若,,求的长.
6.已知:
如图所示,为等腰直角斜边的中点,平分,交于点,延长到点,使,连接,交的延长线于点,连接.
(1)求证:
;
(2)与有什么数量关系?
证明你的结论;
(3)若,求的面积.
7.如图,四边形是正方形,点是边的中点,,且交正方形外角平分线于点.请你认真阅读下面关于这个图的探究片段,完成所提出的问题.
(1)探究1:
小强看到图后,很快发现,这需要证明和所在的两个三角形全等,但和显然不全等(一个是直角三角形,一个是钝角三角形),考虑到点是边的中点,因此可以选取的中点,连接后尝试着去证就行了,随即小强写出了如下的证明过程:
证明:
如图1,取的中点,连接.
又
点,分别为正方形的
边和的中点
又可知是等腰直角三角形
又是正方形外角的平分线
(2)探究2:
小强继续探索,如图2,若把条件“点是边的中点”改为“点是边上的任意一点”,其余条件不变,发现仍然成立,请你证明这一结论.
(3)探究3:
小强进一步还想试试,如图3,若把条件“点是边的中点”改为“点是边延长线上的一点”,其余条件仍不变,那么结论是否成立呢?
若成立请你完成证明过程给小强看,若不成立请你说明理由.
8.如图,在平行四边形中,过点作,垂足为,连接,为线段上一点,且.
(1)求证:
;
(2)若,,,求的长.
9.在中,,,,现有动点从点出发,沿向点方向运动,动点从点出发,沿线段也向点方向运动,如果点的速度是秒,点的速度是秒,它们同时出发,当有一点到达所在线段的端点时,就停止运动.设运动时间为秒.求:
(1)当时,这时,,两点之间的距离是多少?
(2)若的面积为,求关于的函数关系式.
(3)当为多少秒时,以点,,为顶点的三角形与相似?
10.如图1,在中,,,,动点从点开始沿边向点以1个单位长度的速度运动,动点从点开始沿边向点以每秒2个单位长度的速度运动,过点作,交于点,连接分别从点、同时出发,当其中一点到达端点时,另一点也随之停止运动,设运动时间为秒.
(1)直接用含的代数式分别表示:
, .
(2)是否存在的值,使四边形为菱形?
若存在,求出的值;若不存在,说明理由.并探究如何改变的速度(匀速运动),使四边形在某一时刻为菱形,求点的速度;
(3)如图2,在整个运动过程中,求出线段中点所经过的路径长.
11.如图,矩形中,点在轴上,点在轴上,点的坐标是.矩形沿直线折叠,使得点落在对角线上的点处,折痕与、轴分别交于点、.
(1)求点的坐标;
(2)若点是平面内任一点,在轴上是否存在点,使、、、为顶点的四边形是菱形?
若存在,请直接写出满足条件的点的坐标;若不存在,请说明理由.
12.如图,在平面直角坐标系中,点,的坐标分别是,,动点从点出发,沿轴正方向以每秒1个单位的速度运动,同时动点从点出发,沿射线方向以每秒1个单位的速度运动,以,为邻边构造平行四边形.在线段延长线上一动点,且满足.
(1)当点在线段上运动时,求证:
四边形为平行四边形;
(2)点在运动过程中,是否存在某个时刻(秒,使得四边形是矩形?
若存在,求的值;若不存在,请说明理由.
特殊平行四边形与相似练习
参考答案与试题解析
一.选择题(共4小题)
1.已知菱形在平面直角坐标系的位置如图所示,顶点,,点是对角线上的一个动点,,当最短时,点的坐标为
A.B.C.,D.,
【解答】解:
如图连接,,分别交于、,作于.
四边形是菱形,
,,,、关于直线对称,
,
此时最短,
在中,,
,
,
,,
点坐标,
直线解析式为,直线解析式为,
由解得,
点坐标,.
故选:
.
2.如图,矩形中,为中点,过点的直线分别与、交于点、,连结交于点,连结、.若,,则下列结论:
①垂直平分;②;③;④.其中正确结论的个数是
A.4个B.3个C.2个D.1个
【解答】解:
①矩形中,为中点,
,
,
是等边三角形,
,
,
垂直平分,
故①正确;
②为等边三角形,,
,,
,
,
与不全等;
故②错误;
③易知,,
,,
,,
,
,
故③正确;
④易知,
,
,
,
,
,,
,
,
故④正确;
所以其中正确结论的个数为3个;
故选:
.
3.如图,在矩形中,,的平分线交于点,于点,连接并延长交于点,连接交于点,下列结论:
①;②;③;④;⑤,
其中正确的有
A.2个B.3个C.4个D.5个
【解答】解:
在矩形中,平分,
,
是等腰直角三角形,
,
,
,
在和中,
,
,
,
,
,
,
,故①正确;
,
,(对顶角相等),
,
,
,,
,
,
,故②正确;
,
,
在和中,
,
,
,,故③正确;
,
.故④正确;
,,
不是等边三角形,
,
即,故⑤错误;
综上所述,结论正确的是①②③④共4个.
故选:
.
4.如图,矩形中,为中点,过点的直线分别与,交于点,,连接交于点,连接,.若,,则下列结论:
①,;
②;
③四边形是菱形;
④.
其中正确结论的个数是
A.1B.2C.3D.4
【解答】解:
连接,
四边形是矩形,
,、互相平分,
为中点,
也过点,
,
,,
是等边三角形,
,,
在与中
,
与关于直线对称,
,;
①正确,
,
,
,
,
,
,
,
,
易证,
,
,
四边形是菱形,
③正确,
,
错误.
②错误,
,,
,,
,
,
④正确;
故选:
.
二.解答题(共8小题)
5.如图,在四边形中,,,对角线,交于点,平分,过点作交的延长线于点,连接.
(1)求证:
四边形是菱形;
(2)若,,求的长.
【解答】解:
(1),
,
为的平分线,
,
,
,
,
四边形是平行四边形,
,
是菱形;
(2)四边形是菱形,
,,
,
,
,
,
在中,,,
,
.
6.已知:
如图所示,为等腰直角斜边的中点,平分,交于点,延长到点,使,连接,交的延长线于点,连接.
(1)求证:
;
(2)与有什么数量关系?
证明你的结论;
(3)若,求的面积.
【解答】
(1)证明:
在与中,
,
.
(2)解:
.
理由如下:
,
,
,
,
,
,
,
,
又,,
,
,
为的中点,
,
是的中位线,
.
(3)解:
设,则,,
由
(2)知,,
,
,
,,
,
,
,
,
,
,
,正方形的面积是4个平方单位.
个平方单位.
7.如图,四边形是正方形,点是边的中点,,且交正方形外角平分线于点.请你认真阅读下面关于这个图的探究片段,完成所提出的问题.
(1)探究1:
小强看到图后,很快发现,这需要证明和所在的两个三角形全等,但和显然不全等(一个是直角三角形,一个是钝角三角形),考虑到点是边的中点,因此可以选取的中点,连接后尝试着去证就行了,随即小强写出了如下的证明过程:
证明:
如图1,取的中点,连接.
又
点,分别为正方形的边和的中点
又可知是等腰直角三角形
又是正方形外角的平分线
(2)探究2:
小强继续探索,如图2,若把条件“点是边的中点”改为“点是边上的任意一点”,其余条件不变,发现仍然成立,请你证明这一结论.
(3)探究3:
小强进一步还想试试,如图3,若把条件“点是边的中点”改为“点是边延长线上的一点”,其余条件仍不变,那么结论是否成立呢?
若成立请你完成证明过程给小强看,若不成立请你说明理由.
【解答】
(2)探究2,证明:
在上截取,连接,
由
(1)知,
,,
,
,
,
,
,
又,
,
在和中,,
,
;
(3)探究3:
成立,
证明:
延长到,使,连接,
,
,
,
又,
,
即,
在和中,
,
,
.
8.如图,在平行四边形中,过点作,垂足为,连接,为线段上一点,且.
(1)求证:
;
(2)若,,,求的长.
【解答】
(1)证明:
四边形是平行四边形,,,
,.
,,
.
在与中,
.
(2)解:
四边形是平行四边形,.
由
(1)知,
,.
在中,由勾股定理得:
.
9.在中,,,,现有动点从点出发,沿向点方向运动,动点从点出发,沿线段也向点方向运动,如果点的速度是秒,点的速度是秒,它们同时出发,当有一点到达所在线段的端点时,就停止运动.设运动时间为秒.求:
(1)当时,这时,,两点之间的距离是多少?
(2)若的面积为,求关于的函数关系式.
(3)当为多少秒时,以点,,为顶点的三角形与相似?
【解答】解:
由题意得,,则,
(1)当秒时,,,
由勾股定理得;
(2)由题意得,,则,
因此的面积为;
(3)分两种情况:
①当时,,即,解得秒;
②当时,,即,解得秒.
因此秒或秒时,以点、、为顶点的三角形与相似.
10.如图1,在中,,,,动点从点开始沿边向点以1个单位长度的速度运动,动点从点开始沿边向点以每秒2个单位长度的速度运动,过点作,交于点,连接分别从点、同时出发,当其中一点到达端点时,另一点也随之停止运动,设运动时间为秒.
(1)直接用含的代数式分别表示:
, .
(2)是否存在的值,使四边形为菱形?
若存在,求出的值;若不存在,说明理由.并探究如何改变的速度(匀速运动),使四边形在某一时刻为菱形,求点的速度;
(3)如图2,在整个运动过程中,求出线段中点所经过的路径长.
【解答】解:
(1)根据题意得:
,,
,
在中,,,,,
,
,
.
故答案为:
(1),.
(2)不存在
在中,,,,
,
,
,即,
,
,
,
当时,四边形是平行四边形,
即,解得:
.
当时,,,
,
不能为菱形.
设点的速度为每秒个单位长度,
则,,,
要使四边形为菱形,则,
当时,即,解得:
当,时,即,解得:
当点的速度为每秒个单位长度时,经过秒,四边形是菱形.
(3)如图2,以为原点,以所在的直线为轴,建立平面直角坐标系.
依题意,可知,当时,点的坐标为,当时点的坐标为.
设直线的解析式为,
,
解得,
直线的解析式为.
点,
在运动过程中,线段中点的坐标,.
把代入得,
点在直线上.
过点作轴于点,则,.
线段中点所经过的路径长为单位长度.
11.如图,矩形中,点在轴上,点在轴上,点的坐标是.矩形沿直线折叠,使得点落在对角线上的点处,折痕与、轴分别交于点、.
(1)求点的坐标;
(2)若
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