2TM151约束虚位移虚功008MB.docx
- 文档编号:7315216
- 上传时间:2023-01-22
- 格式:DOCX
- 页数:6
- 大小:60.59KB
2TM151约束虚位移虚功008MB.docx
《2TM151约束虚位移虚功008MB.docx》由会员分享,可在线阅读,更多相关《2TM151约束虚位移虚功008MB.docx(6页珍藏版)》请在冰豆网上搜索。
2TM151约束虚位移虚功008MB
第15章虚位移原理15.1约束.虚位移.虚功
§15-1约束·虚位移·虚功
1.约束及其分类
(1)约束与约束方程
在第1章中,曾将限制物体位移的周围物体称为约束。
为研究上的方便,现将约束定义为:
限制质点或质点系运动的条件称为约束。
表示这些限制条件的数学方程称为约束方程。
可以从不同的角度将约束分类为:
几何约束和运动约束;
定常约束和非定常约束;
完整约束和非完整约束;
双侧约束(固执约束)和单侧约束(非固执约束)
(2)几何约束
限制质点或质点系在空间的几何位置的条件称为几何约束。
第15章虚位移原理15.1约束.虚位移.虚功
例如,图15-1所示单摆,其中质点M可以绕固定点O在平面Oxy内摆动,摆长为l。
质点M受到的约束是几何约束。
图15-1
摆杆对质点的限制条件是:
质点M必须在以O为圆心、以l为半径的圆周上运动。
若以x,y表示质点M的坐标,则其约束方程为
例如,质点M在图15-2所示的固定曲面上运动,质点M受到的约束是几何约束。
图15-2
曲面方程就是质点M的约束方程,即
第15章虚位移原理15.1约束.虚位移.虚功
例如,在图15-3所示的曲柄连杆机构中,连杆AB所受的约束有:
点A只能作以点O为圆心、以r为半径的圆周运动;点B与点A间的距离始终保持为杆长l;点B始终沿滑道作直线运动。
图15-3
这三个条件以约束方程表示为
连杆AB、点A和点B受到的约束是几何约束。
(3)运动约束
在力学中,除了几何约束外,还有限制质点系运动情况的运动学条件,称为运动约束。
第15章虚位移原理15.1约束.虚位移.虚功
例如图15-4所示,车轮沿直线轨道作纯滚动。
图15-4
车轮除了受到限制其轮心A始终与地面保持距离为r的几何约束
外,还受到只滚不滑的运动学限制,即每一瞬时有
上述约束就是几何约束,该方程即为约束方程。
设xA和
分别为点A的坐标和车轮的转角,有
则约束方程可改写为
第15章虚位移原理15.1约束.虚位移.虚功
(4)定常约束和非定常约束
不随时间变化的约束称为定常约束,在定常约束的约束方程中不限含时间t,如图15-1所示的单摆的约束是定常约束。
图15-5为一摆长l随时间变化的单摆,图中重物M由一根穿过固定圆环O的细绳系住。
图15-5
设摆长在开始时为l0,然后以不变的速度v拉动细绳的另一端,此时单摆的约束方程为
由上式可见,约束条件是随时间变化的,这类约束称为非定常约束。
第15章虚位移原理15.1约束.虚位移.虚功
(5)其他分类
a.非完整约束
如果约束方程包含坐标对时间的导数(如运动约
束),而且方程不可能积分为有限形式,这类约束称为非完整约束。
非完整约束方程总是微分方程的形式。
b.完整约束
如果约束方程中不包含坐标时间的导数,或者约
束方程中的微分项可以积分为有限形式,这类约束称为完整约束。
完整约束方程的一般形式为
式中n为质点系的质点数,s为完整约束的方程数。
第15章虚位移原理15.1约束.虚位移.虚功
例如,上述车轮沿直线轨道作纯滚动的例子中,其约束方程
虽是微分形式,但是它可以积分为有限形式,所以仍是完整约束。
c.双侧约束(或称为固执约束)
前述单摆的例子中,摆杆是一刚性杆,它限制质
点沿杆的拉伸方向的位移,又限制质点沿杆压缩方向的位移,这类约束称为双侧约束(或称为固执约束)。
双侧约束(或称为固执约束)的约束方程是等式。
d.单侧约束(或称为非固执约束)
若单摆是用绳子系住的,则绳子不能限制质点沿
绳子缩短方向的位移,这类约束称为单侧约束(或称为非固执约束)。
单侧约束的约束方程是不等式。
例如,单侧约束的单摆,其约束方程为
第15章虚位移原理15.1约束.虚位移.虚功
e.定常双侧几何约束的约束方程
本章只讨论定常双侧几何约束,其约束方程的一
般形式为
式中n为质点系的质点数,s为约束的方程数。
第15章虚位移原理15.1约束.虚位移.虚功
2.虚位移
(1)虚位移
在静平衡问题中,质点系中各个质点都不动。
设想在约束允许的条件下,给质点一个任意的、极其微小的位移。
例如,图15-2中质点M在固定曲面上沿某个方向的极小位移
;图15-3中曲柄在平衡位置转过的任一极小角
,点A相应的位移
和点B相应的位移
。
这种在某瞬时,质点系在允许条件下,可能实现的任何无限小的位移称为虚位移。
虚位移可以是线位移,也可以是角位移。
虚位移用符号
表示,它是变分符号,“变分”包含有无限小“变更”的意思。
第15章虚位移原理15.1约束.虚位移.虚功
(2)实际位移
虚位移与实际位移(简称实位移)是不同的概念。
实位移是质点系在一定时间内真正实现的位移,它除了与约束条件有关外,还与时间、主动力以及运动的初始条件有关;而虚位移仅与约束条件有关。
因为虚位移是任意的无限小的位移,所以在定常的约束条件下,实位移只是所有虚位移中的一个,而虚位移视约束情况,可以有多个,甚至无穷多个。
对于非定常约束,某个时间的虚位移是将时间固定后,约束所允许的虚位移,而实位移是不能固定时间的,所以这时实位移不一定是虚位移中的一个。
对于无限小的实位移,一般用微分符号表示,例如
等。
第15章虚位移原理15.1约束.虚位移.虚功
3.虚功
(1)虚功
力在虚位移中的功称为虚功。
例如,图15-3中按图示的虚位移,力F的虚功为
,是负功;力偶M的虚功为
,是正功。
力F在虚位移
上作的虚功一般以
表示。
(2)实位移中的元功
虚功和实位移中的元功虽然采用同一符号
,但是它们之间有本质区别。
因为虚位移只是假想的,不是真实发生的,因而虚功也是假想的,是虚的。
图15-3中的机构处于静止平衡状态,虽然任何力都没有作实功,但力可以作虚功。
第15章虚位移原理15.1约束.虚位移.虚功
4.理想约束
(1)理想约束
如果在质点系的任何虚位移中,所有约束力所作虚功的和等于零,称这种约束为理想约束。
(2)表示理想约束的数学公式
若以FNi表示作用在虚位移中所作的功,则理想约束可以用数学公式表示为
(3)理想约束实例
在动能定理一章中,视为理想约束的光滑固定面约束、光滑铰链、无重刚杆、不可伸长的柔索、固定端等约束从虚位移原理的角度看,这些约束也为理想约束。
- 配套讲稿:
如PPT文件的首页显示word图标,表示该PPT已包含配套word讲稿。双击word图标可打开word文档。
- 特殊限制:
部分文档作品中含有的国旗、国徽等图片,仅作为作品整体效果示例展示,禁止商用。设计者仅对作品中独创性部分享有著作权。
- 关 键 词:
- TM151 约束 虚位移 虚功 008 MB