1819第1章13 全称量词与存在量词语文doc.docx
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1.3 全称量词与存在量词
1.3.1 量词
1.3.2 含有一个量词的命题的否定
学习目标:
1.理解全称量词与存在量词的意义,能准确地利用全称量词和存在量词叙述简单的数学内容.(重点)2.能判定全称命题和存在性命题的真假.(难点)3.了解对含有一个量词的命题的否定的意义,能正确地对含有一个量词的命题进行否定.(易错点)
[自主预习·探新知]
教材整理1 全称量词和全称命题
阅读教材P14内容,完成下列问题.
全称量词
“所有”、“任意”、“每一个”等表示全体的量词在逻辑中称为全称量词
符号表示
∀
全称命题
含有全称量词的命题称为全称命题
符号表示
∀x∈M,p(x)
把下列命题中是全称命题的序号填写在横线上________.
①指数函数都是单调函数;
②∀x∈R,log2x>0;
③负数的平方是正数;
④平行四边形的对边互相平行.
[解析] ①中含有“都”;②中含有“∀”;③④中省略了全称量词“都”,所以都是全称命题.
[答案] ①②③④
教材整理2 存在量词和存在性命题
阅读教材P14内容,完成下列问题.
存在量词
“有一个”、“有些”、“存在一个”等表示部分的量词在逻辑中称为存在量词
符号表示
∃
存在性命题
含有存在量词的命题称为存在性命题
符号表示
∃x∈M,p(x)
判断(正确的打“√”,错误的打“×”)
(1)全称量词的含义是“任意性”,存在量词的含义是“存在性”.( )
(2)全称命题一定含有全称量词,存在性命题一定含有存在量词.( )
(3)命题“正方形的四条边相等”中没有全称量词,因此不是全称命题.( )
(4)“至少有一个偶数是质数”是存在性命题.( )
[解析] 根据定义可知
(1)是正确的,
(2)是错误的,(3)中省略全称量词“所有的”,所以是全称命题,(4)是正确的.
[答案]
(1)√
(2)× (3)× (4)√
教材整理3 全称命题和存在性命题的否定
阅读教材P16例1以上部分,完成下列问题.
图131
把下列命题进行否定,并写在横线上.
(1)p:
有些三角形是直角三角形.___________________
(2)q:
所有的质数都是奇数.___________________
(3)r:
所有的人都睡觉.___________________
(4)s:
有些实数的相反数比本身大.____________________
[解析] 全称命题的否定是存在性命题,存在性命题的否定是全称命题.
[答案]
(1)所有的三角形都不是直角三角形
(2)有些质数不是奇数
(3)有的人不睡觉
(4)所有实数的相反数都不比本身大
[合作探究·攻重难]
全称命题和存在性命题的辨析
判断下列命题是全称命题还是存在性命题.
(1)有一个实数α,使得tanα无意义;
(2)每个二次函数的图象都与x轴相交;
(3)直线y=kx+b(k≠0,k,b是常数)在y轴上有截距;
(4)棱锥的底面多边形中有正多边形;
(5)直线x=2的斜率不存在.【导学号:
71392028】
[精彩点拨] 利用全称命题和存在性命题的定义进行判断.
[自主解答]
(1)命题中含有存在量词“有一个”,因此是存在性命题.
(2)命题中含有全称量词“每个”,因此是全称命题.
(3)由于直线y=kx+b(k≠0,k,b是常数)表示的是一系列直线,因此该命题是全称命题.
(4)命题用量词表示为:
存在一些棱锥,它们的底面多边形是正多边形,因此是存在性命题.
(5)“直线x=2的斜率不存在”表明存在一直线x=2斜率不存在,因此是存在性命题.
[名师指津]
1.判定命题是全称命题还是存在性命题,主要方法是看命题中含有全称量词还是存在量词,如本例
(1)和
(2).
2.有些全称命题中并不含有全称量词,存在性命题中并不存在存在量词,这时我们要根据命题涉及的定义去判断.
[再练一题]
1.判断下列命题是全称命题还是存在性命题.
(1)若a>0且a≠1,则对任意x,ax>0;
(2)对任意实数x1,x2,若x1 (3)存在实数T,使得|sin(x+T)|=|sinx|; (4)存在实数x,使得x2+1<0. [解] (1) (2)含有全称量词“任意”,是全称命题.(3)(4)含有存在量词“存在”,是存在性命题. 全称命题和存在性命题真假的判断 判断下列命题的真假. (1)有一个实数x0,使x +2x0+3=0; (2)存在两个相交平面垂直于同一条直线; (3)对任意m∈Z且m为偶数,则2m+ 为偶数.【导学号: 71392029】 [精彩点拨] 先判断出是全称命题还是存在性命题,再利用逻辑分析或举例子作出真假判断. [自主解答] (1)由于∀x∈R,x2+2x+3=(x+1)2+2≥2,因此使x2+2x+3=0的实数x不存在,所以存在性命题“有一个实数x0,使x +2x0+3=0”是假命题. (2)由于垂直于同一条直线的两个平面是互相平行的,因此不存在两个相交的平面垂直于同一条直线,所以存在性命题“存在两个相交平面垂直于同一条直线”是假命题. (3)是真命题.因为m∈Z且m为偶数,所以(-1)m=1,所以2m+ =2m,为偶数. [名师指津] 全称命题、存在性命题真假性的判断方法 1要判定一个全称命题是真命题,必须对限定集合M中的每个元素x验证px成立;但要判定全称命题是假命题,只要能举出集合M中的一个x,使得px不成立即可这就是通常所说的“举出一个反例”. 2要判定一个存在性命题是真命题,只要在限定的集合M中,能找到一个x,使px成立即可;否则,这个存在性命题就是假命题. [再练一题] 2.判断以下命题是不是全称命题或存在性命题,并判断真假. (1)有一个实数α,使sin2α+cos2α≠1; (2)任何一条直线都存在斜率; (3)对所有的实数a,b,方程ax+b=0恰有一解; (4)存在实数x,使 =2. [解] (1)存在性命题,因为sin2α+cos2α=1,所以是假命题; (2)全称命题,因为垂直于x轴的直线没有斜率,所以是假命题; (3)全称命题,因为当a=b=0时有无穷解,当a=0且b≠0时无解,故为假命题; (4)存在性命题,∵ = ≤ , ∴ =2无解,故为假命题. 含有一个量词的命题的否定 (1)判断下列命题的真假,并写出它们的否定. ①对任意x∈R,x3-x2+1≤0; ②所有能被5整除的整数都是奇数; ③对任意x∈Q, x2+ x+1是有理数. (2)写出下列存在性命题的否定,并判断其否定的真假. ①有些实数的绝对值是正数; ②某些平行四边形是菱形; ③∃x0,y0∈Z,使得 x0+y0=3.【导学号: 71392030】 [精彩点拨] 根据 (1) (2)题目要求,顺序不同. (1) → → → (2) → → → [自主解答] (1)①当x=2时,23-22+1=5>0,故①是假命题. 命题的否定: 存在x∈R,x3-x2+1>0. ②10能被5整除,10是偶数,故②是假命题. 命题的否定: 存在一个能被5整除的整数不是奇数. ③有理数经过加、减、乘法运算后仍是有理数,故③是真命题. 命题的否定: 存在x∈Q, x2+ x+1不是有理数. (2)①命题的否定是: “所有实数的绝对值都不是正数”. 由于|-2|=2,因此命题的否定为假命题. ②命题的否定是: “每一个平行四边形都不是菱形”.由于菱形是平行四边形,因此命题的否定是假命题. ③命题的否定是: “∀x,y∈Z, x+y≠3”. 因为当x=0,y=3时, x+y=3,因此命题的否定是假命题. [名师指津] 1.对全称命题否定的步骤 第一步改变量词: 把全称量词换为恰当的存在量词; 第二步否定性质: 原命题中的“p(x)成立”改为“非p(x)成立”. 2.对存在性命题否定的步骤 第一步改变量词: 把存在量词换为恰当的全称量词; 第二步否定性质: 原命题中的“p(x)成立”改为“非p(x)成立”. 3.常见词语的否定 [再练一题] 3.写出下列命题的否定,并判断其真假. (1)p: 所有的方程都有实数解; (2)q: ∀x∈R,4x2-4x+1≥0; (3)r: ∃x0∈R,x +2x0+2≤0; (4)s: 某些平行四边形是菱形. [解] (1)非p: 存在一个方程没有实数解,真命题.比如方程x2+1=0就没有实数解. (2)非q: ∃x0∈R,使4x -4x0+1<0,假命题. 这里由于∀x∈R,4x2-4x+1=(2x-1)2≥0恒成立,是真命题, 所以非q是假命题. (3)非r: ∀x∈R,x2+2x+2>0,真命题. (4)非s: 每一个平行四边形都不是菱形,假命题. 含参数的全称命题和存在性命题 [探究问题] 1.如何理解全称命题“对∀x∈R,ax2+2ax+1>0”是真命题,怎样解决? 参数a有范围吗? [提示] 意思是ax2+2ax+1>0恒成立,可转化为a>0且Δ<0来解决.即 或a=0,解得0≤a<1.故参数a的取值范围是[0,1). 2.有关全称命题的问题中常出现恒成立字眼,怎么解决这种问题? 【导学号: 71392031】 [提示] 在恒成立的不等式中,常经过变形分离出参数,转化为函数的最值问题.若f(x)>a恒成立,则只需a<[f(x)]min;若a>f(x)恒成立,只需a>[f(x)]max.有时转化为一元二次不等式在区间上恒成立时,一般用判别式及根的分布解决. 3.存在性问题为真命题或假命题,如何处理? [提示] 因为存在性命题的否定是全称命题,因此当存在性命题为真命题时,可转化为它的否定是假命题处理,当存在性命题为假命题时,可转化为它的否定为真命题处理. 若全称命题“对任意x∈[-1,+∞),x2-2ax+2≥a恒成立”是真命题,求实数a的取值范围. [精彩点拨] 由于此全称命题是真命题,所以可以推出a的值,求出在x∈[-1,+∞)时,f(x)min≥a,利用一元二次不等式与二次函数的关系解题. [自主解答] 法一: 由题意,对任意x∈[-1,+∞),令f(x)=x2-2ax+2≥a恒成立. 所以f(x)=(x-a)2+2-a2可转化为对任意x∈[-1,+∞),f(x)min≥a成立,即对任意x∈[-1,+∞), f(x)min= 由f(x)的最小值f(x)min≥a,知a∈[-3,1]. 所以实数a的取值范围是[-3,1]. 法二: 由x2-2ax+2≥a,即x2-2ax+2-a≥0. 令f(x)=x2-2ax+2-a, 所以全称命题转化为对任意x∈[-1,+∞),f(x)≥0恒成立. 所以Δ≤0,或 即-2≤a≤1,或-3≤a<-2.所以-3≤a≤1. 综上,所求实数a的取值范围是[-3,1]. [名师指津] 对任意x∈[-1,+∞),f(x)≥a,只需f(x)min≥a.也可等价转化为对任意x∈[-1,+∞),x2-2ax+2-a≥0恒成立,结合一元二次不等式的解集与二次函数图象间的关系求解. [再练一题] 4.对于任意实数x,不等式sinx+cosx>m恒成立,求实数m的取值范围. [解] 令y=sinx+cosx,x∈R, 则y=sinx+cosx= sin ≥- . 又∵∀x∈R,sinx+cosx>m恒成立, ∴只要m<- 即可, 故实数m的取值范围是(-∞,- ). [当堂达标·固双基] 1.命题“∀x∈R,x2+2x+3>0”的否定是________. [解析] 全称命题的否定是存在性命题,故所求命题的否定为: ∃x∈R,x2+2x+3≤0. [答案] ∃x∈R,x2+2x+3≤0 2.设命题p: ∃x∈R,x+ ≥2,则非p是________命题(填“真”或“假”). [解析] 令x=2,可知x+ ≥2成立,即p是真命题,所以非p是假命题. [答案] 假 3.命题p: ∃x∈R,x2+2x+5<0是________(填“全称命题”或“存在性命题”),它是________命题(填“真”或“假”),它的否定命题非p: ________,它是________命题(填“真”或“假”).【导学号: 71392032】 [解析] 含“∃”,是存在性命题,其否定为全称命题,因为Δ=4-20<0,所以x2+2x+5>0恒成立,故为假命题,其否定为真命题. [答案] 存在性命题 假 ∀x∈R,x2+2x+5≥0 真 4.命题“∀x属于正实数,2x+ >a成立”是真命题,则a的取值范围是________. [解析] ∵x∈R+时,2x+ ≥2 ,∴a<2 . [答案] (-∞,2 ) 5.判断下列命题的真假,并说明理由. (1)∀x∈R,都有x2-x+1> ; (2)∃α,β,使cos(α-β)=cosα-cosβ; (3)∀x,y∈N,都有(x-y)∈N; (4)∃x,y∈Z,使 x+y=3. [解] (1)法一: 当x∈R时,x2-x+1= + ≥ > ,所以该命题是真命题. 法二: x2-x+1> ⇔x2-x+ >0,由于Δ=1-4× =-1<0, 所以不等式x2-x+1> 的解集是R,所以该命题是真命题. (2)当α= ,β= 时,cos(α-β)=cos =cos =cos = ,cosα-cosβ=cos -cos = -0= ,此时cos(α-β)=cosα-cosβ,所以该命题是真命题. (3)当x=2,y=4时,x-y=-2 N,所以该命题是假命题. (4)当x=0,y=3时, x+y=3,即∃x,y∈Z,使 x+y=3,所以该命题是真命题.
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