直线方程的两点式和截距式教案1.docx
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直线方程的两点式和截距式教案1
直线方程的两点式和截距式教案1
教学目标
1.让学生掌握直线方程两点式和截距式的发现和推导过程,并能运用这两种形式求出直线的方程.
2.通过这节课的学习,让学生学会较灵活的求直线方程的方法,能够一题多法,一题妙法.
3.培养学生的数形结合的数学思想,为今后的学习打下良好的基础.
教学重点与难点
关于两点式的推导以及斜率k不存在或斜率k=0时对两点式方程的讨论及变形,是本节课的重点和难点.
教学过程
(先回顾点斜式方程的推导过程,因为点斜式是推导两点式的基础.)
师:
上节课我们学习了直线方程的点斜式,请问点斜式方程是什么?
点斜式方程是怎样推导的?
生:
点斜式是y-y1=k(x-x1),x1,y1是直线l的某一定点P1的坐标,k是这条直线的斜率.点斜式的推导过程主要依据是直线上任意一点P(x,y)与这条直线上一个定点P1(x1,y1)所确定的斜率相等,并且就是此直线的斜率,所以有
y-y1=k(x-x1).
(此回答可以找两个左右的同学回答,不够的,老师再概括,一定要说清楚.)
老师再使用投影仪,要学生求直线的方程,题目如下:
1.A(8,-1),B(-2,4);
2.A(6,-4),B(-1,2);
3.A(x1,y1),B(x2,y2)(x1≠x2).
(分别找3个同学说上述题的求解过程和答案,并着重要求说出k及求解过程.)
师:
请你说出上述练习的求解过程及答案.
(学生Ⅰ、Ⅱ略)
生Ⅲ:
首先利用直线的斜率公式求出斜率k,然后利用点斜式写出直线方程.就
师:
这个答案对我们有何启示?
求解过程可不可以简化?
生:
可以直接用上述答案作为求直线方程的公式.
(老师应适时表扬该学生)
和美观,体现了数学美.由于这个方程是由直线上两点确定的,我们可以把这种直线方程取一个什么名字?
生:
可以叫做直线方程的两点式.
(教师引导学生对下述问题进行分析)
生:
不同,因为后者y1≠y2,所以后者不能表示倾斜角是90°的直线.
师:
这个问题提得好,但后者形式对称,整齐,便于记忆及应用,所以采用后者作为公式。
师(启发):
两点式公式里面的x1≠x2,y1≠y2,哪些直线不能用公式表示?
生:
倾斜角是0°或90°的直线不能用两点式公式表示.
师(启发学生):
若x1=x2,y1=y2,使得x1-x2=0,y1-y2=0,而x1-x2,y1-y2作为分母,使两点式的直线方程没有意义,所以不能表示倾角是0°或90°的直线,因此为了完整,就应该写成:
这个形式有点繁,能记住吗?
生:
如果把两点式变成(y-y1)(x2-x1)=(x-x1)(y2-y1),那么就可以用它来求过平面上任意两已知点的直线方程.
师:
非常好,请你给同学们说明一下,为什么要化成这种形式?
生:
因为x1-x2=0,或y1-y2=0时作分母,方程没有意义,如果x1-x2,y1-y2不作为分母,直线方程是有意义的,所以也就可以表示倾角为0°或90°的直线方程,那也就可以表示过平面上任意两已知点的直线方程.(老师应充分肯定学生的回答)
y1≠y2),对一条具体直线来说,(x1,y1)和(x2,y2)可以用直线上两个不同的点代替.
师:
我们推导两点式是通过点斜式推导出来的,还可不可以通过其它途径来进行推导?
生:
还可以通过斜率相等来推导,在直线AB上任取一点P(x,y),它与
(下面用投影仪映出下列练习题,应用和巩固学过的知识.)
练习1求过下列两点的直线的两点式方程,再化成斜截式方程:
(1)P1(0,-3),P2(2,1);
(2)A(0,6),B(6,0);
(3)C(-7,-8),O(0,0);
(4)P1(a,0),P2(0,b)(a≠0,b≠0).
练习2三角形的3个顶点是A(2,1),B(0,7),C(-4,-1),求这个三角形3条中线所在的直线方程.
(要学生说出答案,好的应加以表扬.)
形式非常对称、美观,其中a是横截距,b是纵截距.我们把这个式子叫做直线方程的截距式.
生(问):
a、b表示截距,是不是直线与坐标轴的两个交点到原点的距离呢?
师:
a、b表示截距,是直线与坐标轴交点的横坐标和纵坐标,而不是距离.
师:
请同学观察,通过截距式有没有不能表示的直线方程?
生:
有,与x轴或y轴的截距为零的时候,即截距式不表示过原点的直线以及与坐标轴平行的直线.
师:
回答得很好,截距式的左边是两项的和,其中一项是以横坐标x为分子,横截距a为分母的分数,另一项是以纵坐标y为分子,纵截距b为分母的分数;右边是1.
(用投影仪映出一些练习题,巩固学过的直线方程.)
练习3说出下列直线的截距式方程:
1)横截距是3,纵截距是5;
2)横截距是10,纵截距是-7;
3)横截距是-4,纵截距是-8;
练习4已知Rt△ABC的两直角边AC=3,BC=4,直角顶点C在原点,直角边AC在x轴负方向上,BC在y轴正方向上,(如图1-20),求斜边AB所在的直线方程.
答案如下:
练习3:
1)5x+3y-15=0;
2)7x-10y-70=0;
3)3x+4y+12=0;
练习4:
4x-3y+12=0.
(下面再出示几道例题,可以用投影仪或小黑板的形式,进一步巩固和应用所学的知识.)
例1三角形的顶点是A(-5,0),B(3,-3),C(0,2),求这个三角形3条边所在直角的方程.
师:
求这个三角形3条边所在直线的方程,可以采用什么方法?
生:
三角形的3个顶点A(-5,0),B(3,-3),C(0,2),所以这个三角形3条边所在直线可以利用两点式来求.
师:
回答得非常好.但我们已经学过4种(点斜式、斜截式、两点式、截距式)求直线方程的方法,本题这个三角形3条边所在直线的求法,能否可以用其它方法解题,以使得求解直线方程更简单、更方便?
生:
根据A、B、C坐标的特征,求AB所在直线的方程应选用两点式,求BC所在直线的方程应选用斜截式;求AC所在直线的方程应选用截距式.
(上面这一段可以找几个学生回答完整.)
(板书解题过程)
解AB所在直线的方程,由两点式得:
即3x+8y+15=0;
BC所在直线的方程,由斜截式得:
即5x+3y-6=0;
AC所在直线的方程,由截距式得:
即2x-5y+10=0.
例2已知正方形的边长是4,它的中心在原点,对角线在坐标轴上,求正方形各边及对称轴所在直线的方程.
师:
通过对题意的分析,有没有同学说怎样求正方形各边及对称轴所在直线的方程?
生:
图中各点的坐标都可以求出,所以各直线均可通过两点式求出.
师:
很好.但能不能结合题目本身的特点,采用更直接、更方便的方法来求这直线的方程?
生:
由于正方形的顶点在坐标轴上,所以可用截距式求正方形各边所在直线的方程.而正方形的对称轴PQ,MN,x轴,y轴则不能用截距式,其中PQ,MN应选用斜截式;x轴,y轴的方程可以直接写出.
(板书解法,可由学生完成.)
解因为|AB|=4,
对称轴方程分别为x±y=0,x=0,y=0.
三、小结:
让学生小结两点式和截距式的已知条件,直线方程及应用范围.
四、布置作业:
1.求经过下列每两点的直线方程:
(1)(1,-4),(3,4);
(2)(7,-5),(-3,10);
(3)(-3,0),(0,-3);
(4)(0,0),(3,5).
2.已知三角形的3个顶点是A(-4,-1),B(6,4),C(0,-4),求三角形3条边和3条中线所在的直线方程.
3.菱形的两条对角线分别等于8和6,并且分别放置在x轴上和y轴上,对角线的交点和原点重合,求菱形各边所在直线的方程.
4.根据下列所给的条件,求直线的方程:
设计说明
长篇大论了一番,只是为了让读者非常清楚地了解授课的详细过程,实际上,这节课的结构非常清晰明了,大致如下:
1.复习点斜式方程及推导过程,通过点斜式导出两点式.
2.进一步讨论两点式的几种变式,以及各种变式对是否能表示几种特殊直线的影响.
3.由两点式导出截距式.
4.通过习题巩固和应用所学知识.
计算机技术的发展日新月异,将计算机引进课堂是大势所趋,有条件的学校或教师可以引进或自己制作多媒体课件来辅助教学,以提高教学效果,激发学生兴趣,达
是0°或90°的直线,但这一点经常会被学生忽视.老师就可以制作多媒体课件,以加深学生的印象.介绍如下:
在直角坐标系中,给出两个已知点A(x1,y1),B(x2,y2),但A点B点的坐标受变量控制,即是可变的,坐标系中显示A、B两点决定的直线,且显示相对应的两点式表示的直线方程,当A、B两点不断任意变化时,直线和直线方程也随之不断变化(通过动感引发学生的兴趣),并伴随悦耳的音乐声,只有当x1=x2或y1=y2时,直线依然存在,而直线方程显示“不存在”(并不断闪烁),伴以刺耳的提示音,且变幻的画面停滞不前,须用鼠标点击才能继续运转.对于两点式的其它变式也可以如法炮制.通过这些形象、生动的画面和声音能极大引发学生学习的兴趣,达到意想不到的效果,学生学过以后也会终生难忘.
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- 直线 方程 两点 截距式 教案