基础数学专业硕士研究生培养方案070101.docx

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基础数学专业硕士研究生培养方案070101

基础数学专业硕士研究生培养方案（070101）

一、培养目标

为适应教育面向现代化、面向世界、面向未来的目标，培养社会主义建设事业需要的高层次专门人才，要求应用数学专业的硕士研究生：

1.应具有较扎实的数学理论基础和基本数学素养；

2.应系统地掌握本专业基本理论、基本研究方法和技巧；

3.应具有较强的学术沟通能力和良好的团队协作精神；

4.应具备创新意识和独立科研能力；

5.应该熟练掌握一门外语，具有阅读外文资料和用外文写作论文的能力；

6.应具有熟练地使用计算机进行科学计算以及借助互联网查阅专业资料的能力；

7.身心健康，德才兼备。

二、培养方式与学习年限

1．培养方式

采用导师指导为主，导师与指导小组集体培养相结合的模式，通过课堂授课、专题讨论班、专家讲学、课题研究、参加学术报告（会议）等培养方式，使学生成为有学习积极性、主动性和创造性的高层次专门人才。

2．学习年限

本专业的硕士研究生学制为三年，培养年限最长不超过五年。

三、研究方向

1．偏微分方程

2．微分几何

3．代数学

4．算子理论

5．空间理论

四、课程设置与学分（总学分不少于35分）

（一）必修课程

1．学位课程：

公共课（不少于9学分）

自然辩证法概论　　　　　　　1学分

英语　　　　　　　　　　　5学分

中国特色社会主义理论与实践研究　　2学分

2．学科基础课：

（不少于6学分）

泛函分析　　　　　3学分

微分几何　　　　　　　　　　　3学分

代数拓扑　　　　　　　　3学分

基础代数　　　　　　3学分

3．专业主干课（不少于6学分）

偏微分方程　　　　　　3学分

黎曼几何　　　　　　　　　　3学分

Hopf代数　　　　3学分

算子理论　　　　　　　3学分

（二）选修课（不少于12学分）

复流形2学分

量子群　　2学分

模与范畴　　　　2学分

算子及其应用　　　　　　　2学分

鞅与Banach空间几何　　　　2学分

几何专题　　　　　　1学分

李群与纤维丛初步　　　　　　2学分

同调代数2学分

环与代数2学分

现代分析理论2学分

线性算子谱理2学分

子流形几何2学分

主丛上的微分几何2学分

代数专题Ⅰ1学分

代数专题Ⅱ1学分

非线性分析2学分

移动平面法2学分

临界点理论及其应用2学分

MONGE-AMPERE方程2学分

几何分析中的ricci流理论2学分

几何分析初步2学分

Mond-Pecaric方法在算子函数中的应用2学分

（三）实践环节（2学分）

教学实践与文献阅读：

参加教学活动至少40学时。

科研实践：

参加本专业、相关专业、边缘学科或交叉学科的学术讲座不少于10次；作专题学术报告至少2次。

五、学习要求与考核方式

1.课程学习要求

课程学分要求见第四条。

考核分为考试与考查。

必修课进行考试，选修课进行考试或考查。

考试成绩按百分制计分，考查成绩采用五级记分制。

2.实践环节要求

实践内容包括教学实践（为本科生授课、辅导、批改作业、指导大学生毕业论文等）与科研实践（参予具体的科研项目、科研咨询、课题调研，参加学术报告或学术会议等）。

相关的要求见本培养方案有关条目。

3.科研成果数量要求

本专业的硕士研究生在学习期间至少发表（含录用）1篇专业学术论文（除导师外，申请者须排名第一）。

特殊情况下，经导师同意并经学院学术委员会认定达到毕业水平者，可以不要求有学术论文在毕业前被发表或录用。

六、中期考核

课程学习阶段完成后，学生最迟在入学后的第四学期末之前，参加学院组织的中期考核。

中期考核办法参照“硕士学位研究生中期考核规定”进行。

中期考核合格方可继续攻读学位。

七、学位论文要求

1.论文选题

研究生在撰写论文之前，必须经过认真的调查研究，查阅大量文献资料，了解研究发展的历史、现状和发展趋势，在此基础上确定自己的论文题目；论文的选题要在前人工作的基础上有所创新，有学术价值或理论和实践意义，论文对所研究的课题要有新的见解。

鼓励研究生选择与导师当前所承担课题密切相关的题目。

2.论文开题

在中期考核前进行学位论文的开题报告论证会。

研究生必须撰写完整的学位论文开题报告，包括课题的研究意义、研究方法、研究思路、内容框架、撰写计划、核心观点和创新环节，以及相应的文献资料。

3.论文撰写

研究生在论文撰写过程中，应该定期向导师汇报课题研究进展。

必须保证论文写作时间不少于1年，以确保学位论文的质量。

4.论文评阅与答辩

本专业实行学位论文预审制度。

应在正式答辩前两个月，由本专业的导师指导小组（至少3人组成）对学位论文进行预审。

在预审合格或通过修改后合格，方可申请答辩。

在举行答辩之前，还必须通过至少两名同专业的高级职称专家的评阅，对部分论文进行“双盲”评定。

评阅合格后方可进行论文答辩。

基础数学专业硕士研究生培养方案课程设置表

课程

类别

课程

编号

课程名称

总学时

学分

开课学期及周学时

备注

Ⅰ

Ⅱ

Ⅲ

Ⅳ

Ⅴ

Ⅵ

必修课（学位课程）

公

共

课

000002

自然辩证法概论

18

1

1

000003

英语

216

5

6

6

000004

中国特色社会主义理论与实践研究

36

2

2

学

科

基

础

课

010001

泛函分析

72

3

4

至少修6学分

010002

微分几何

72

3

4

010003

代数拓扑

72

3

4

010004

基础代数

72

3

4

专

业

主

干

课

010101

偏微分方程

72

3

4

至少修6学分

010102

黎曼几何

72

3

4

010104

Hopf代数

90

3

5

010107

算子理论

72

3

4

选

修

课

010103

复流形

54

2

3

至

少

选

修

12

学

分

010105

量子群

54

2

3

010106

模与范畴

54

2

3

010108

算子及其应用

54

2

3

010109

鞅与Banach空间几何

54

2

3

010110

几何专题

36

1

2

010111

李群与纤维丛初步

54

2

3

010112

同调代数

54

2

3

010113

环与代数

54

2

3

010114

现代分析理论

54

2

3

010115

线性算子谱理论

54

2

3

010116

子流形几何

54

2

3

010117

主丛上的微分几何

54

2

3

010118

代数专题Ⅰ

36

1

2

010119

代数专题Ⅱ

36

1

2

010120

非线性分析

54

2

3

010121

移动平面法

54

2

3

010122

临界点理论及其应用

54

2

3

010123

MONGE-AMPERE方程

54

2

3

010124

几何分析中的ricci流理论

54

2

3

010125

几何分析初步

010126

Mond-Pecaric方法在算子函数中的应用

54

2

3

教学

实践

2

*

主要课程介绍

课程编号：

010001课程名称：

泛函分析

总课时：

72学分：

3

开课单位：

数学与信息科学学院开课学期：

教学要求：

泛涵分析是从事现代数学研究与实际应用必备的基础课，它是空间的拓扑结构与代数结构的有机结合，通过这门课的教学，使研究生能够掌握泛涵分析的基础知识，更重要的是掌握它的抽象思维方法，为进一步学习其它方向课奠定必备的基础。

教学内容：

1、线性度量空间2、完备性与纲定理3、有界线性算子及有界线性泛涵4、共鸣定理5、开映射与闭图象定理6、haha-Banach延拓定理及隔离定理7、共轭算子与共轭空间8、弱收敛与弱星收敛9、自反空间及一致凸空间10Hilbert空间的几何学及正交投影11、Banach空间上的逆算子与谱12、紧算子的谱论13、自共轭算子的谱论14、自伴算子的谱分解

教材及主要参考书目：

泛涵分析基础，

课程编号：

010002课程名称：

微分流形/现代微分几何

总课时：

72学分：

3

开课单位：

数学与信息科学学院开课学期：

教学要求：

通过对本课程的学习，使学生基本上把握有关微分流形、光滑映射、光滑切向量场、光滑张量场、外微分形式及其外微分等基础知识和在微分流形上进行分析、推理、证明的基本方法和基本技巧，为后续专业课程的学习做好充分的准备。

教学内容：

微分流形，光滑映射，切向量和切空间，切丛，子流形，微分流形的定向，带边流形，光滑切向量场，单参数变换群，Frobenius定理，光滑张量场，外微分式，外微分，外微分式的积分和Stokes定理

教材及主要参考书目：

1、陈维桓：

微分流形初步，高等教育出版社，2001年8月第2版；

2、陈省身，陈维桓：

微分几何讲义，北京大学出版社，1990年；

3、詹汉生：

微分流形导引，北京大学出版社，1987年；

4、白正国，沈一兵：

黎曼几何初步，高等教育出版社，1992年；

5、W.Boothby:

AnintroductiontodifferentiablemanifoldsandRieman-

niangeometry.

预修课程：

数学分析，高等代数，解析几何，微分几何

课程编号：

010102课程名称：

黎曼几何

总课时：

72学分：

3

开课单位：

数学与信息科学学院开课学期：

Ⅱ

教学要求：

本课程是微分几何方向的骨干课程，也是从事微分几何方向进行科学研究的重要基础课程。

通过对本课程的学习，应使学生基本上把握黎曼流形的基本几何结构及一些重要的几何不变量，如黎曼联络、曲率张量、Ricci曲率张量、截面曲率、曲率和数量曲率等；深入理解以测地线、指数映射及弧长的变分为工具所建立的一些重要定理，如Hopf-Rinow定理，Cartan-Hadamard定理，Bonnet-Mayers定理，Synge定理等；在子流形方面，重点把握子流形的基本公式、基本方程、基本定理及其推导和证明，以及极小子流形、体积变分等。

教学内容：

微分流形上的向量丛，黎曼度量和黎曼流形，协变微分，联络和黎曼联络，黎曼流形上的微分算子，联络形式,平行移动，向量丛上的联络，测地线和指数映射，弧长的第一变分公式，Hopf-Rinow定理，曲率张量和曲率形式，截面曲率，Ricci曲率和数量曲率，Ricci恒等式，Jacobi场和共轭点，Cartan-Hadamard定理，空间形式，弧长的第二变分公式，Bonnet-Mayers定理，Synge定理，子流形的基本公式和基本方程，欧氏空间中的子流形，极小子流形和体积变分

教材及主要参考书目：

1、陈维桓，李兴校：

黎曼几何引论（上册），北京大学出版社，2002年12月第一版；

2、陈省身，陈维桓：

微分几何讲义，北京大学出版社，1990年；

3、白正国，沈一兵：

黎曼几何初步，高等教育出版社，1992年；

4、陈维桓：

微分流形初步，高等教育出版社，2001年8月第一版；

5、M.P.doCarmo:

Riemanniangeometry，Boston：

Birkhauser，1992

预修课程：

微分流形/现代微分几何

课程编号：

010103课程名称：

复流形

总课时：

54学分：

2

开课单位：

数学与信息科学学院开课学期：

Ⅲ

教学要求：

本课程是微分几何方向的一个重要专业课程。

除了一些基本的概念外，学生应重点把握复向量丛上的联络、Hermit向量丛及Hermit联络、Hermit流形的全纯截面曲率、Kahler流形的基本几何结构和它有别于一般Hermit流形的重要的几何特征，如Hermit联络与黎曼联络的一致性等；此外，还要求学生能够把握几个Kahler流形的重要例子，初步了解陈示性类的构造。

教学内容：

复流形和近复流形，复向量丛上的联络，全纯向量丛，Hermit向量丛，Hermit流形，Kahler流形的几何，全纯截面曲率，Kahler流形的重要例子,陈示性类

教材及主要参考书目：

1、陈维桓，李兴校：

黎曼几何初步（下册），北京大学出版社，2004年1月第1版；

2、S.S.Chern：

Complexmanifoldswithoutpotentialtheory,NewYork,Springer-Verlag,1978

预修课程：

微分流形，黎曼几何

课程编号：

010104课程名称：

Hopf代数

总课时：

90学分：

3

开课单位：

数学学院开课学期：

Ⅱ

教学要求：

Hopf代数是一种复杂的代数体系，在物理学等多个学科都有重要应用。

通过本课程教学，学生应掌握Hopf代数理论的基本思想和方法，掌握对偶思想在Hopf代数理论中的应用，熟练其计算方法和技巧，进行推理和论证。

为今后的研究工作打好坚实的基础。

教学内容：

1.代数、余代数、双代数和Hopf代数的定义及其基本性质。

2.作用、余作用，模、余模的定义及其基本性质。

3.Hopf模定义及其性质。

4.积分定义及其应用。

5.拟三角双代数（Hopf代数）与余拟三角双代数（Hopf代数）。

6.拟三角双代数（Hopf代数）与量子杨—BAXTER方程。

7.FRT构造。

8.Smash积与Smash余积定义及相关性质。

教材及主要参考书目：

《Hopf代数》、《量子群》等。

课程编号：

010105课程名称：

量子群

总课时：

54学分：

2

开课单位：

数学与信息科学学院开课学期：

Ⅲ

教学要求：

本课程是代数专业硕士研究生的必修课，讲授时间是每周四学时，要求学生掌握量子群研究的基本内容和基本方法。

讲授内容：

代数和模的概念以及自由代数，仿射线和仿射平面，分次代数和过滤代数，Ore扩张以及Noether环，量子平面，Gauss多项式和q-Binomial公式。

代数Mq

（2）的环理论性质，Mq

（2）的双代数结构；Hopf代数GLq

（2）和SLq

（2），以及在量子平面上的余作用，Hopf*-代数。

李代数和包络代数，李代数sl

（2）和它的表示，Clebsch-Gordan公式，sl

（2）在仿射平面上的作用，Hopf代数U（sl

（2））和Sl

（2）的对偶。

介绍sl

（2）的量子包络代数，Uq表示以及在Uq（sl

（2）的Hopf结构和它在量子平面上的作用。

课程编号：

010106课程名称：

模与范畴

总课时：

54学分：

2

开课单位：

数学与信息科学学院开课学期：

Ⅱ

教学要求：

本课程是代数专业硕士研究生的必修课，讲授时间是每周四学时，要求学生掌握模和范畴研究的基本内容和基本方法。

讲授内容：

范畴的定义和例子以及范畴的基本概念，函子和自然变换，范畴的等价积与余积，Hom函子和表示函子，泛和伴随。

左模范畴和右模范畴，Artin模和Noether模，Jordan-Holder定理和Krull——Schmidt定理，模的张量积。

双模投射模，内射模和内射包络。

Morita等价，单环的Wedderburn-Artin定理。

课程编号：

010107课程名称：

算子理论

总课时：

72学分：

3

开课单位：

数学与信息科学学院开课学期：

II

教学要求：

《算子理论》是经典的函数论的方法研究算子理论的一门新兴学科。

该课程以其首倡者Ky.fan教授的代表性论文为主线,研究函数论的许多经典的结果的算子化的表现形式,通过这门课的教学,使研究生能够掌握函数论的方法在算子理论中的应用,为进一步学习Hilbert空间上的正算子的性质奠定必备的基础。

教学内容：

1、Krein-Milman定理2、投影算子与谱系3、算子函数的基本定理4、算子函数的Schwarz引理及Pick-Julia定理5、算子函数的重叠6、VonNeumann不等式的精确化7、算子函数的优势原理8、解析算子函数的基本定理9、解析算子函数的几个重要定理及其精确化10、解析算子函数的均值及角导数11、多变量可交换压缩算子函数12、多元算子多项式。

教材及参考书目：

《算子函数论》、《FunctionalAnalysis》

课程编号：

010108课程名称：

算子及其应用

总课时：

54学分：

2

开课单位：

数学与信息科学学院开课学期：

II

教学要求：

《算子及其应用》是线性代数中半正定矩阵理论的推广,以矩阵为模型来研究正算子的若干不等式及算子函数的单调性等是十分有意义的。

通过这门课的教学,使研究生能够掌握Furuta.T不等式在算子理论中的应用,为进一步开展Hilbert空间上的正算子的性质的研究奠定必备的基础。

教学内容：

1、极分解2、Furuta不等式3、Ando定理4、算子单调函数的性质5、具有负幂形式的Furuta不等式6、一类算子函数的最佳单调区间7、Furuta不等式在算子方程中的应用8、超序算子不等式的若干表现形式9、弱次正规算子及其推广10、若干算子类函数的性质。

教材及主要参考书目：

《Introductiontolinearoperator》、《线性算子谱论》

课程编号：

010109课程名称：

鞅与Banach空间几何

总课时：

54学分：

2

开课单位：

数学与信息科学学院开课学期：

II

教学要求：

《鞅与Banach空间几何》是把概率论中的方法应用于研究Banach空间的结构理论,内容丰富,反映了空间的结构性质与取值于该空间的随机变量的收敛性质之间有着紧密的联系。

通过这门课的教学,使研究生能够掌握该方向的基础知识及研究技能,为进一步开展空间的结构性质的研究奠定必备的基础。

教学内容:

1、向量测度2、可测函数及Bocher积分3、条件期望与鞅4、鞅与RN性质5、渐近鞅与一致渐近鞅6、Pettis可积鞅7、可凹性与暴露点8、Banach空间的型与余型9、p-绝对可和算子10、等周不等式与Dvoretzky定理11、弱Hilbert空间12、凸性模与光滑模13、p-光滑空间值鞅的大数定律14、凸Φ函数不等式15、鞅空间16、正规鞅17、加权与内插18、UMD空间简介。

教材及参考书:

《鞅与Banach空间几何》、《Banach空间结构理论》

课程编号：

010111课程名称：

李群与纤维丛初步

总课时：

54学分：

2

开课单位：

数学与信息科学学院开课学期：

Ⅱ

教学要求：

本课程是微分几何方向的专业选修课程。

通过对本课程的学习，应使学生初步了解有关李群及其李代数、一般微分纤维丛的基本知识。

重点把握李群的Maurer-Cartan形式、结构方程、伴随表示及李氏变换群等内容；在纤维丛方面，主要是加深对微分流形的切丛和一般向量丛的认识。

教学内容：

李群，Maurer-Cartan形式，结构方程，李群同态和李子群，伴随表示，李氏变换群，向量丛和光滑截面，张量丛，微分流形的切丛及光滑向量场，微分纤维丛。

教材及主要参考书目：

1、桓：

微分流形初步，高等教育出版社，2001年8月第一版；

2、W.Warner:

FoundationsofdifferentiablemanifoldsandLiegroup,ChinaAcademicPublishers,Springer-Verlag

预修课程：

近世代数，微分流形

课程编号：

010112课程名称：

同调代数

总课时：

54学分：

2

开课单位：

数学学院开课学期：

Ⅳ

教学要求：

掌握范畴、函子、投射模、内射模、复形、维数等重要概念理解并会应用追踪法证明有关问题

教学内容：

范畴、函子的定义；投射模、内射维数、复形；投射模、投射维数；平坦模；链复形、、长正合列。

教材及主要参考书目：

《同调代数》佟文廷编

课程编号：

010120课程名称：

非线性分析

总课时：

54学分：

2

开课单位：

数学学院开课学期：

II

教学内容：

当今数学研究的的问题基本上都是非线性的.求解非线性问题已经有了一些重要的方法.本课程的主要目的是介绍其中一些方法;我们讲解的主要内容有:

1,BANACH空间理论回顾和其上的微分理论.2,隐函数定理.3,分支理论初步.4,不动点定理.5.BROUWER度理论,6,LERAY-SCHAUDER度理论.6.以上定理和理论在偏微分方程中的应用.7.变分理论简介.

教材及主要参考书目：

1,NIRENBERG,NONLINEARFUNCTIONALANALYSIS,LCTURENOTEINCOURANTINSTITUTE,1974.

2,张恭庆;METHODSINNONLINEARANALYSIS,SPRINGER,2005.

课程编号：

010124课程名称：

几何分析中的ricci流理论

总课时：

54学分：

2

开课单位：

数学学院开课学期：

Ⅲ

教学内容：

本课程主要介绍热点数学问题—RICCI流理论.RICCI流由美国著名数学家HAMILTON提出,他在1982年建立了一个很漂亮的定理.2002--2003年,俄国天才数学家PERELMAN利用RICCI流解决了POINCARE猜想.目前在RICCI流的研究中,一些基本问题依然没有解决.在本课程中,我们要给出RICCI流的基本性质和一些重要的收敛性定理和BLOW-UP技巧.并对其中一些奇点进行分析.

教材及主要参考书目：

B.Chow,P.Lu,L.NI,RICCIFLOW,AMSGRADUATEMATHEMATICALBOOKS.2006.

课程编号：

010125课程名称：

几何分析初步

总课时：

54学分：

2

开课单位：

数学学院开课学期：

Ⅱ

教学内容：

几何分析是当今核心数学主要领域之一.在本课程中,我们讲解的主要内容有:

1FirstandSecondVariationalFormulasforArea

2BishopComparisonTheorem

3Bochne