湖南大学《随机过程》课程习题集.docx
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湖南大学《随机过程》课程习题集
湖南大学本科课程《随机过程》习题集
主讲教师:
何松华教授
第一章:
概述及概率论复习
设一批产品共50个,其中45个合格,5个为次品,从这一批产品中任意抽取3个,求其中有次品的概率。
设一批零件共100个,次品率为10%,每次从其中任取一个零件,取出的零件不再放回,求第3次才取得合格品的概率。
设一袋中有N个球,其中有M个红球,甲、乙两人先后各从袋中取出一个球,求乙取得红球的概率(甲取出的球不放回)。
设一批产品有N个,其中有M个次品,每次从其中任取一个来检查,取出后再放回,求连续n次取得合格品的概率。
设随机变量X的概率分布函数为连续的,且
其中0为常数,求常数A、B的值
设随机变量X的分布函数为
F(x)ABarctg(x)(- (1)求系数A、B; (2)求随机变量落在(-1,1)内的概率;(3)求其概率密度函数。 已知二维随机变量(X,丫的联合概率密度分布函数为 6xy(2xy)0x,y1 fxY(x,y) 0elsewhere (1)求条件概率密度函数fxiY(x|y)、fY|x(y|x); (2)问X、丫是否相互独立 已知随机变量X的概率密度分布函数为 fX(x)21exp[叮笛 ■-2X2X 随机变量丫与X的关系为Y=cX+b其中c,b为常数。 求丫的概率密度分布函数设X、丫是两个相互独立的随机变量,其概率密度分布函数分别为 求随机变量Z=X+丫的概率密度分布函数。 设随机变量丫与X的关系为对数关系,丫=ln(X),随机变量丫服从均值为mY、标准差为Y 的正态分布,求X的概率密度分布。 的数学期望及方差。 随机变量X服从均值为mx、标准差为x的正态分布,X通过双向平方率检波器,Y=c*(c>0),求丫的概率密度分布。 设二维随机变量的联合概率密度分布函数为 fxY(x,y)Asin(xy)(0x,0y-) 22 (1)求系数A, (2)求数学期望E[X]、E[Y],方差D[X]、D[Y];(3)求X、丫的相关函数及相关系数。 设X为拉谱拉斯随机变量,fX(x)—e凶(-x)(0);求: (1)X的特征函数, 2 (2)利用特征函数求X的均值与方差,(3)讨论特征函数实部与虚部的奇偶性。 第二章: 随机过程的基本概念 某公共汽车站停放着两辆公共汽车A、B,从t=1s开始,每隔1s有一名乘客到达车站。 如果每名乘客以概率1/2登上A车,以概率1/2登上B车,各乘客登上哪辆车是相互独立的,用Xj表示第j秒到达的乘客的登车状态,即登上A车则Xj=1,登上B车则Xj=0;设t=n时A车上的乘客数为Yno (1)求离散时间随机过程Yn的一维概率分布率; (2)当公共汽车A上的乘客达到10个时,A即开车,求A车出发时刻n的概率分布。 一个正弦振荡器,由于元器件的热噪声和电路分布参数变化的影响,其输出的正弦波可以看作一个随机过程X(t)Acos(t),其中A、、为相互独立的随机变量,且 求随机过程X(t)的一维概率密度分布函数。 用一枚硬币掷1次的试验定义一个随机过程 Fx(x,1);⑵确定X(t)的二维分布函数Fx(xi,x? ;1/2,1);(3)画出上述分布函数的图形。 设随机过程Z(t)Xcos(t)Ysin(t)(-t),其中>0为常数,X、Y为相互独立的 随机变量,概率密度分布函数分别为标准正态分布(即均值为0,标准差为1)。 若将Z(t)写 成Z(t)Vcos(t), (1)求随机变量V、的概率密度分布函数及联合概率密度分布函数,问二者是否统计独立 (2)求随机过程的一维概率密度分布函数。 求4题所给出的随机过程的均值及相关函数,并判断该随机过程是否为广义平稳随机过程。 设某信号源每T(s)产生一个幅度为A的方波脉冲,脉冲宽度X为均匀分布于[0,T]的随机变量。 这样构成一个随机过程丫(t)(Ot<)。 设不同的脉冲是统计独立的,求随机过程丫(t)的一维概率密度分布函数。 设随机过程X(t)=Ycos(t)(- N 随机过程Z(t)Akejkt(tR),其中Ak服从分布N(0,k2),且相互独立;k为常数,j为 k1 虚数单位,求复随机过程 Z(t)的均值函数与方差函数。 随机过程X(t)=X+Yt,t R; 2r 随机矢量(X,Y)T的协方差矩阵为12,求随机过程 r22 X(t)的协方差函数。 给定随机变量X(ti),xi为任一 实数。 定义另外一个随机过程 1X(ti)xi Y(ti)iii1,2,... i0X(ti)xi 有一脉冲串,其中每个脉冲的宽度为1,脉冲可为正脉冲也可为负脉冲,即脉冲的幅度 随机地取1或-1(概率相等),各脉冲的幅度取值相互独立;脉冲串的起始时间均匀分布于单位时间内,脉冲间隔为0;求此脉冲随机过程的相关函数。 .设随机过程X(t)=b+Nt,b为常量,N为正态随机变量,均值为m,标准差为,求随机过程X(t)的一维概率密度及均值、方差。 质点在直线上作随机游动,即质点在n=1,2,3,…时刻可以在x轴上往右或往左作一个单位距离的随机游动。 往右、左移动的概率分别为p、q(p+q=1),P{Xn=1}=p,P{Xn=-1}=q,各 次游动是相互独立的,经过n次游动后,质点所在的相对位置为 n Y(n)Xi i1 求: ⑴离散时间随机过程Y(n)的均值函数;⑵丫(n)的相关函数及自协方差函数。 设随机过程X(t)=+t,和为相互独立的随机变量,其概率密度分布分别为f()、f(), 求随机过程X(t)的概率密度。 设随机过程X(t)A(t)sin[0t(t)],其中A(t)0,在同一时刻随机过程A(t)和(t)是相互 独立的,且⑴在任意时刻的概率密度分布为[-,]上的均匀分布,包络A(t)在任意时刻的概率密度分布为fA(a),求随机过程X(t)的一维概率密度。 随机初始相位正弦波随机过程X(t)=Acos(t+),其中振幅A、角频率取常数,相位为均匀 分布于[-,]的随机变量,求X(t)的一维概率密度分布函数。 设某通信系统的信号为脉冲信号,脉宽为T,脉冲信号的周期也为T,脉冲幅度是随机的且服从高斯分布N(0,2),不同周期内的幅度Xi是相互独立的;第1个脉冲的起始时间与t=0时刻的时间差u是均匀分布于(0,T)的随机变量,u与各Xi相互独立,求该随机信号在任意两个不同时刻的二维联合概率密度分布函数。 设随机过程X(t)的均值为mx(t),协方差函数为KX(t1,t2),(t)为普通函数,试求随机过程Y(t)=X(t)+(t)的均值和协方差函数。 广义平稳随机过程X(t)在四个不同时刻的四维随机变量X=[X(t1),X(t2),X(t3),X(t4)]T的自相 关矩阵为 2 1.3 0.4 a RxE[XXt] b 2 1.2 0.8 0.4 1.2 c 1.1 0.9 d e 2 求矩阵中未知元素的值。 设随机过程X(t)Acos( t)Bsin(t), 其中为常数, A、 B为相互独立的随机变量,概 率密度分布函数为正态分布N(0,2)。 求X(t)的均值和自相关函数。 某平稳随机过程X(t)的自相关函数满足Rx(T)=Rx(0)(T0),证明Rx()必为以T为周期的周期函数。 给定随机过程X(t)和常数a。 丫(t)=X(t+a)-X(t)。 试以X(t)的自相关函数来表示随机过程丫(t)的自相关函数。 若X(t)平稳,均值为mx,求Y(t)的均值;问Y(t)是否平稳是否与X(t)联合平稳 -(缺) X(t)=At,A为随机变量,概率密度分布为N(0,1),求X(t)的均值及自相关函数。 X(t)=cos(t),其中为均匀分布于(1,2)的随机变量,求X(t)的均值及自相关函数。 随机初始相位正弦波随机过程X(t)=Acos(t+),其中振幅A、角频率取常数,相位为均匀 分布于[-,]的随机变量,求该随机过程的均值及相关函数,并判断其平稳性。 随机过程X(t)仅由3个样本函数组成[查看教材中的原图],而且每个样本函数等概率发生。 计算E[X (2)]、E[X(6)]、Rx(2,6)、Fx(x,2)、Fx(x,6)、Fx(xi,X2,2,6)。 分别画出它们的图形。 设从t=0开始,作每秒1次的掷硬币试验,如正面朝上,则X(t)在该秒内的取值为1, 如反面朝上,则X(t)在该秒内的取值为0;求: (1)X(t)的均值函数, (2)计算Rx,,FX,o随机初始相位正弦波随机过程X(t)=Acos(t+),其中振幅A、角频率取常数,相位为均匀 分布于[0,2]的随机变量,求其时间相关函数及集合自相关函数,二者是否相等 2k 根据掷色子实验定义随机过程X(t)cos[(——)t];k123,4,5,6,求X (1),X (2)的概率密 6 度,问X(t)是否为平稳随机过程。 某随机过程由3个不同的样本函数组成,各样本函数等概率出现。 X(g)1,X(t,e2)sin(t),X(t,e3)cos(t) (1)求该随机过程的均值与自相关函数, (2)该过程是否平稳 •随机过程X(t)=Acos(t+),其中角频率取常数,相位为均匀分布于[0,2]的随机变量,振幅A为瑞利分布随机变量,与相互独立,问该过程是否平稳 aa2 fA(a)rexP[盯]a0 0a0 •两个随机过程X(t),Y(t)均不是平稳随机过程,且 X(t)A(t)cos(t),Y(t)B(t)sin(t) 式中A(t)、B(t)是相互独立的零均值平稳随机过程,并有相同的相关函数,证明: Z(t)=X(t)+Y(t)是广义平稳的。 已知两个平稳随机过程的相关函数为 1 Rx()X2eN,Ry()y2(1||)(||—) 试分别求其相关时间。 设随机过程Z(t)X(t)cos(t)Y(t)sin(t),其中为常数,X(t)、Y(t)为平稳随机过程、且联合平稳,求: (1)Z(t)的自相关函数; (2)如Rx()Ry(),Rxy()0,求Z(t)的自相关函数。 两个统计独立的平稳随机过程X(t)和丫(t),均值都是0,自相关函数分别为Rx()e^、 Ry()cos (2);试求: (1)Z(t)=X(t)+Y(t的自相关函数,⑵W(t)=X(t)-Y(t)的自相关函数, (3)互相关函数Rzw()0 设X(t)是雷达发射信号,遇到目标后返回接收机的微弱信号为X(t1),其中1, i是信号返回时间,由于接收到的信号总是伴随有噪声N(t),于是接收到的信号为: Y(t)X(t1)N(t); (1)若X(t)与丫(t)是联合平稳随机过程,求二者的互相关函数;⑵ 在 (1)的条件下,假设N(t)为零均值,且与X(t)统计独立,求X(t)和丫(t)的互相关函数。 已知平稳随机过程X(t)的功率谱密度函数为 Gx() 2 4322 求X(t)的均方值。 平稳随机过程X(t)的自相关函数为 RX()4e11cos()cos(3) 求其功率谱密度函数。 如图所示系统,若X(t)为平稳随机过程,证明丫(t)的功率谱密度函数为 已知平稳随机过程X(t)的功率谱密度函数为 、8()20(1LI)||10 Gx()10 0otherwise 求X(t)的自相关函数。 设X(t)和丫(t)为两个统计独立的平稳随机过程,均值分别为mx、mY,且X(t)的功率谱密 度函数为Gx(),定义Z(t)=X(t)+Y(t),试计算Gx£、Gxz()。 设随机过程丫(t)=X(t)cos(0t+),其中0为常量,X(t)为与无关的随机过程,为均匀分布于(0,2)的随机变量,求丫(t)的自相关函数及功率谱密度。 设随机过程X(t)=acos(t+),其中a为常量,为与无关的随机变量,为均匀分布于(0,2)的 随机变量,的一维概率密度分布函数f()为偶函数,求证X(t)的功率谱密度为 Gx()a2f()。 设广义平稳随机过程X(t)的相关函数如下图所示,求其功率谱密度函数。 设随机过程X(t)=cos(t+),其中为常量,为随机变量,其特征函数为(u)=E[eu],证明: 当且仅当 (1)=⑵=0时,随机过程X(t)广义平稳。 下列函数是否可能为平稳随机过程的相关函数 22^2 f()2ea(12a||-a22)(a,为常数) 3 第三章: 随机过程的线性变换 设有随机变量序列{X(n)|n=1,2,3,…以及随机变量X,且有l.i.m.X(n)X,求证: n limE[X(n)]E[X]E[ln,i.m.X(n)] 设随机过程X(t)是平稳且可微的,导数过程为X'(t)。 证明: 对于任一给定的时刻t,随 机变量X(t)和X'(t)是正交的和互不相关的。 设随机过程X(t)及随机变量丫和Z,并且有l.imX(t)丫,l.imX(t)Z,证明Y=Z相当 ttotto 于: 若极限存在,贝u唯一)。 设随机过程X(t)是平稳且可微的,导数过程为X'(t);设X(t)的物理功率谱密度为Fx()(0), 试求X(t)与X'(t)的互功率谱密度以及X'(t)的功率谱密度。 设有复随机变量序列{X(n)|n=1,2,3,…以及复随机变量丫,且有E[|X(n)|2],求证: X(n) 依均方收敛于随机变量丫的充要条件是 limE[X(n)X*(m)]C(常数) n m 设有随机变量序列{X(n)|n=1,2,3,…}X(n)的相关函数为 Rxgm)E[X(nJX(n2)] n 若有普通序列{an|n=1,2,3,…}并定义丫(n)3kX(k),求Y(n)均方收敛的充要条件。 k1 t 设有随机过程Y(t)X()d,已知X(t)为零均值平稳随机过程,功率谱密度为Gx(), (1)证明丫(t)为平稳随机过程,⑵求丫(t)的功率谱密度(不考虑=0处)。 (非平稳随机过程的连续性)证明: 若X(t)的自相关函数Rx(tl,t2)在tit2to处二元连 续,则X(t)在tto处连续。 对于平稳随机过程X(t),均方连续的充要条件是其自相关函数Rx()在=0处连续。 设X(t)是平稳随机过程,E[X(t)]=1,Rx()1e211,求随机变量S;X(t)dt的均值及方差。 设X(t)的自相关函数为Rx()A2Be',系统的冲激响应为h(t)eat(t0),A、B、a均为正的常数,设X(t)的均值非负,试求输出丫(t)的均值。 在图示积分电路的输入端加入一平稳随机过程X(t),E[X(t)]=0,Rx(t1,t2)2e|t1t21,电 路的初始条件为丫(0-)=0,试分析输出过程丫(t)的统计特性(瞬态和稳态)。 o1o 帝*厂丄 迩〉1■-丁F0 00 (1)12题中若X(t)的相关函数为Rx(t1,t2)(t1t2),求输出过程的自相关函数;⑵若输 入从t=-已经开始(不限制t=0-处的初始条件),求输出过程的自相关函数。 如图所示的RL电路,输入为零均值平稳随机过程,相关函数为Rx(t1t)2e|t1t21,求 输出过程的自相关函数Ry()。 RUY(t) 设线性因果时不变系统的冲激响应为h(t)el(t)(>0),输入平稳随机过程X(t)的自 相关函数为Rx()e11(>0),求输入输出之间的互相关函数。 设系统的输出为输入的延迟,延迟时间为,试用输入随机过程的相关函数Rx()来表示输 出随机过程的相关函数以及输入与输出之间的互相关函数。 设线性时不变系统的传输函数为H(j)j,输入平稳随机过程的X(t)的自相关函 j 数为Rx()ev|1,试求输入输出随机过程之间的互相关函数。 设输入随机过程的自相关函数为No(),理想窄带放大器的频率特性为 2 2| H(j) (0亍),求该放大器输出信号的总平均功率。 如图所示的RL电路,输入X(t)是物理功率谱密度为N0的随机过程,试用频域法求Y(t) 的自相关函数Ry() O1_ R X(t) Nc 如图所示系统,输入随机过程的功率谱密度函数为常数,Gx()0,试用频谱法求 2 输出随机过程Z(t)的均方值。 零均值平稳随机过程X(t)加到一个线性滤波器,滤波器的冲激响应是指数函数的一段,即 试用Gx()来表示输出随机过程丫(t)的功率谱密度。 t 设积分电路输入输出之间满足如下关系Y(t)ttX()d,其中T为常数,且X(t)、Y(t) 均为平稳随机过程,求二者功率谱密度之间的关系。 线性时不变系统的输入X(t)、输出丫(t)为平稳随机过程,系统传递函数为H(j),求证: Gyx()H(j)Gx()、Gy()H*(j)Gyx() 对于图示单输入、多输出线性时不变系统,求证: 输出Yi(t)、Y2(t)的互功率谱密度为 Gyy2()Hi(j)H2*(j)Gx()。 Jk H1(j) ~ ► X(t) k H2(j) > Yi(t) Y2(t) 设具有功率谱密度函数Gx()(23)/(28)的某平稳随机过程通过某线性系 统后,输出随机过程的功率谱密度函数为Gy()1,求该系统的传递函数。 已知平稳随机过程的相关函数为: ⑴Rx()2(1||)(||1/); ⑵Rx() 2e「; 0。 分别求其等效通能带。 (注: 此题应放在第 4章) 1 X(t) x 给定实数 x,定义理想门限系统的输入输出关系为 丫⑴C ,证明: 0 X(t) x E[Y(t)] Fx(x); (2) R<()Fx(x,x,)。 第四章: 白色噪声与正态随机过程 求证: EM1X2X3X4]E[XiX2]E[X3X4]E[XiX3]E[X2X4]E[XiX4]E[X2X3]。 X(t)与丫(t)为联合正态分布随机过程 设n维高斯分布随机矢量X[Xi,X2,...,Xn]T的各个分量的均值为零,协方差矩阵为 H(j) 1j/ 求输出随机过程丫(t)在任意时刻的概率密度分布函数 白噪声的均值为0,功率谱密度为非零的常数No,求其相关函数。 理想白噪声通过截止频率为fc的理想低通滤波器(幅频特性为常数1),求输出过程的自相关函数。 设X、丫是相互统计独立的高斯随机变量,且它们具有相同的该密度N(m,2);求随机变 量U=aX+bY和V=aX-bY的互相关系数以及U、V的二维联合概率密度。 并联谐振电路如图所示,iN代表噪声电流,它是白噪声,其功率谱密度为No,且为零均值,若t=0时电路开始工作,初始条件为iL(0-)=0,v(0-)=0;研究t时刻电流iL和iR的统计特性。 卅"T応”i厂iriR RMt) 设X、Y为联合高斯分布的随机变量,均值分别为mx、mY,根方差分别为x、丫,互相关系数为r,已现知X=>(,求丫的合理估计值。 一个高斯随机过程的均值函数为mX(t)2、协方差函数为KX(t1,t2)8cos[(t1t2)],写 出t1=0,t2=1/2时刻的二维概率密度。 一个平稳高斯随机过程的均值函数为mx(t)0、自相关函数为Rx()邑匚,写出 t1=0,t2=1/2、t3=1时刻的三维概率密度。 设随机过程Z(t)Acos(0t)n(t),其中A、0为常量,n(t)为零均值平稳高斯过程,相关 函数为Rn(),写出Z(t)的一维、二维概率密度分布函数。 考虑两个随机变量的去相关处理。 设丫1、乂为相关的零均值随机变量,方差分别为 X1cos()sin() X2sin()cos()Y? 求使得变换后的变量不相关的条件。 图示RC低通滤波器的输入为白色噪声,物理功率谱密度为Fx()=N0(0<),求输出随机过 程的物理功率谱密度及相关函数,并证明对于任意的t3>t2>t1,有 RY(t3t1) Ry(0) cL_ 忒R (与第3章第26题重复)。 设有二维随机矢量[Xi,X2],其概率密度为 在椭圆 上概率密度为常数2「亍1 2eXP{亍5},称该椭圆为等概率椭圆'求随机矢量 落在等概率椭圆内的概率。 设n维随机矢量X=[Xi,X2,…,Xn]服从联合高斯分布,各个分量相互独立,且均值为0, 机矢量的协方差矩阵为 求其N维特征函数 (接上题)若各个分量的之间的协方差为 n 设另一随机变量Y为YXi,求Y的特征函数 i1 0,其协方差矩阵的元素值为 设3维高斯随机矢量X=[Xi,X2,X3]各个分量的均值为 kij(i,j=1,2,3),且kn=k22=k33=2;求 (1)E[X1X2X3], (2)E[X1X2X3], 222222 E[(X1)(X2)(X3)] 设3维高斯随机矢量X=[X1,X2,X3]的概率密度为 i i/4 i/2 Xi YAX0 i 2/7 X2 0 0 i X3 (1)证明经过线性变换 得到的随机矢量丫=[丫1上,\3],则Yi,Y2,Y3是相互统计独立的随机变量;⑵求C的值 设Xi、X2是相互独立的零均值、单位方差高斯随机变量,定义二维随机矢量丫 丫[恥] [Xi,|X21]Xi0 [Xi,IX21]Xi0 证明: (i)Yi、Y2都是高斯分布的, (2)Y不是联合高斯分布的。 设某一线性系统的单位冲激响应为 at h(t) et0 cc(a>0) 0t0 假设输入从-开始,求Y(t)的一维概率密度函数。 设随机变量X、丫是联合高斯随机变量,且具有边缘概率密度fx(x)、J(y), E[X]E[Y]0,E[X2]E[Y2]2,E[XY];证明: i E[fX(X)fY(Y)]__2 2<442 设零均值高斯随机过程X(t)的相关函数为Rx()2ea|1,对其进行量化处理,得到时间 连续但取值离散的随机过程丫(t),即 Y(t)iSifiX(t)i(i=0,i,2,…) 22 (i)求Y(t)的均值函数;⑵求Y(t)的一维概率密度函数。 设线性系统的输入过程X(t)为零均值高斯随机过程,相关函数为Rx()2
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