第六章 代数系统.docx
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第六章代数系统
第六章代数系统
1.填空题:
f是X上的n元运算的定义是()。
2.判断正误,并说明原因:
自然数集合N上的减法运算“-”是个封闭的运算。
3.判断正误,并说明原因:
实数集合R上的除法运算“”是个封闭的运算。
4.填空题:
代数系统的定义是:
()。
5.填空题:
*是X上的二元运算,*具有交换性,则它的运算表的特征是()。
6.填空题:
*是X上的二元运算,*具有幂等性,则它的运算表的特征是()。
7.简答题:
*是X上的二元运算,*具有幺元,如何在它的运算表上判定哪个元素是幺元?
8.简答题:
*是X上的二元运算,*具有零元,如何在它的运算表上判定哪个元素是零元?
9.简答题:
*是X上的二元运算,*具有幺元,如何判定哪个元素是元素x的逆元?
10令N4={0,1,2,3},N4上定义运算+4:
任何x,y∈N4,x+4y=(x+y)(mod4)。
例如2+43=(2+3)(mod4)=5(mod4)=1
请列出
然后判断+4运算是否有交换性、有幺元、有零元、各个元素是否有逆元?
如果有上述这些元素,请指出这些元素都是什么。
11.判断正误,并说明原因:
对于整集合I上的减法运算“-”来说,0是幺元。
12.填空题:
E是全集,E={a,b},E的幂集P(E)上的交运算的幺元是()。
零元是()。
有逆元的元素是(),它们的逆元分别是()。
13.填空题:
E是全集,E={a,b},E的幂集P(E)上的并运算的幺元是()。
零元是()。
有逆元的元素是(),它们的逆元分别是()。
14.填空题:
E是全集,E={a,b},E的幂集P(E)上的对称差运算的幺元是()。
零元是()。
有逆元的元素是()。
它们的逆元分别是()。
15.填空题:
对于自然数集合N上的加法运算“+”,13=()。
16.填空题:
你所知道的满足吸收律的运算有()。
17.填空题:
你所知道的具有零元的运算有(),其零元是()。
18.设是X上的二元运算,如果有左幺元eL∈X,也有右幺元eR∈X,则eL=eR=e,且幺元e是唯一的。
19.设是X上的二元运算,如果有左零元θL∈X,也有右零元θR∈X,则θL=θR=θ,且零元θ是唯一的。
20.设是X上有幺元e且可结合的二元运算,如果x∈X,x的左、右逆元都存在,则x的左、右逆元必相等。
且x的逆元是唯一的。
21.设是X上且可结合的二元运算,如a∈X,且a-1∈X,则a是可消去的,即
任取x,y∈X,设有ax=ay则x=y。
22.对于实数集合R,给出运算如下:
+是加法、—是减法、是乘法、max是两个数中取最大的、min是两个数中取最小的、|x-y|是x与y差的绝对值。
判断这些运算是否满足表中所列的性质。
如果满足就写“Y”,否则写“N”。
+
-
max
min
|x-y|
可结合性
可交换性
存在幺元
存在零元
23.设R是实数集合,在R上定义二元运算*如下:
任取x,y∈R,
x*y=xy-2x-2y+6
1.验证运算*是否满足交换律和结合律。
2.求运算*是否有幺元和零元,如果有请求出幺元和零元。
3.对任何实数x,是否有逆元?
如果有,求它的逆元,如果没有,说明原因。
24.设是X上有幺元e且可结合的二元运算,求证如果x∈X,都存在左逆元,则x的左逆元也是它的右逆元。
25..给定下面4个运算表如下所示。
分别判断这些运算的性质,并用“Y”表示“有”,用“N”表示“无”填下面表。
如果运算有幂等元、有幺元、有零元、有可逆元素,要指出这些元素是什么。
交换性
幂等元
幂等性
有幺元
有零元
有可逆元素
a)
b)
c)
d)
26.分别说明什么叫做两个代数系统同态、满同态、单一同态、同构、自同构?
27.什么叫做同态核?
28.请举同构的两个代数系统的例子,并说明它们同构的理由。
29.给出集合A={0,1,2,3}和A上的二元运算“*”。
集合B={S,R,A,L}和B上的二元运算“”。
它们的运算表如下面所示。
验证与同构。
30令S={
是S中的代数系统间的同构关系。
求证,是S中的等价关系。
31.令A={0,1,2,3,4,…},B={1,2,4,8,16,…},+表示加法,*表示乘法,问和是否同构?
为什么?
32已知代数系统和
,其中S={a,b,c}P={1,2,3}二元运算表如下所示:
试证明它们同构。
33给定两个代数系统,
R+是正实数,×是R+上的乘法运算;
R是实数集合,+是R上的加法运算。
它们是否同构?
对你的回答给予证明或者举反例说明之。
34.已知代数系统
并设f:
XY是同构映射,请证明如果运算可结合,则运算也可结合。
35.已知代数系统
并设f:
XY是同构映射,请证明如果运算可交换,则运算也可交换。
36.已知代数系统
并设f:
XY是同构映射,请证明如果运算有幺元e,则运算也有幺元e,且f(e)=e。
37.已知代数系统
并设f:
XY是同构映射,请证明如果运算有零元θ,则运算也有零元θ,且f(θ)=θ。
38已知代数系统
并设f:
XY是同构映射,请证明如果
且如果y=f(x),则y-1=(f(x))-1=f(x-1)。
(x映像的逆元=x逆元的映像)
39集合A上两个同余关系R、S,证明R∩S也是同余关系.
40.考察代数系统,定义I上如下关系R是同余关系?
a).
b).
c).
d).
41.填空:
是A上二元运算,代数是半群,当且仅当()。
42.填空:
是A上二元运算,代数是独异点,当且仅当()。
43列举出5个你所熟悉的是半群的例子。
44.列举出5个你所熟悉的是独异点的例子。
45列举出1个你所熟悉的是半群但不是独异点的例子。
46.给定代数系统
a,b∈R,
ab=a+b+a·b
求证
a)a∈A,有aa=a
b)a,b∈A,aba=a
c)a,b,c∈A,abc=ac
48.设是个半群,且左右消去律都成立,证明S是交换半群的充要条件是对任何
a,b∈S,有(a*b)2=a2*b2
49.设是半群,如果S是有限集合,则必存在a∈S,使得aa=a。
50.设A是有理数集合,在笛卡尔积A×A上,定义二元运算△如下:
是乘法。
+是加法。
求证是独异点。
51..设
52.令I:
是整数集合;N:
自然数集合,R:
实数集合。
+是加法运算,×是乘法运算。
给定代数系统, , , 。 请问哪些代数系统不是群? 只要说明一条理由即可。 又问哪些代数系统是群? 并说明理由。 53.X=R-{0,1},X上定义六个函数,如下所示: x∈X, f1(x)=xf2(x)=x-1f3(x)=1-x f4(x)=(1-x)-1f5(x)=(x-1)x-1f6(x)=x(x-1)-1 令F={f1,f2,f3,f4,f5,f6},是F上的复合运算,试证明 54.令R是实数,F={f|f(x)=ax+b,a,b,x∈R,ao},是F上的函数左复合运算,试证明 55.设是半群,e是左幺元,且对每个x∈A,x’∈A,使得x’x=e, a)证明,a,b,c∈A,若ab=ac,则b=c。 b)证明是群。 56..设是群,且|A|=2n,n是正整数,证明A中至少存在一个元素a,使得a*a=e。 57.填空: 令 58.A是非空的有限集合,且|A|=n。 令 F={f|f是AA的双射函数} 1.求|F|等于多少? 2.令*是函数的左复合运算。 问 如果是,给予证明。 如果不是,要说明理由。 59.设 首先计算c*d(要有计算过程),再分别求元素b与d的阶。 60.设 求满足方程式b*x=c*d中的x。 61.判断下列各命题的真值,并说明理由。 1. 2.设f是群 62.设 63.设 64. 65. 66.填空: 67.什么叫做群的阶? 68.什么叫做群中运算的阶? 69指出整数集合加法群中,各个元素的阶是什么? 为什么? 70. 71.证明群中的元素与其逆元具有相同的阶。 72.设 73.设 GG是映射, 对x∈G,f(x)=axa-1求证f是G到G的自同构。 74.设 f(x)=a-1*x*a 试证明f是从G到G的自同构. 75.设与都是群,在A与B的笛卡尔积A×B上,定义二元运算△如下: 任取 求证也是群。 76.设与都是群,在A与B的笛卡尔积A×B上,定义二元运算△如下: 任取 已知也是群。 定义映射f: A×B→A,对任意∈A×B, f()=a 求证f是到的同态映射,并求出f的同态核。 77.令G={2m3n|m,n∈Q,Q是有理数},“•”是G中乘法运算。 1.证明 2.给定映射f: GG,f定义为f: 2m3n2m,证明f是G到G的同态映射;并求出f的同态核。 78.给出两个群 证明它们同构。 79.判断下面命题的真值。 并简单说明原因。 1.R为实数集合,×为乘法运算,则 2.设 3.设 80. (ab)(ab)=(aa)(bb)(即(ab)2=a2b2) 81.令G={km|k∈Z},m是某个确定的自然数,Z是整数集合,+是加法运算。 证明 82.设I是整数集合,在I上定义二元运算如下: 对于任何a,b∈Iab=a+b-2 求证是个交换群. 83.已知 对于任何x,y∈G,xy=x*a-1*y(其中a-1是a对于*运算的逆元) 求证 84.令G是所有非0实数构成的集合,在G上定义二元运算如下: 任何a,b∈G,ab 。 求证 85.设I是整数集合,在I上定义二元运算*如下: 对于任何a,b∈Iab=a+b-4 求证是个交换群。 86设 87.证明任何阶数为1,2,3,4的群都是交换群,并举一个6阶群,它不是交换群。 88.给定集合G={x|x是有理数且x≠-1},在G上定义二元运算*如下: 对任何a,b∈G,a*b=a+b+ab。 求证<G,*>是交换群。 89.设 90.什么叫做循环群? 什么叫做循环群的生成元? 什么叫做循环群的循环周期? 91.证明循环群都是交换群。 92.给定群 为什么? 如果是循环群请指出它的循环周期。 93.给定群,它是循环群吗? 为什么? 如果是循环群请指出它的循环周期。 94.填空: 设 95.令I是整数集合,在I上定义二元运算如下: 对于I中任何a元素, ab=a+b-2 求证是个循环群 96.设I是整数集合,在I上定义二元运算如下: 对于任何a,b∈Iab=a-1+b 求证是个循环群. 97.设G={1,2,3,4,5,6},×7是7为模的乘法运算,即 x,yG,x×7y=(xy)(mod7),例如4×75=20(mod7)=6 如是,指出生成元。 98.循环群的任何子群都是循环群。 99.填空题: 设 100判断题下面命题的真值: 循环群的生成元也是其任何子群的生成元。 101.什么叫做子群? 102名词解释: 平凡子群与真子群 103.设 104.填空: 设 aH=() 则称aH为a确定的H在G中的左(右)陪集。 105设H3={0,2,4},是以6为模的加法运算。 验证的满同态映射,则对任何a,b∈G,有f(b*a-1)=(f(a*b-1))-1。的运算表如下:是
并分别求左陪集1H3和2H3。
106.设N6={0,1,2,3,4,5},+6是N6上以6为模的加法运算。
即
任何x,yN6,x+6y=(x+y)(mod6),例如4+65=9(mod6)=3
1.画出
2.
为什么?
3.如果是群,它有几个子群?
分别列出子群的运算表。
107.设
求证,
108.设
对于任何a,b,c∈G,
H={x|x∈G,且
求证
109.设
A={x|x∈G,xHx-1=H}
求证是
110p是个质数,证明pm阶群中必包含着一个p阶子群.
111.证明25阶群必含有5阶子群。
112.p是个素数,
为什么?
113
114.设
试问A、B以及G三者有什么关系?
为什么?
115
R={
116设
任意a,b∈G,aRb存在h∈H,k∈K使得b=h*a*k
证明R是G上等价关系.
117.设
aRb当且仅当a-1*b∈H,a,b∈G
1.求证R是G上等价关系.
2.e是G中幺元,由e确定的相对R的等价类[e],求证[e]=H。
118.设f和g都是群
C={x|x∈G1且f(x)=g(x)}
119.设f是从群
120..G是个6阶群,证明G中一定有且只有一个3阶子群。
121设是
122已知
和是群的子群,求证是、和的子群。
123设是个群,和是其子群,且已知|H|=6,|K|=35,试求HK。
并对你的回答说明原因。
124.设是群的子群,且HG,|G|=15,则是交换群。
此说法正确否?
为什么?
125.填空:
设是个群,且已知|G|=n,如果元素aG,a的阶为m,则m与n的关系是()
126.填空:
设f是从群到的同态映射,x1,x2∈X,且y1=f(x1),y2=f(x2),
则f((x1-1x2)-1)=()。
127.设f是从群到的同态映射,K为f的同态核,即ker(f)=K。
求证,对任何X中元素x,y,如果x与y在K的同一个陪集中,则有f(x)=f(y)。
128.填空:
代数系统是个环,当且仅当是个(),是个(),并且还满足条件()。
129.填空:
代数系统是个交换环,当且仅当是个(),是个(),并且还满足条件()。
130.填空:
代数系统是个含幺环,当且仅当是个(),是个(),并且还满足条件()。
131填空:
代数系统是个整环,当且仅当是个(),是个(),并且还满足条件()和()。
132填空:
代数系统是个域,当且仅当()是个交换群,()是个交换群,并且还满足条件()。
133填空:
代数系统是个域,当且仅当是(),是(),并且还满足条件()。
134.令N是自然数集合,I是整数集合,R是实数集合,+和·分别是加法和乘法,,,中哪些不是环吗?
为什么?
如果是环,那些不是整环?
为什么?
哪些不是域?
为什么?
135.判断
,
,
是否为环?
为什么?
136.试证是有幺元的交换环,其中和的
定义为:
对任何a,b∈I,
ab=a+b-1ab=a+b-ab
137..设是一个环,并且对于任何a∈A,有aa=a,证明
a).对于任何a∈A,都有a+a=θ,其中θ是+的幺元.
b).是一个交换环.
138.下面的说法是否正确?
说明理由
.设是个域,对任何a,b∈F,如果a*b=0,则必有a=0或b=0
1.答案:
(f:
XnY)。
2.答案:
错误。
举反例:
1-2=-1,-1不是自然数。
所以不封闭。
3.答案:
错误。
0不能做除数。
例如10没有定义,所以“”不是R上的运算。
4.答案:
代数系统定义:
X是非空集合,X上有m个运算f1,f2,f3,…,fm,则称为一个代数系统。
5.答案:
(它的运算表是个与主对角线为对称的表)
6.答案:
(运算表的主对角线上各个元素均与表头元素对应相同)
7.答案:
从运算表找左幺元eL:
eL所在行的各元素均与上表头元素相同。
从运算表找右幺元eR:
eR所在列的各元素均与左表头元素相同。
eL=eR=ee是幺元。
8.答案:
从运算表找左零元θL:
θL所在行的各元素均与左表头元素相同。
从运算表找右零元θR:
θR所在列的各元素均与上表头元素相同。
θL=θR=θ.θ是零元。
9.答案:
从运算表找x的左逆元xL-1:
在x列向下找到e后,再向左到左表头元素即是xL-1。
从运算表找x的右逆元xR-1:
是、和的子群。
123设是个群,和是其子群,且已知|H|=6,|K|=35,试求HK。
并对你的回答说明原因。
124.设是群的子群,且HG,|G|=15,则是交换群。
此说法正确否?
为什么?
125.填空:
设是个群,且已知|G|=n,如果元素aG,a的阶为m,则m与n的关系是()
126.填空:
设f是从群到的同态映射,x1,x2∈X,且y1=f(x1),y2=f(x2),
则f((x1-1x2)-1)=()。
127.设f是从群到的同态映射,K为f的同态核,即ker(f)=K。
求证,对任何X中元素x,y,如果x与y在K的同一个陪集中,则有f(x)=f(y)。
128.填空:
代数系统是个环,当且仅当是个(),是个(),并且还满足条件()。
129.填空:
代数系统是个交换环,当且仅当是个(),是个(),并且还满足条件()。
130.填空:
代数系统是个含幺环,当且仅当是个(),是个(),并且还满足条件()。
131填空:
代数系统是个整环,当且仅当是个(),是个(),并且还满足条件()和()。
132填空:
代数系统是个域,当且仅当()是个交换群,()是个交换群,并且还满足条件()。
133填空:
代数系统是个域,当且仅当是(),是(),并且还满足条件()。
134.令N是自然数集合,I是整数集合,R是实数集合,+和·分别是加法和乘法,,,中哪些不是环吗?
为什么?
如果是环,那些不是整环?
为什么?
哪些不是域?
为什么?
135.判断
,
,
是否为环?
为什么?
136.试证是有幺元的交换环,其中和的
定义为:
对任何a,b∈I,
ab=a+b-1ab=a+b-ab
137..设是一个环,并且对于任何a∈A,有aa=a,证明
a).对于任何a∈A,都有a+a=θ,其中θ是+的幺元.
b).是一个交换环.
138.下面的说法是否正确?
说明理由
.设是个域,对任何a,b∈F,如果a*b=0,则必有a=0或b=0
1.答案:
(f:
XnY)。
2.答案:
错误。
举反例:
1-2=-1,-1不是自然数。
所以不封闭。
3.答案:
错误。
0不能做除数。
例如10没有定义,所以“”不是R上的运算。
4.答案:
代数系统定义:
X是非空集合,X上有m个运算f1,f2,f3,…,fm,则称为一个代数系统。
5.答案:
(它的运算表是个与主对角线为对称的表)
6.答案:
(运算表的主对角线上各个元素均与表头元素对应相同)
7.答案:
从运算表找左幺元eL:
eL所在行的各元素均与上表头元素相同。
从运算表找右幺元eR:
eR所在列的各元素均与左表头元素相同。
eL=eR=ee是幺元。
8.答案:
从运算表找左零元θL:
θL所在行的各元素均与左表头元素相同。
从运算表找右零元θR:
θR所在列的各元素均与上表头元素相同。
θL=θR=θ.θ是零元。
9.答案:
从运算表找x的左逆元xL-1:
在x列向下找到e后,再向左到左表头元素即是xL-1。
从运算表找x的右逆元xR-1:
和的子群。
123设是个群,和是其子群,且已知|H|=6,|K|=35,试求HK。
并对你的回答说明原因。
124.设是群的子群,且HG,|G|=15,则是交换群。
此说法正确否?
为什么?
125.填空:
设是个群,且已知|G|=n,如果元素aG,a的阶为m,则m与n的关系是()
126.填空:
设f是从群到的同态映射,x1,x2∈X,且y1=f(x1),y2=f(x2),
则f((x1-1x2)-1)=()。
127.设f是从群到的同态映射,K为f的同态核,即ker(f)=K。
求证,对任何X中元素x,y,如果x与y在K的同一个陪集中,则有f(x)=f(y)。
128.填空:
代数系统是个环,当且仅当是个(),是个(),并且还满足条件()。
129.填空:
代数系统是个交换环,当且仅当是个(),是个(),并且还满足条件()。
130.填空:
代数系统是个含幺环,当且仅当是个(),是个(),并且还满足条件()。
131填空:
代数系统是个整环,当且仅当是个(),是个(),并且还满足条件()和()。
132填空:
代数系统是个域,当且仅当()是个交换群,()是个交换群,并且还满足条件()。
133填空:
代数系统是个域,当且仅当是(),是(),并且还满足条件()。
134.令N是自然数集合,I是整数集合,R是实数集合,+和·分别是加法和乘法,,,中哪些不是环吗?
为什么?
如果是环,那些不是整环?
为什么?
哪些不是域?
为什么?
135.判断
,
,
是否为环?
为什么?
136.试证是有幺元的交换环,其中和的
定义为:
对任何a,b∈I,
ab=a+b-1ab=a+b-ab
137..设是一个环,并且对于任何a∈A,有aa=a,证明
a).对于任何a∈A,都有a+a=θ,其中θ是+的幺元.
b).是一个交换环.
138.下面的说法是否正确?
说明理由
.设是个域,对任何a,b∈F,如果a*b=0,则必有a=0或b=0
1.答案:
(f:
XnY)。
2.答案:
错误。
举反例:
1-2=-1,-1不是自然数。
所以不封闭。
3.答案:
错误。
0不能做除数。
例如10没有定义,所以“”不是R上的运算。
4.答案:
代数系统定义:
X是非空集合,X上有m个运算f1,f2,f3,…,fm,则称为一个代数系统。
5.答案:
(它的运算表是个与主对角线为对称的表)
6.答案:
(运算表的主对角线上各个元素均与表头元素对应相同)
7.答案:
从运算表找左幺元eL:
eL所在行的各元素均与上表头元素相同。
从运算表找右幺元eR:
eR所在列的各元素均与左表头元素相同。
eL=eR=ee是幺元。
8.答案:
从运算表找左零元θL:
θL所在行的各元素均与左表头元素相同。
从运算表找右零元θR:
θR所在列的各元素均与上表头元素相同。
θL=θR=θ.θ是零元。
9.答案:
从运算表找x的左逆元xL-1:
在x列向下找到e后,再向左到左表头元素即是xL-1。
从运算表找x的右逆元xR-1:
123设
并对你的回答说明原因。
124.设
此说法正确否?
为什么?
125.填空:
设
126.填空:
设f是从群
则f((x1-1x2)-1)=()。
127.设f是从群
求证,对任何X中元素x,y,如果x与y在K的同一个陪集中,则有f(x)=f(y)。
128.填空:
代数系统
129.填空:
代数系统
130.填空:
代数系统
131填空:
代数系统
132填空:
代数系统
133填空:
代数系统
134.令N是自然数集合,I是整数集合,R是实数集合,+和·分别是加法和乘法,
为什么?
如果是环,那些不是整环?
为什么?
哪些不是域?
为什么?
135.判断
,
,
是否为环?
为什么?
136.试证是有幺元的交换环,其中和的
定义为:
对任何a,b∈I,
ab=a+b-1ab=a+b-ab
137..设是一个环,并且对于任何a∈A,有aa=a,证明
a).对于任何a∈A,都有a+a=θ,其中θ是+的幺元.
b).是一个交换环.
138.下面的说法是否正确?
说明理由
.设
1.答案:
(f:
XnY)。
2.答案:
错误。
举反例:
1-2=-1,-1不是自然数。
所以不封闭。
3.答案:
错误。
0不能做除数。
例如10没有定义,所以“”不是R上的运算。
4.答案:
代数系统定义:
X是非空集合,X上有m个运算f1,f2,f3,…,fm,则称
5.答案:
(它的运算表是个与主对角线为对称的表)
6.答案:
(运算表的主对角线上各个元素均与表头元素对应相同)
7.答案:
从运算表找左幺元eL:
eL所在行的各元素均与上表头元素相同。
从运算表找右幺元eR:
eR所在列的各元素均与左表头元素相同。
eL=eR=ee是幺元。
8.答案:
从运算表找左零元θL:
θL所在行的各元素均与左表头元素相同。
从运算表找右零元θR:
θR所在列的各元素均与上表头元素相同。
θL=θR=θ.θ是零元。
9.答案:
从运算表找x的左逆元xL-1:
在x列向下找到e后,再向左到左表头元素即是xL-1。
从运算表找x的右逆元xR-1:
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- 第六章 代数系统 第六 代数 系统
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