完整版常微分方程试题及答案.docx
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完整版常微分方程试题及答案
第十二章常微分方程
(A)
、是非题
1•任意微分方程都有通解。
(X)
2•微分方程的通解中包含了它所有的解。
(X)
3.函数y3sinx4cosx是微分方程yy0的解。
(O)
4•函数yx2ex是微分方程y2yy0的解。
(X)
12
5.微分方程xyInx0的通解是y-InxC(C为任意常数)。
(O)
2
6.y
siny是一阶线性微分方程。
(X)
7.y
xyxy不是一阶线性微分方程。
(O)
8.y
2y5y0的特征方程为r22r50。
(O)
9.矽
1xy2xy2是可分离变量的微分方程。
(O)
dx
、填空题
1.在横线上填上方程的名称
1y3Inxdxxdy0是可分离变量微分方程。
2xy2xdxyx2ydy0是可分离变量微分方程。
3xyIn丫是齐次方程。
dxx
4xyyx2sinx是一阶线性微分方程。
5yy2y0是二阶常系数齐次线性微分方程。
2.ysinxyxcosx的通解中应含_3个独立常数。
1
3.ye2x的通解是-e2xC1xC2。
4
1
4.ysin2xcosx的通解是sin2xcosxC1xC2。
4
5.xy2x2y2x3yx41是3阶微分方程。
6.微分方程yyy60是」阶微分方程。
7
A.3B
A.3B
acosx
11.在下列函数中,能够是微分方程yy0的解的函数是(C)
A.y1B.yxC.ysinxD.yex
A.
y
2xB.y
2xC
.y
2x
y
13D
.y2x,y
13.
下列彳
微分方程中,
可分离变量的是
(
B
)0
A.
dy
ye
B.
dy
kx
a
by(k,
a,b是常数)
dx
x
dx
C.
dy
sinyx
D.
y
xy
2
y
xe
dx
14.
方程
y2y0白
勺通解是(
C)
。
A.
y
sinxB.
y4e2x
C.
y
C
2x
eD.
x
ye
1
dx
15.微分方程坐
y
dy
x
0满足y|x3
4的特解是(A)o
A.x2y2
25
B
•
3x4yC
C.x2y2
CD.x2y27
16.微分方程
dy
1
y
0的通解是
y(b)o
dx
x
A.CB
.Cx
C
.-C
D.xC
x
x
17.微分方程
y
y
0的解为(B
)0
A.exB
.e
x
C
xx
.ee
D.ex
18.下列函数中,为微分方程xdx
ydy0的通解是(B)
O
Cx2y0
A.xyCB.x2y2CC.Cxy0D
19.微分方程2ydydx0的通解为(A)
A.yxCB.yxCC.yxCD
A.
sinx
cosyC
B
.cosy
sinx
C
C.
cosx
sinyC
D
cosx
siny
C
21.
ye
x的通解为y
(C)
o
A.
x
e
B.ex
C.ex
C1xC2
D
.exC1xC
22.
按照微分方程通解定义,y
sinx的通解是(
A)o
A.
sinxC1xC2
B
sinx
C1
C2
C.
sinx
C1xC2
D
sinx
C1C2
20.微分方程cosydy
sinxdx的通解是(D)
o
四、解答题
1.验证函数yCe3xe2x(C为任意常数)是方程巴e2x3y的通解,
dx
并求出满足初始条件ylx。
0的特解。
22
2.求微分方程
xy1dxy1xdy0的通解和特解。
yIxo1
解:
C,2x2y21
1x
3.求微分方程鱼—tan'的通解
dxxx
解:
sin丫Cxo
x
xy
4.求微分方程'yx的特解。
y|x12
解:
y22x2lnx2o
5.求微分方程yycosxesinx的通解
解:
yesinxxC
6.求微分方程翌—sinx的通解。
dxx
1
解:
ysinxxcosx
x
解。
7•求微分方程
2
解:
y3X
8•求微分方程
x
y|
2yx
x
解:
yx33x
9•求微分方程y
解:
arctanyx
7
2yx1至0的特解。
满足初始条件x
1
2yy满足初始条件x
tanx
10.验证二元方程
2yy2xy的解
11.
解:
12.
解:
13.
14.
解:
求微分方程e
ex1ey1
x2
xy
y2
dx
0,y1,y3的特解。
0,y1,y2的特解。
所确定的函数为微分方程
eydy0的通解。
求鱼ytanxdx
x
y
cosx
验证y1cosx
求微分方程y
secx,
ylx
0的特解。
22
yCxxInx
2y0的解,并写出该方程的通
15.求微分方程y
x
1
-y
x
xe
0满足初始条件y1
0的特解。
解:
y—ex
x
16.求微分方程dy
2
y
x13的通解。
dx
x
1
解:
yx12
2
1
C
2
17.求微分方程x
—dx
y
-dy0满足条件y0
1的特解。
1
y
1x
解:
2y3x33y
22
x
?
5
18.求微分方程y
y
2y
0的通解。
解:
yGexC2e
2x
19.求微分方程y
2y
5y
0的通解。
解:
yexC1cos2xC2sin2x
20.
求微分方程y4y4y0的通解
x
-1相切的积分曲线
2
5.微分方程ye2xy
满足初始条件
1
y|x00的特解为*尹1。
(X)
二、填空题
1.y1cosx与y2
sinx是方程yy
0的两个解,则该方程的通解为
yGcosxC2sinx
2.
微分方程
2y
3y0的通解为y
C1exC2e3xo
3.
微分方程
2y
y0的通解为y
C1C2xeo
4.
微分方程
e2x的通解是y8e
2x
2
xC?
xC3o
5.
微分方程
y'的通解是yC1ex
C2o
6.
微分方程
dy
dx
2xy的通解是yC
x2
e>
、选择题
1.微分方程
4y4y0的两个线性无关解是(C)
A.e2x与2e2xB.e2x与xe2xC.e2x与xe
2xD.e2x与4
e2x
2.下列方程中,不是全微分方程的为(C)
A.3x26xy2dx6x2y4y2dy
B.eydx
xey
2ydy
C.yx2ydxx2dy0
ydx
xdy
3.下列函数中,哪个函数是微分方程
tg的解(C
2
A.sgtB.sgtC.s
1
2gt
4.下列函数中,是微分方程y7y
12y0的解(C)
x2C.ye
3xD.
2x
ye
5.方程1x2yxy
0的通解是(D)
C
.y:
1一x2
」x3Cx
2
12
x
Cxe2
6.微分方程ylnxdx
xInydy满足
yl
11的特解是(A)
A.In2xin2y
B.
ln2
xln2y1
C.In2xIn2
;y0
D.
ln
2xln2y1
7.微分方程1
x2dy
1y
2dx
0的通解是(
A)。
A.arctanx
arctany
C
B.
tanxtany
C
C.lnxlny
C
D
•
cotxcoty
C
8.微分方程y
sin
x的通解是(C)。
A.ysin
x
B
.ysin
x
C.ysin
xC1
|XC2
D
ysin
xC1xC2
9.方程xyy
3的通解是(
A)
。
“CC
3
cC
cC
A.y3
B.
y-
C
—.y一
3D.y3
x
x
x
x
四、解答题
1.求微分方程
y9y
24x
6cos3x2sin3x
的通解。
解:
y0x
cos3x
C2
2x2
xsinx3x
2.求微分方程
y7y
6y
sinx
的通解。
解:
yC1e6x
C2ex
1
7cosx
5sinx
74
3.求微分方程
3x22xyy2
dx
x22xydy
0的通解。
C
解:
y2xyx2—
x
(—)
—、是非题
1•只要给出n阶线性微分方程的n个特解,就能写出其通解。
X
2.已知二阶线性齐次方程yPxyQxy0的一个非零解y,即可求出它的通解。
(0)
二、填空题
1.微分方程y4y5y0的通解是ye2xCicosx—2sinx。
2.已知y1,yx,
yx2某二阶非齐次线性微分方程的三个解,则该方
程的通解为ye2xC1cosx
C2sinx。
3.微分方程
2y
2yex的通解为y
x
eC1cosxC2sinx1。
三、选择题
1.微分方程
1
牙的通解为(
xx1
A.arctanx
1arctanx
x
1
C.—arctanxCDx
.arctanx
2.
微分方程
1的通解是(
3.
4.
5.
A.yCexB.yC
3的解是()
y—0
A.y311B.y
x
ex1D.
31
微分方程光xtanx的通解为()
A.sin—Cx
x
已知微分方程
方程的通解是()
C.Cx1
6.微分方程y
A.aexb
四、解答题
B.sin'
x
CxC.
.x
sin
y
Cx
.x
sin
y
1
Cx
5
1的一个特解为
7
2,则此微分
2
11
2
x
11
1的一个特解应具有形式
(式中a,b为常数)()
B.axex
aexbxD.axexbx
1.设yex是微分方程xy
x的一个解,求此微分方程满足条件
y|xln20的特解。
解:
代入y
ex到方程xy
Pxy
x中,
得px
x
xex
原方程为xy
xexxy
x
y
xex
e1Ce
,y
x
e1
y1
■/xIn2,
y0二C
1
e2。
e
yex1e
x1
2
。
2.已知y1xex
2x
e,y2xe
xx
e,
y3
x2x
xee
ex是某二阶线性非齐次
微分方程的三个解,求此微分方程。
解:
yy3ex,y3y2e2x2ex均是齐次方程的解且线性无关。
GexC2e2x2ex是齐次方程的通解。
当Ci2,C21时,齐次方程的
特解为e2x
ex、e2x都是齐次方程的解且线性无关。
•••CiexC2e2x是齐次方程的通解。
由此特征方程之根为-1,2,故特征方程r2r20。
相应的齐次方程为yy2y0
故所求的二阶非齐方程为
yy2yfx
yi是非齐次方程的特解代入上式得
x
fx12xe
所以yy2y12xex为所求的微分方程。
3.已知f01,试确定fx,使exfxydxfxdy0为全微分方程,并2
求此全微分方程的通解。
解:
Pexfxy,Qfx,由-Q—得
xy
fxexfx,即fxfxex
dxxdx
ee
exxC
-dy0
2
1
得全微分方程:
exexx-ydxexx
故此全微分方程的通解为exx1yC
2
2
4.微分方程y3y3的一个特解是(
33
A.yx1B.yx2C.y
5.函数ycosx是下列哪个微分方程的解(
A.yy0B.y2y0C.yn
6.yGexC2ex是方程yy0的(A),其中&,C?
为任意常数
A.通解B.特解C.是方程所有的解D.上述都不对
7.yy满足yL02的特解是(B)o
x
A.yex1B.y2exC.y2e2D.y3ex
8.微分方程yysinx的一个特解具有形式(C)。
A.yasinx
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