届人教A版 解三角形的应用 检测卷.docx
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届人教A版解三角形的应用检测卷
考点测试25 解三角形的应用
一、基础小题
1.从A处望B处的仰角为α,从B处望A处的俯角为β,则α,β之间的关系是( )
A.α>βB.α=β
C.α+β=90°D.α+β=180°
答案 B
解析 根据仰角与俯角的含义,画图即可得知.
2.在△ABC中,若sin(A-B)=1+2cos(B+C)sin(A+C),则△ABC的形状一定是( )
A.等边三角形B.不含60°的等腰三角形
C.钝角三角形D.直角三角形
答案 D
解析 sin(A-B)=1+2cos(B+C)sin(A+C)=1-2cosAsinB,∴sinAcosB-cosAsinB=1-2cosAsinB,
∴sinAcosB+cosAsinB=1,即sin(A+B)=1,则有A+B=,故三角形为直角三角形.
3.一船自西向东匀速航行,上午10时到达一座灯塔P的南偏西75°距塔68海里的M处,下午2时到达这座灯塔的东南方向的N处,则这只船的航行速度为( )
A.海里/小时B.34海里/小时
C.海里/小时D.34海里/小时
答案 A
解析 如图所示,在△PMN中,=,
∴MN==34.
∴v==(海里/小时).故选A.
4.线段AB外有一点C,∠ABC=60°,AB=200km,汽车以80km/h的速度由A向B行驶,同时摩托车以50km/h的速度由B向C行驶,则几小时后,两车的距离最小( )
A.B.1
C.D.2
答案 C
解析 如图所示,设过xh后两车距离为y,则BD=200-80x,BE=50x.
∴y2=(200-80x)2+(50x)2-2×(200-80x)·50x·cos60°,
整理得y2=12900x2-42000x+40000(0≤x≤2.5).
∴当x=时,y2最小,即y最小.
5.要测量底部不能到达的东方明珠电视塔的高度,在黄浦江西岸选择甲、乙两观测点,在甲、乙两点测得塔顶的仰角分别为45°、30°,在水平面上测得电视塔与甲地连线及甲、乙两地连线所成的角为120°,甲、乙两地相距500m,则电视塔的高度是( )
A.100mB.400m
C.200mD.500m
答案 D
解析 由题意画出示意图,设塔高AB=hm,在Rt△ABC中,由已知BC=hm,在Rt△ABD中,由已知BD=hm,在△BCD中,由余弦定理BD2=BC2+CD2-2BC·CDcos∠BCD,得3h2=h2+5002+h·500,解得h=500(m).
6.如图所示,为了测量某湖泊两侧A,B间的距离,李宁同学首先选定了与A,B不共线的一点C(△ABC的角A,B,C所对的边分别记为a,b,c),然后给出了三种测量方法:
①测量A,C,b;②测量a,b,C;③测量A,B,a,则一定能确定A,B间的距离的所有方案的序号为( )
A.①②B.②③
C.①③D.①②③
答案 D
解析 由题意可知,在①②③三个条件下三角形均可唯一确定,通过解三角形的知识可求出AB.故选D.
7.如图,航空测量组的飞机航线和山顶在同一铅直平面内,已知飞机的飞行高度为10000m,速度为50m/s.某一时刻飞机看山顶的俯角为15°,经过420s后看山顶的俯角为45°,则山顶的海拔高度为________m.(取=1.4,=1.7)
答案 2650
解析
如图,作CD垂直于AB的延长线于点D,由题意知∠A=15°,∠DBC=45°,
∴∠ACB=30°,AB=50×420=21000(m).又在△ABC中,=,
∴BC=×sin15°=10500(-).
∵CD⊥AD,∴CD=BC·sin∠DBC=10500(-)×=10500(-1)=7350.
故山顶的海拔高度h=10000-7350=2650(m).
8.在海岛A上有一座海拔1千米的山,山顶上有一个观察站P.上午11时,测得一轮船在岛的北偏东30°、俯角30°的B处,到11时10分又测得该船在岛的北偏西60°、俯角60°的C处,则轮船航行速度是________千米/时.
答案 2
解析 PA⊥平面ABC,∠BAC=90°,∠APB=60°,∠APC=30°,PA=1千米,从而BC=千米,于是速度v=BC÷=2(千米/时).
二、高考小题
9.[2016·全国卷Ⅲ]在△ABC中,B=,BC边上的高等于BC,则cosA=( )
A.B.
C.-D.-
答案 C
解析 解法一:
过A作AD⊥BC,垂足为D,由题意知AD=BD=BC,则CD=BC,AB=BC,AC=BC,在△ABC中,由余弦定理的推论可知,cos∠BAC===-,故选C.
解法二:
过A作AD⊥BC,垂足为D,由题意知AD=BD=BC,则CD=BC,在Rt△ADC中,AC=BC,
sin∠DAC=,cos∠DAC=,又因为∠B=,
所以cos∠BAC=cos=cos∠DAC·cos-sin∠DAC·sin=×-×=-,故选C.
10.[2015·重庆高考]在△ABC中,B=120°,AB=,A的角平分线AD=,则AC=________.
答案
解析 依题意知∠BDA=∠C+∠BAC,
由正弦定理得=,
∴sin=,
∵∠C+∠BAC=180°-∠B=60°,
∴∠C+∠BAC=45°,
∴∠BAC=30°,∠C=30°.
从而AC=2·ABcos30°=.
11.[2015·湖北高考]如图,一辆汽车在一条水平的公路上向正西行驶,到A处时测得公路北侧一山顶D在西偏北30°的方向上,行驶600m后到达B处,测得此山顶在西偏北75°的方向上,仰角为30°,则此山的高度CD=________m.
答案 100
解析 依题意有AB=600,∠CAB=30°,
∠CBA=180°-75°=105°,∠DBC=30°,DC⊥CB.
∴∠ACB=45°,
在△ABC中,由=,
得=,
有CB=300,
在Rt△BCD中,CD=CB·tan30°=100,
则此山的高度CD=100m.
12.[2014·四川高考]如图,从气球A上测得正前方的河流的两岸B,C的俯角分别为67°,30°,此时气球的高是46m,则河流的宽度BC约等于________m.(用四舍五入法将结果精确到个位.参考数据:
sin67°≈0.92,cos67°≈0.39,sin37°≈0.60,cos37°≈0.80,≈1.73)
答案 60
解析 如图所示,过A作AD⊥CB且交CB的延长线于D.
在Rt△ADC中,由AD=46m,∠ACB=30°得AC=92m.
在△ABC中,∠BAC=67°-30°=37°,∠ABC=180°-67°=113°,AC=92m,由正弦定理=,得=,即=,解得BC=≈60m.
13.[2015·全国卷Ⅰ]在平面四边形ABCD中,∠A=∠B=∠C=75°,BC=2,则AB的取值范围是________.
答案 (-,+)
解析 如图,作△PBC,使∠B=∠C=75°,BC=2,作直线AD分别交线段PB、PC于A、D两点(不与端点重合),且使∠BAD=75°,则四边形ABCD就是符合题意的四边形.过C作AD的平行线交PB于点Q,在△PBC中,过P作BC的垂线交BC于点E,则PB==+;在△QBC中,由余弦定理QB2=BC2+QC2-2QC·BC·cos30°=8-4=(-)2,故QB=-,所以AB的取值范围是(-,+).
三、模拟小题
14.[2017·东北三校联考]若两座灯塔A和B与海洋观察站C的距离都等于akm,灯塔A在观察站C的北偏东20°方向上,灯塔B在观察站C的南偏东40°方向上,则灯塔A与灯塔B的距离为( )
A.akmB.akm
C.2akmD.akm
答案 D
解析 依题意知∠ACB=180°-20°-40°=120°,在△ABC中,由余弦定理知AB==a(km),即灯塔A与灯塔B的距离为akm.
15.[2017·汉中期末]如图,在平面四边形ABCD中,AB=1,BC=+1,AD=,∠ABC=120°,∠DAB=75°,则CD=( )
A.B.2
C.2D.+1
答案 A
解析
如图,过点D作DE⊥AB于E,过C作CF⊥AB交AB的延长线于F,则DE∥CF,∠CBF=60°,DE=ADsin∠DAB=×sin(45°+30°)=×=,CF=BCsin∠CBF=(+1)×=,所以四边形DEFC是矩形,CD=EF=AB-AE+BF,
因为AE=ADcos∠DAB=×cos(45°+30°)=×=,BF=BCcos∠CBF=(+1)×=,所以CD=1-+=.
16.[2017·郑州模拟]在△ABC中,a,b,c分别为内角A,B,C所对的边,b=c且=,若点O是△ABC外一点,∠AOB=θ(0<θ<π),OA=2,OB=1,则平面四边形OACB面积的最大值是( )
A.B.
C.3D.
答案 A
解析 由b=c得B=C,由=得sinBcosA=sinA-sinAcosB,所以sinA=sinBcosA+sinAcosB=sin(A+B)=sinC,所以A=C,所以△ABC是等边三角形.在△OAB中,由余弦定理得c2=22+12-2×2×1×cosθ=5-4cosθ,所以S四边形OACB=S△OAB+S△ABC=OA·OBsinθ+c2=sinθ+(5-4cosθ)=sinθ-cosθ+=2sin+,所以(S四边形OACB)max=2+.故选A.
17.[2017·广州调研]如图所示,某炮兵阵地位于地面A处,两观察所分别位于地面C处和D处,已知CD=6000m,∠ACD=45°,∠ADC=75°,目标出现于地面B处时测得∠BCD=30°,∠BDC=15°,则炮兵阵地到目标的距离是________m.(结果保留根号)
答案 1000
解析 ∵∠ACD=45°,∠ADC=75°,∴∠CAD=60°.
在△ACD中,由正弦定理可得=,
∴AD=6000×=2000(m).
在△BCD中,由正弦定理得=,
∴BD==3000(m),
在Rt△ABD中,由勾股定理可得AB2=BD2+AD2,
∴AB==1000(m).
18.[2016·长春调研]在△ABC中,角A,B,C所对的边分别为a,b,c,若a=5,b=7,B=,则△ABC的面积为________.
答案 10
解析 由余弦定理b2=a2+c2-2accosB得72=52+c2-2×5c×cos,即c2-5c-24=0,解得c=8或c=-3,又c>0,故c=8,从而△ABC的面积为×5×8sin=10.
一、高考大题
1.[2016·浙江高考]在△ABC中,内角A,B,C所对的边分别为a,b,c.已知b+c=2acosB.
(1)证明:
A=2B;
(2)若△ABC的面积S=,求角A的大小.
解
(1)证明:
由正弦定理得sinB+sinC=2sinAcosB,
故2sinAcosB=sinB+sin(A+B)=sinB+sinAcosB+cosAsinB,
于是sinB=sin(A-B).
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