湖南师大附中学年高二下学期期中考试数学理试题.docx

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湖南师大附中学年高二下学期期中考试数学理试题

湖南师大附中2018－2019学年度高二第二学期期中考试理科数学第页（共8页）（这是边文，请据需要手工删加）

题　　答　　要　　不　　内　　线　　封　　密

　号位座____________　号场考____________　号　学____________　名　姓____________　级　班____________　级　年

（这是边文，请据需要手工删加）

湖南师大附中2018－2019学年度高二第二学期期中考试

数学（理科）

时量：

120分钟　　　满分：

150分

得分：

______________

第Ⅰ卷　（满分100分）

一、选择题：

本大题共10小题，每小题4分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．

1．已知全集U＝，A＝，则∁UA＝

A．B．{0，2，4}C．{1，3}D．{－1，1，3}

2．设f＝3x＋3x－8，用二分法求方程3x＋3x－8＝0在x∈内近似解的过程中得f<0，f>0，f<0，则方程的根落在区间

A．（1，1.25）B．（1.25，1.5）C．（1.5，2）D．不能确定

3．如果直线ax＋2y＋1＝0与直线x＋y－2＝0互相平行，那么a的值等于

A．－2B．－C．－D．2

4．△ABC的内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若a＝3，b＝，A＝，则B＝

A.B.C.或D.

5．如图的程序运行后输出的结果为

　x＝5

　y＝－20

　IF　x<0　THEN　

x＝y－3

　ELSE

y＝y＋3

　ENDIF

　PRINT　x－y　

　END

A．－17B．22C．25D．28

6．一条直线若同时平行于两个相交平面，则这条直线与这两个平面交线的位置关系是

A．异面B．相交C．平行D．平行或重合

7．在△ABC中，已知cosA＝，cosB＝，则cosC的值为

A.B.C.或D．－

8．要从已编号（1～60）的60枚最新研制的某型导弹中随机抽取6枚来进行发射试验，用每部分选取的号码间隔一样的系统抽样方法确定所选取的6枚导弹的编号可能是

A．5，10，15，20，25，30B．3，13，23，33，43，53

C．1，2，3，4，5，6D．2，4，8，16，32，48

9．取一根长度为5m的绳子，拉直后在任意位置剪断，那么剪得两段的长度都不小于2m的概率是

A.B.C.D．不确定

10．已知|a|＝2|b|≠0，且关于x的方程x2＋|a|x＋a·b＝0有实根，则a与b的夹角的取值范围是

A.B.C.D.

答题卡

题号

1

2

3

4

5

6

7

8

9

10

得分

答案

二、填空题：

本大题共5个小题，每小题4分，共20分．

11．已知m＞0，n＞0，且m＋n＝4，则mn的最大值是________．

12．已知函数f（x）＝则f的值为________．

13．等差数列中，a3＝3，a8＝33，则数列的公差为________．

14．函数y＝的定义域是________．

15．如图，正四棱锥P－ABCD底面的四个顶点A，B，C，D在球O的同一个大圆上，点P在球面上，如果VP－ABCD＝，则球O的表面积是________．

三、解答题：

本大题共5个小题，共40分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．

16．（本小题满分6分）

某校从参加环保知识竞赛的1200名学生中，随机抽取60名，将其成绩（均为整数）分成六段[40，50），[50，60），…，[90，100]后画出如图的频率分布直方图．

（1）估计这次竞赛成绩的众数与中位数（结果保留小数点后一位）；

（2）若这次竞赛成绩不低于80分的同学都可以获得一份礼物，试估计该校参加竞赛的1200名学生中可以获得礼物的人数．

17.（本小题满分8分）

已知函数f（x）＝的图象经过点.

（1）求a的值；

（2）求函数f（x）的定义域和值域；

（3）证明：

函数f（x）是奇函数．

18.（本小题满分8分）

如图所示，四棱锥P－ABCD的底面是边长为2的正方形，PA⊥底面ABCD，E为PD的中点．

（1）求证：

PB∥平面AEC；

（2）求证：

CD⊥平面PAD；

（3）若三棱锥C－ADE的体积为，求四棱锥P－ABCD的侧面积．

19.（本小题满分8分）

已知向量a＝（1，－），b＝，x∈R.

（1）若a⊥b，求tanx的值；

（2）设函数f（x）＝（a·b）·cosx，x∈，求f（x）的值域．

20．（本小题满分10分）

已知数列的前n项和为Sn，且2，an，Sn成等差数列．

（1）求数列的通项公式；

（2）若bn＝n·an，求数列的前n项和Tn；

（3）对于

（2）中的Tn，设cn＝，求数列中的最大项．

第Ⅱ卷　（满分50分）

一、选择题：

本大题共3个小题，每小题5分，共15分，在每小题给出的四个选项中，有且只有一项是符合题目要求的．

21．给出下列四个命题

①命题“若x2＝1，则x＝1”的否命题为：

“若x2＝1，则x≠1”；

②命题“x∈R，x2＋x－1<0”的否定是“x∈R，x2＋x－1>0”；

③命题“若x＝y，则sinx＝siny”的逆否命题为真命题；

④“x＝－1”是“x2－5x－6＝0”的必要不充分条件．

其中真命题的个数是

A．1个B．2个C．3个D．4个

22．双曲线－＝1（a>0，b>0）的两顶点为A1，A2，其虚轴两端点为B1，B2，两焦点为F1，F2，若以A1A2为直径的圆内切于菱形F1B1F2B2，则双曲线的离心率是

A.－1B.C.D.＋1

23．设a1，a2，…，an是1，2，…，n的一个排列，把排在ai的左边且比ai小的数的个数称为ai（i＝1，2，…，n）的顺序数，如在排列6，4，5，3，2，1中，5的顺序数为1，3的顺序数为0，则在1至8这8个数的排列中，8的顺序数为2，7的顺序数为3，5的顺序数为3的不同排列的种数为

A．96B．144C．192D．240

答题卡

题号

21

22

23

得分

答案

二、填空题：

本大题共2小题，每小题5分，共10分．

24．在平面直角坐标系中，以原点为极点，x轴正半轴为极轴，建立极坐标系．已知抛物线C的极坐标方程为ρcos2θ＝4sinθ（ρ≥0），直线l的参数方程为（t为参数）．设直线l与抛物线C的两个交点为A、B，点F为抛物线C的焦点，则＋的值为________．

25．若存在实数a，b（0

三、解答题：

本大题共2小题，共25分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．

26．（本小题满分12分）

如图，设椭圆C：

＋＝1（a>b>0）的左，右焦点分别为F1，F2，上顶点为A，过点A作与AF2垂直的直线交x轴负半轴于点Q，且＝.

（1）若过A，Q，F2三点的圆恰好与直线l：

x－y－3＝0相切，求椭圆C的方程；

（2）在

（1）的条件下，过右焦点F2作斜率为k的直线l与椭圆C交于M，N两点，在x轴上是否存在点P（m，0）使得以PM，PN为邻边的平行四边形是菱形？

如果存在，求出m的取值范围；如果不存在，请说明理由．

27．（本小题满分13分）

已知函数f（x）＝ln，g（x）＝ax2＋bx.

（1）若a＝0，f（x）

（2）设数列cn＝，Sn为数列{cn}的前n项和，求证：

Sn

（3）当a≠0时，设函数f（x－1）的图象C1与函数g（x）的图象C2交于点P，Q，过线段PQ的中点R作x轴的垂线分别交C1，C2于点M，N，问是否存在点R，使C1在M处的切线与C2在N处的切线平行？

若存在，求出R的横坐标；若不存在，请说明理由．

湖南师大附中2018－2019学年度高二第二学期期中考试理科数学参考答案－（这是边文，请据需要手工删加）

湖南师大附中2018－2019学年度高二第二学期期中考试

数学（理科）参考答案

第Ⅰ卷　（满分100分）

一、选择题

题　号

1

2

3

4

5

6

7

8

9

10

答　案

C

B

D

A

B

C

A

B

A

B

二、填空题

11．4.　12.　13.6　14.（k∈Z）

15．16π　【解析】正四棱锥P－ABCD底面的四个顶点A，B，C，D在球O的同一个大圆上，点P在球面上，PO⊥底面ABCD，PO＝R，SABCD＝2R2，VP－ABCD＝，所以·2R2·R＝，解得R＝2，则球O的表面积是16π.

三、解答题

16．【解析】

（1）由图可知，本次竞赛成绩的众数是75.

因为前三个小组的频率之和为0.4，所以中位数落在第四个小组内．

设中位数为x，则有（x－70）×0.03＝0.5－0.4，解得x≈73.3.

所以中位数约为73.3.（3分）

（2）因为不低于80分的频率＝（0.025＋0.005）×10＝0.3，

所以1200名学生中可以获得礼物的人数约为1200×0.3＝360.（6分）

17．【解析】

（1）由已知，f

（1）＝＝，解得a＝1.（1分）

（2）由

（1）知，f（x）＝，∵2x>0，2x＋1>1，∴f（x）的定义域为R.

∵f（x）＝＝1－，又∵2x∈（0，＋∞），∴∈（0，2），

∴f（x）的值域为（－1，1）．（5分）

（3）∵f（x）的定义域为R，且f（－x）＝＝＝－f（x），

∴f（x）是奇函数．（8分）

18．【解析】

（1）连结BD，交AC于点O.连结OE.

因为四边形ABCD是正方形，所以O为BD的中点，

又E为PD的中点，所以OE为△PBD的中位线，

所以OE∥PB.

又PB平面AEC，OE平面AEC，

所以PB∥平面AEC.（3分）

（2）因为四边形ABCD是正方形，所以CD⊥AD.

因为PA⊥底面ABCD，所以CD⊥PA.

又AD∩PA＝A，所以CD⊥平面PAD.（6分）

（3）因为VC－ADE＝VE－ACD＝·h·S△ACD＝，

又因为底面ABCD是边长为2的正方形，所以S△ACD＝2，所以h＝1.

又因为E是PD的中点，所以PA＝2h＝2.所以PB＝PD＝2.

所以四棱锥P－ABCD的侧面积＝2S△PAB＋2S△PBC＝2＝4＋4.（8分）

19．【解析】

（1）因为a⊥b，所以a·b＝sinx－sin＝sinx－cosx＝0，

解得tanx＝.（4分）

（2）f（x）＝cosx＝sinxcosx－cos2x

＝sin2x－·＝sin－，

当x∈时，2x－∈，sin∈，

所以f（x）的值域为.（8分）

20．【解析】

（1）∵2an＝2＋Sn，　①

∴2an－1＝2＋Sn－1（n≥2）．　②

①－②得an＝2an－1（n≥2），又2a1＝2＋a1，a1＝2，∴an＝2n.（3分）

（2）bn＝n·an＝n·2n，

用错位相减法得：

Tn＝2＋2·22＋3·23＋…＋n·2n，　①

2Tn＝22＋2·23＋3·24＋…＋n·2n＋1，　②

①－②，得Tn＝（n－1）·2n＋1＋2.（6分）

（3）cn＝＝＝，

由得解得2≤n≤3（n∈N*）．

∴n＝2或n＝3时，cn最大，即c2＝c3＝为中的最大项．（10分）

第Ⅱ卷　（满分50分）

一、选择题

21．A　【解析】①为假命题，“若x2＝1，则x＝1”的否命题应为“若x2≠1，则x≠1”；②为假命题，“x∈R，x2＋x－1<0”的否定应为“x∈R，x2＋x－1≥0”；③正确；④为假命题，“x＝－1”是“x2－5x－6＝0”的充分不必要条件．选A.

22．C　【解析】解：

由题意可得A1（－a，0），A2（a，0），B1（0，b），B2（0，－b），

F1（－c，0），F2（c，0），

且a2＋b2＝c2，菱形F1B1F2B2的边长为，

由以A1A2为直径的圆内切于菱形F1B1F2B2，切点分别为A，B，C，D.

由面积相等，可得·2b·2c＝a·4，

即为b2c2＝a2（b2＋c2），即有c4＋a4－3a2c2＝0，

由e＝，可得e4－3e2＋1＝0，

解得e2＝，可得e＝，或e＝（舍去）．故选C.

23．B　【解析】8的顺序数为2，则8必是排第三位.7的顺序数为3，则7必是第5位，那么还得考虑5和6，有两种，

（1）5在6的前面．那么5只能排在第6位，6可以是第7或第8位，其它四个任排，有2A＝48种．

（2）6在5前面，5在第7位，有4A＝96种．所以满足题意的排列总数为48＋96＝144种．故选B.

二、填空题

24.　【解析】抛物线C的直角坐标方程为x2＝4y，直线l的方程为x＝（y－1），

设A（x1，y1）、B（x2，y2），

则由解得y1＋y2＝，又直线过抛物线的焦点F（0，1），

所以＋＝y1＋1＋y2＋1＝＋2＝.

25．（1，e）　【解析】因为00），则f′（x）＝，令f′（x）＝0得x＝e.易知f（x）在区间（0，e）内单调递增，在区间（e，＋∞）内单调递减，所以f（x）max＝f（e）＝.因为f

（1）＝0，所以当x∈（0，1）时f（x）<0；当x>1时f（x）>0.如图所示，a，b可以看成是函数f（x）＝（x>0）的图象与直线y＝k（k>0）的两个交点的横坐标．因为0

三、解答题

26．【解析】

（1）设Q（x0，0），由F2（c，0），A（0，b），

知＝（－c，b），＝（x0，－b），

∵⊥，∴－cx0－b2＝0，x0＝－.由于＝，

故－＋c＝－2c，∴b2＝3c2＝a2－c2，即c＝a，

于是F2，Q.

又因为△AQF2的外接圆圆心为，半径r＝a.该圆与直线x－y－3＝0相切，

所以＝aa＝2.∴c＝1，b＝.

∴所求椭圆方程为＋＝1.（4分）

（2）由

（1）知F2（1，0），设l：

y＝k（x－1），由消掉y，得

（3＋4k2）x2－8k2x＋4k2－12＝0.（6分）

设M（x1，y1），N（x2，y2），则x1＋x2＝，y1＋y2＝k（x1＋x2－2），（7分）

＋＝（x1－m，y1）＋（x2－m，y2）＝（x1＋x2－2m，y1＋y2），

由于菱形的对角线垂直，故（＋）·＝0，（9分）

故k（y1＋y2）＋x1＋x2－2m＝0，即k2（x1＋x2－2）＋x1＋x2－2m＝0，

即：

k2＋－2m＝0，

由已知条件知k≠0且k∈R，∴m＝＝，∴0

故存在满足的点P（m，0）且m的取值范围是.（12分）

27．【解析】

（1）a＝0时，f（x）

设h（x）＝ln（1＋x）－bx，则h′（x）＝－b.

若b≤0，显然不满足题意；

若b≥1，则x∈时，h′（x）＝－b≤0恒成立，

∴h（x）在上为减函数，有ln（x＋1）－bx

若0

所以h（x）在上单调递增．

∵h（0）＝0，∴x∈时，h（x）>0，不满足题意．

综上，b≥1时f（x）

（2）由

（1）得ln（x＋1）

ln<，1－<1－ln，

则cn＝1－<1－ln（n＋2）＋ln（n＋1），

∴Sn<＋（1－ln4＋ln3）＋…＋（1－ln（n＋2）＋ln（n＋1）），

即Sn

（3）f（x－1）＝lnx，设点P，Q的坐标是P（x1,y1），Q（x2,y2），且0

则点M，N的横坐标为x＝.

C1在点M处的切线斜率为k1＝＝.

C2在点N处的切线斜率为k2＝＝＋b.

假设C1在点M处的切线与C2在点N处的切线平行，则k1＝k2.

即＝＋b.

所以＝＋b（x2－x1）

＝－＝y2－y1＝lnx2－lnx1＝ln.

所以ln＝＝.（10分）

设u＝>1，则lnu＝，u>1.　①

令r（u）＝lnu－，u>1，则r′（u）＝－＝.

因为u>1，所以r′（u）>0，所以r（u）在[1，＋∞）上单调递增．

故r（u）>r

（1）＝0，则lnu>.

这与①矛盾，假设不成立．

故不存在点R，使C1在点M处的切线与C2在点N处的切线平行．（13分）

（这是边文，请据需要手工删加）