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课时作业1 任意角
|基础巩固|(25分钟,60分)
一、选择题(每小题5分,共25分)
1.若角α的终边经过点M(0,-3),则角α( )
A.是第三象限角
B.是第四象限角
C.既是第三象限角又是第四象限角
D.不属于任何一个象限
解析:
∵点M(0,-3)在y轴负半轴上,∴角α不属于任何一个象限.
答案:
D
2.把一条射线绕着端点按顺时针方向旋转240°所形成的角是( )
A.120° B.-120°
C.240°D.-240°
解析:
一条射线绕着端点按顺时针方向旋转240°所形成的角是-240°,故选D.
答案:
D
3.若角的顶点在原点,角的始边与x轴的非负半轴重合,给出下列四个命题:
①0°角是第一象限角;②相等的角的终边一定相同;③终边相同的角有无限多个;④与-30°角终边相同的角都是第四象限角.
其中正确的有( )
A.1个B.2个
C.3个D.4个
解析:
0°角是轴线角而不是象限角,①不正确;②显然正确;终边相同的角有无限多个,并且相差360°的整数倍,所以③正确;-30°角是第四象限角,故④正确.
答案:
C
4.若α为锐角,则下列各角中一定为第四象限角的是( )
A.90°-αB.90°+α
C.360°-αD.180°+α
解析:
∵0°<α<90°,∴270°<360°-α<360°,故选C.
答案:
C
5.若角α与角β的终边关于y轴对称,则必有( )
A.α+β=90°
B.α+β=k·360°+90°(k∈Z)
C.α+β=k·360°(k∈Z)
D.α+β=(2k+1)180°(k∈Z)
解析:
α与β的终边关于y轴对称,则α与180°-β终边相同,故α=180°-β+360°·k,即α+β=(2k+1)·180°,k∈Z.
答案:
D
二、填空题(每小题5分,共15分)
6.若角α的终边与75°角的终边关于直线y=0对称,且0°<α<360°,则角α的值为________.
解析:
如图,设75°角的终边为射线OA,射线OA关于直线y=0对称的射线为OB,则以射线OB为终边的一个角为-75°,所以以射线OB为终边的角的集合为{α|α=k·360°-75°,k∈Z}.又0°<α<360°,令k=1,得α=285°.
答案:
285°
7.已知角α与2α的终边相同,且α∈[0°,360°),则角α=________.
解析:
由条件知,2α=α+k·360°,
所以α=k·360°(k∈Z),
因为α∈[0°,360°),所以α=0°.
答案:
0
8.如图,终边在阴影部分内的角的集合为________.
解析:
先写出边界角,再按逆时针顺序写出区域角,则得{α|30°+k·360°≤α≤150°+k·360°,k∈Z}.
答案:
{α|30°+k·360°≤α≤150°+k·360°,k∈Z}
三、解答题(每小题10分,共20分)
9.在0°~360°范围内,找出与下列各角终边相同的角,并指出它们是第几象限角:
(1)549°;
(2)-60°;(3)-503°36′.
解析:
(1)549°=189°+360°,而180°<189°<270°,因此,549°角为第三象限角,且在0°~360°范围内,与189°角有相同的终边.
(2)-60°=300°-360°,而270°<300°<360°,因此,-60°角为第四象限角,且在0°~360°范围内,与300°角有相同的终边.
(3)-503°36′=216°24′-2×360°,而180°<216°24′<270°.因此,-503°36′角是第三象限角,且在0°~360°范围内,与216°24′角有相同的终边.
10.如图所示,分别写出适合下列条件的角的集合:
(1)终边落在射线OM上;
(2)终边落在直线OM上;
(3)终边落在阴影区域内(含边界).
解析:
(1)终边落在射线OM上的角的集合为A={α|α=45°+k·360°,k∈Z}.
(2)由
(1)得终边落在射线OM上的角的集合为A={α|α=45°+k·360°,k∈Z},终边落在射线OM反向延长线上的角的集合为B={α|α=225°+k·360°,k∈Z},
则终边落在直线OM上的角的集合为
A∪B={α|α=45°+k·360°,k∈Z}∪{α|α=225°+k·360°,k∈Z}
={α|α=45°+2k·180°,k∈Z}∪{α|α=45°+(2k+1)·180°,k∈Z}={α|α=45°+n·180°,n∈Z}.
(3)终边落在直线ON上的角的集合为
C={β|β=60°+n·180°,n∈Z},
则终边落在阴影区域内(含边界)的角的集合为S={α|45°+n·180°≤α≤60°+n·180°,n∈Z}.
|能力提升|(20分钟,40分)
11.若角α与65°角的终边相同,角β与-115°角的终边相同,那么α与β之间的关系是( )
A.α+β=-50°
B.α-β=180°
C.α+β=k·360°+180°(k∈Z)
D.α-β=k·360°+180°(k∈Z)
解析:
由题意可知,α=k1·360°+65°(k1∈Z),β=k2·360°-115°(k2∈Z),所以α-β=(k1-k2)·360°+180°,记k=k1-k2∈Z,故α-β=k·360°+180°(k∈Z).
答案:
D
12.如图所示,终边落在直线y=x上的角的集合为________.
解析:
终边落在射线y=x(x>0)上的角的集合是S1={α|α=60°+k·360°,k∈Z},终边落在射线y=x(x≤0)上的角的集合是S2={α|α=240°+k·360°,k∈Z},于是终边落在直线y=x上的角的集合是S={α|α=60°+k·360°,k∈Z}∪{α|α=240°+k·360°,k∈Z}={α|α=60°+2k·180°,k∈Z}∪{α|α=60°+(2k+1)·180°,k∈Z}={α|α=60°+n·180°,n∈Z}.
答案:
{α|α=60°+n·180°,n∈Z}
13.已知α=-1910°.
(1)把α写成β+k·360°(k∈Z,0°≤β<360°)的形式;
(2)求θ,使θ与α的终边相同,且-720°≤θ<0°.
解析:
(1)因为-1910°÷360°=-6余250°,
所以-1910°=-6×360°+250°.
(2)令θ=250°+k·360°(k∈Z),
因为-720°≤θ<0°,
所以-720°≤250°+k·360°<0°,
即-≤k<-,
因为k∈Z,所以k=-1或-2.
即250°+(-1)·360°=-110°,250°+(-2)·360°=-470°.
14.已知α是第四象限角,则2α,各是第几象限角?
解析:
由题意知k·360°+270°<α 因此2k·360°+540°<2α<2k·360°+720°(k∈Z), 即(2k+1)360°+180°<2α<(2k+1)360°+360°(k∈Z), 故2α是第三象限角或第四象限角或终边在y轴非正半轴上的角. 又k·180°+135°< 当k为偶数时,令k=2n(n∈Z),则n·360°+135°< 当k为奇数时,令k=2n+1(n∈Z),则n·360°+315°< 因此是第二象限角或第四象限角. 课时作业2 弧度制 |基础巩固|(25分钟,60分) 一、选择题(每小题5分,共25分) 1.1920°的角化为弧度数为( ) A. B. C.πD.π 解析: ∵1°=rad, ∴1920°=1920×rad=πrad. 答案: D 2.一个扇形的弧长与面积的数值都是6,则这个扇形的圆心角是( ) A.1B.2 C.3D.4 解析: 设扇形的圆心角的弧度数为θ,半径为R,由题意,得,解得θ=3,故选C. 答案: C 3.角α的终边落在区间内,则角α所在的象限是( ) A.第一象限B.第二象限 C.第三象限D.第四象限 解析: -3π的终边在x轴的非正半轴上,-π的终边在y轴的非正半轴上,故角α为第三象限角. 答案: C 4.下列与的终边相同的角的表达式中,正确的是( ) A.2kπ+45°(k∈Z) B.k·360°+(k∈Z) C.k·360°-315°(k∈Z) D.kπ+(k∈Z) 解析: A,B中弧度与角度混用,不正确. π=2π+,所以π与终边相同. -315°=-360°+45°,所以-315°也与45°终边相同.故选C. 答案: C 5.圆弧长度等于其所在圆内接正三角形的边长,则该圆弧所对圆心角的弧度数为( ) A.B. C.D.2 解析: 如右图,设圆的半径为R,则圆的内接正三角形的边长为R,所以圆弧长度为R的圆心角的弧度数α==. 答案: C 二、填空题(每小题5分,共15分) 6.下列四个角: 1,60°,,-由大到小的排列为________. 解析: 只需把60°化成弧度数,因为60°=60×=,所以四个角为1,,,-.所以60°=>1>-. 答案: 60°=>1>- 7.若三角形三内角之比为345,则三内角的弧度数分别是________. 解析: 设三角形三内角弧度数分别为3k,4k,5k,则由3k+4k+5k=π,得k=,所以3k=,4k=,5k=. 答案: ,, 8.弧长为3π,圆心角为135°的扇形的半径为________,面积为________. 解析: 135°==,所以扇形的半径为=4, 面积为×3π×4=6π. 答案: 4 6π 三、解答题(每小题10分,共20分) 9.将下列角度与弧度进行互化: (1)20°; (2)-15°;(3);(4)-. 解析: (1)20°=π=. (2)-15°=-π=-. (3)=(×)°=(×180)°=105°. (4)-=(-×)°=(-×180)°=-396°. 10.如图,扇形AOB所在圆的半径为10,AB=10.求: (1)圆心角α的大小; (2)扇形AOB的周长. 解析: (1)由半径r=10,AB=10,知△AOB为等边三角形, 所以α=∠AOB=60°=. (2)由 (1)知弧长l=αr=×10=, 所以扇形AOB的周长为2r+l=20+. |能力提升|(20分钟,40分) 11.集合中的角所表示的范围(如图中阴影部分所示)是( ) 解析: 当k=2m,m∈Z时,2mπ+≤α≤2mπ+,m∈Z;当k=2m+1,m∈Z时,2mπ+≤α≤2mπ+,m∈Z,故选C. 答案: C 12.如果一扇形的弧长变为原来的倍,半径变为原来的一半,则该扇形的面积为原扇形面积的________. 解析: 由于S=lR,若l′=l,R′=R, 则S′=l′R′=×l×R=S. 答案: 13.已知α=-800°. (1)把α改写成β+2kπ(k∈Z,0≤β<2π)的形式,并指出α的终边在第几象限; (2)求γ角,使γ与α的终边相同,且γ∈. 解析: (1)∵-800°=-3×360°+280°,又280°=,∴α=+(-3)×2π,∴α与的终边相同,∴角α的终边在第四象限. (2)∵与α角终边相同的角可以表示为2kπ+α,k∈Z,又α与的终边相同, ∴γ∈. 又∵γ∈,∴-<2kπ+<,易知当且仅当k=-1时,不等式成立,∴γ=-2π+=-. 14.已知一扇形的圆心角为α(α>0),所在圆的半径为R. (1)若α=60°,R=10cm,求扇形的弧长及该弧所在的弓形的面积; (2)若扇形的周长为20cm,当扇形的圆心角α等于多少弧度时,这个扇形的面积最大? 解析: (1)设弧长为l,弓形面积为S,则α=60°=, R=10cm,l=×10=(cm), S=S扇-S△=××10-×102=cm2. (2)设扇形的弧长为l, 则l+2R=20,即l=20-2R(0 ∴扇形的面积S=lR=(20-2R)R=-R2+10R=-(R-5)2+25. ∴当R=5cm时,S有最大值25cm2, 此时l=10cm,α==2rad. 因此,当α=2rad时,这个扇形的面积最大. 课时作业3 任意角的三角函数 (一) |基础巩固|(25分钟,60分) 一、选择题(每小题5分,共25分) 1.如果角θ的终边在第二象限,那么点P(sinθ,cosθ)位于( ) A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限D.第四象限 解析: ∵角θ的终边在第二象限, ∴sinθ>0,cosθ<0, ∴点P(sinθ,cosθ)位于第四象限. 答案: D 2.若cosα=-,且角α的终边经过点P(x,2),则P点的横坐标x是( ) A.2B.±2 C.-2D.-2 解析: r=,由题意得=-,∴x=-2.故选D. 答案: D 3.sin(-140°)cos740°的值( ) A.大于0B.小于0 C.等于0D.不确定 解析: 因为-140°为第三象限角, 故sin(-140°)<0. 因为740°=2×360°+20°, 所以740°为第一象限角, 故cos740°>0, 所以sin(-140°)cos740°<0.故选B. 答案: B 4.如果角α的终边经过点P(sin780°,cos(-330°)),则sinα=( ) A.B. C.D.1 解析: sin780°=sin(2×360°+60°)=sin60°=,cos(-330°)=cos(-360°+30°)=cos30°=.所以P,所以r=|OP|=.由三角函数的定义,得sinα===. 答案: C 5.设a<0,角α的终边经过点P(-3a,4a),则sinα+2cosα=( ) A.B.- C.D.- 解析: ∵a<0,角α的终边经过点P(-3a,4a),∴点P与原点的距离r=-5a,sinα=-,cosα=,∴sinα+2cosα=.选A. 答案: A 二、填空题(每小题5分,共15分) 6.若sinθ 解析: 由条件可知cosθ>0,sinθ<0,则θ为第四象限角. 答案: 四 7.sin+cos-tan的值为________. 解析: 原式=sin+cos-tan=sin+cos-tan=+-1=0. 答案: 0 8.已知角α的终边经过点P(3,4t),且sin(2kπ+α)=-(k∈Z),则t=________. 解析: sin(2kπ+α)=sinα=-<0,则α的终边在第三或第四象限.又点P的横坐标是正数,所以α是第四象限角,所以t<0,又sinα=,所以=-,所以t=-. 答案: - 三、解答题(每小题10分,共20分) 9.已知角α的终边过点(a,2a)(a≠0),求角α的正弦、余弦和正切值. 解析: 因为角α的终边过点(a,2a)(a≠0), 所以r=|a|,x=a,y=2a. 当a>0时,sinα===,cosα===,tanα===2; 当a<0时sinα===-,cosα===-,tanα===2. 10.判断下列各式的符号: (1)α是第四象限角,sinα·tanα; (2)sin3·cos4·tan. 解析: (1)因为α是第四象限角, 所以sinα<0,tanα<0, 所以sinα·tanα>0. (2)因为<3<π,π<4<, 所以sin3>0,cos4<0, 因为-=-6π+, 所以tan=tan>0, 所以sin3·cos4·tan<0. |能力提升|(20分钟,40分) 11.若sinαtanα<0,且<0,则角α是( ) A.第一象限角B.第二象限角 C.第三象限角D.第四象限角 解析: 由sinαtanα<0可知sinα,tanα异号,从而α是第二或第三象限角. 由<0可知cosα,tanα异号,从而α是第三或第四象限角. 综上可知,α是第三象限角. 答案: C 12.若角α的终边与直线y=3x重合且sinα<0,又P(m,n)是α终边上一点,且|OP|=,则m-n=________. 解析: ∵y=3x,sinα<0,∴点P(m,n)位于y=3x在第三象限的图象上, 且m<0,n<0,n=3m. ∴|OP|==|m|=-m=. ∴m=-1,n=-3,∴m-n=2. 13.计算: (1)sin390°+cos(-660°)+3tan405°-cos540°; (2)sin+tanπ-2cos0+tan-sin. 解析: (1)原式=sin(360°+30°)+cos(-2×360°+60°)+3tan(360°+45°)-cos(360°+180°)=sin30°+cos60°+3tan45°-cos180°=++3×1-(-1)=5. (2)原式=sin+tanπ-2cos0+ tan-sin=sin+tanπ-2cos0+tan-sin=1+0-2+1-=-. 14.已知角θ的终边不在坐标轴上,且|sinθcosθ|+sinθcosθ=0,试判断+tanθ的符号. 解析: 由|sinθcosθ|+sinθcosθ=0,得|sinθcosθ|=-sinθcosθ. 因为角θ的终边不在坐标轴上,所以sinθcosθ<0. 所以tanθ<0,且<0, 所以+tanθ<0. 课时作业4 任意角的三角函数 (二) |基础巩固|(25分钟,60分) 一、选择题(每小题5分,共25分) 1.对三角函数线,下列说法正确的是( ) A.对任意角都能作出正弦线、余弦线和正切线 B.有的角的正弦线、余弦线和正切线都不存在 C.任意角的正弦线、正切线总是存在的,但余弦线不一定存在 D.任意角的正弦线、余弦线总是存在的,但正切线不一定存在 解析: 终边在y轴上的角的正切线不存在,故A,C错,对任意角都能作正弦线、余弦线,故B错,因此选D. 答案: D 2.如果MP和OM分别是角α=的正弦线和余弦线,那么下列结论正确的是( ) A.MP C.OM 解析: 因为π是第二象限角, 所以sinπ>0,cosπ<0, 所以MP>0,OM<0, 所以MP>0>OM. 答案: D 3.有三个命题: ①和的正弦线长度相等;②和的正切线相同;③和的余弦线长度相等. 其中正确说法的个数为( ) A.1 B.2 C.3D.0 解析: 和的正弦线关于y轴对称,长度相等;和两角的正切线相同;和的余弦线长度相等.故①②③都正确.故选C. 答案: C 4.使sinx≤cosx成立的x的一个区间是( ) A.B. C.D. 解析: 如图,画出三角函数线sinx=MP,cosx=OM,由于sin=cos,sin=cos,为使sinx≤cosx成立,由图可得在[-π,π)范围内,-≤x≤. 答案: A 5.如果<θ<,那么下列各式中正确的是( ) A.cosθ C.tanθ 解析: 如图所示,作出角θ的正弦线MP,余弦线OM,正切线AT,由图可知AT>MP>OM,即tanθ>sinθ>cosθ,故选D. 答案: D 二、填空题(每小题5分,共15分) 6.比较大小: sin1________sin(填“>”或“<”). 解析: 因为0<1<<,结合单位圆中的三角函数线,知sin1 答案: < 7.不等式tanα+>0的解集是________. 解析: 不等式的解集如图所示(阴影部分), ∴. 答案: 8.若cosθ>sin,利用三角函数线得角θ的取值范围是________. 解析: 因为cosθ>sin,所以cosθ>sin=sin=,易知角θ的取值范围是 (k∈Z). 答案: (k∈Z) 三、解答题(每小题10分,共20分) 9.做出下列各角的正弦线、余弦线、正切线. (1); (2)-. 解析: (1)因为∈,所以做出角的终边如图 (1)所示,交单位圆于点P作PM⊥x轴于点M,则有向线段MP=sin,有向线段OM=cos,设过A(1,0)垂直于x轴的直线交OP的反向延长线于T,则有向线段AT=tan.综上所述,图 (1)中的有向线段MP,OM,AT分别为角的正弦线、余弦线、正切线. (2)因为-∈,所以在第三象限内做出-角的终边如图 (2)所示,交单位圆于点P′用类似 (1)的方法作图,可得图 (2)中的有向线段M′P′、OM′、A′T′分别为-角的正弦线、余弦线、正切线. 10.利用三角函数线,求满足下列条件的角α的集合: (1)tanα=-1; (2)sinα≤-. 解析: (1)如图①所示,过点(1,-1)和原点作直线交单位圆于点P和P′,则OP和OP′就是角α的终边,所以∠xOP==π-,∠xOP′=-, 所以满足条件的所有角α的集合是 . ② (2)如图②所示,过作与x轴平行线,交单位圆于点P和P′,则sin∠xOP=sin∠xOP′=-, ∴∠xOP=π,∠xOP′=π, ∴满足条件所有角α的集合为 . |能力提升|(20分钟,40分) 11.已知角α的正弦线和余弦线的方向相反、长度相等,则α的终边在( ) A.第一象限的角平分线上 B.第四象限的角平分线上 C.第二、第四象限的角平分线上 D.第一、第三象限的角平分线上 解析: 作图(图略)可知角α的终边在直线y=-x上,∴α的终边在第二、第四象限的角平分线上,故选C. 答案: C 12.若θ∈,则sinθ的取值范围是________. 解析: 由图可知sin=, sin=-1,>sinθ>-1, 即sinθ∈. 答案: 13.在单位圆中画出适合下列条件的角α终边. (1)sinα=; (2)cosα=-. 解析: (1)作直线y=交单位圆于P,Q两点,则OP,OQ为角α的终边,如图甲. (2)作直线x=-交单位圆于M,N两点,则OM,ON为角α的终边,如图乙. 14.求下列函数的定义域. (1)y=; (2)y=lg(sinx-)+. 解析: (1)自变量x应满足2sinx-≥0,即sinx≥.图中阴影部分就是满足条件的角x的范围,即. (2)由题意,自变量x应满足不等式组即 则不等式组的解的集合如图(阴影部分)所示, ∴. 课时作业5 同角三角函数的基本关系 |基础巩固|(25分钟,60分) 一、选择题(每小题5分,共25分) 1.已知α是第二象限角,且cosα=-,则tanα的值是( ) A. B.- C.D.- 解析: ∵α为第二象限角,∴sinα===,∴tanα===-. 答案: D 2.下列结论中成立的是( ) A.sinα=且cosα= B.tanα=2且= C.tanα=1且cosα=± D.sinα=1且tanα·cosα=1 解析: A中,sin2α+cos2α=≠1,故不成立;B中,=,即tanα=3,与tanα=2矛盾,故不成立;D中,sinα=1时,角α的终边落在y轴的非负半轴上,此时tanα无意义,故不成立. 答案: C 3.已知tanα=2,则=
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