第15章 151 随机事件和样本空间新高考.docx
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第15章151随机事件和样本空间新高考
§15.1 随机事件和样本空间
学习目标 1.理解随机试验、样本点与样本空间,会写试验的样本空间.2.了解随机事件的有关概念,掌握随机事件的表示方法及含义.3.理解事件的关系与运算.
知识点一 现象、试验、事件
1.现象
2.试验、事件:
对于某个现象,如果能让其条件实现1次,那么就是进行了1次试验.而试验的每一种可能的结果都是一个事件.
知识点二 样本空间
样本点:
不可能再细分的结果称为样本点.
样本空间:
所有样本点组成的集合,记为Ω.
思考 如何确定试验的样本空间?
答案 确定试验的样本空间就是写出试验的所有可能的结果并写成Ω={ω1,ω2,…,ωn}的形式.
知识点三 随机事件
事件类型
定义
随机事件
样本空间的子集,简称事件
必然事件
Ω(全集)
不可能事件
∅(空集)
基本事件
当一个事件仅包含单一样本点时,称该事件为基本事件
知识点四 事件的关系与运算
1.子事件:
事件B发生必导致事件A发生,我们称B是A的子事件.
2.事件的运算
定义
符号
图示
并事件
(或和
事件)
一般地,事件A与事件B至少有一个发生,即为事件C发生
C=A+B
交事件
(或积
事件)
一般地,事件A与事件B同时发生,即为事件C发生
C=AB
1.对于随机试验,当在同样的条件下重复进行试验时,每次试验的所有可能结果是不知道的.( × )
2.连续抛掷两次硬币,该试验的样本空间Ω={正正,反反,正反}.( × )
3.“已知一个盒中装有4个白球和5个黑球,从中任意取1个球,该球是白球或黑球”,此事件是必然事件.( √ )
4.若A,B表示随机事件,则A+B与AB也表示事件.( √ )
一、样本空间的求法
例1 写出下列试验的样本空间:
(1)同时抛掷三枚骰子,记录三枚骰子出现的点数之和;
(2)从含有两件正品a1,a2和两件次品b1,b2的四件产品中任取两件,记录抽出产品的结果;
(3)用红、黄、蓝三种颜色给图中3个正方形随机涂色,每个正方形只涂一种颜色,记录正方形涂色的情况.
解
(1)该试验的样本空间Ω1={3,4,5,…,18}.
(2)该试验所有样本点如图所示,
因此,该试验的样本空间为
Ω2={a1a2,a1b1,a1b2,a2b1,a2b2,b1b2}.
(3)如图,
用1,2,3分别表示红色、黄色与蓝色三种颜色,则此试验的样本空间为Ω3={(1,1,1),(1,1,2),(1,1,3),(1,2,1),(1,2,2),(1,2,3),(1,3,1),(1,3,2),(1,3,3),(2,1,1),(2,1,2),(2,1,3),(2,2,1),(2,2,2),(2,2,3),(2,3,1),(2,3,2),(2,3,3),(3,1,1),(3,1,2),(3,1,3),(3,2,1),(3,2,2),(3,2,3),(3,3,1),(3,3,2),(3,3,3)}.
反思感悟 写样本空间的关键是找样本点,具体有三种方法
(1)列举法:
适用样本点个数不是很多,可以把样本点一一列举出来的情况,但列举时必须按一定的顺序,要做到不重不漏.
(2)列表法:
适用于试验中包含两个或两个以上的元素,且试验结果相对较多的样本点个数的求解问题,通常把样本归纳为“有序实数对”,也可用坐标法.列表法的优点是准确、全面、不易遗漏.
(3)树形图法:
适用较复杂问题中的样本点的探求,一般需要分步(两步及两步以上)完成的结果可以用树形图法进行列举.
跟踪训练1 写出下列试验的样本空间:
(1)随意安排甲、乙、丙、丁4人在4天节日中值班,每人值班1天,记录值班的情况;
(2)从一批产品中,依次任选三件,记录出现正品与次品的情况.
解
(1)如图,
设甲、乙、丙、丁分别为1,2,3,4,
所以样本空间Ω1={(1,2,3,4),(1,2,4,3),(1,3,2,4),(1,3,4,2),(1,4,2,3),(1,4,3,2),(2,1,3,4),(2,1,4,3),(2,3,1,4),(2,3,4,1),(2,4,1,3),(2,4,3,1),(3,1,2,4),(3,1,4,2),(3,2,1,4),(3,2,4,1),(3,4,1,2),(3,4,2,1),(4,1,2,3),(4,1,3,2),(4,2,1,3),(4,2,3,1),(4,3,1,2),(4,3,2,1)}.
(2)设正品为H,次品为T,
样本空间Ω2={HHH,HHT,HTH,THH,HTT,TTH,THT,TTT}.
二、随机事件的表示
例2 试验E:
甲、乙两人玩出拳游戏(石头、剪刀、布),观察甲、乙出拳的情况.
设事件A表示随机事件“甲乙平局”;
事件B表示随机事件“甲赢得游戏”;
事件C表示随机事件“乙不输”.
试用集合表示事件A,B,C.
解 设石头为w1,剪刀为w2,布为w3,用(i,j)表示游戏的结果,其中i表示甲出的拳,j表示乙出的拳,则样本空间E={(w1,w1),(w1,w2),(w1,w3),(w2,w1),(w2,w2),(w2,w3),(w3,w1),(w3,w2),(w3,w3)}.
因为事件A表示随机事件“甲乙平局”,
则满足要求的样本点共有3个:
(w1,w1),(w2,w2),(w3,w3),
所以事件A={(w1,w1),(w2,w2),(w3,w3)}.
事件B表示随机事件“甲赢得游戏”,
则满足要求的样本点共有3个:
(w1,w2),(w2,w3),(w3,w1),
所以事件B={(w1,w2),(w2,w3),(w3,w1)}.
因为事件C表示随机事件“乙不输”,
则满足要求的样本点共有6个,
(w1,w1),(w2,w2),(w3,w3),(w2,w1),(w1,w3),(w3,w2),
所以事件C={(w1,w1),(w2,w2),(w3,w3),(w1,w3),(w2,w1),(w3,w2)}.
反思感悟 对于随机事件的表示,应先列出所有的样本点,然后确定随机事件中含有哪些样本点,这些样本点作为元素表示的集合即为所求.
跟踪训练2 如图,从正方形ABCD的四个顶点及其中心O这5个点中,任取两点观察取点的情况,设事件M为“这两点的距离不大于该正方形的边长”,试用样本点表示事件M.
解 M={AB,AO,AD,BC,BO,CD,CO,DO}.
三、事件的运算
例3 盒子里有6个红球,4个白球,现从中任取3个球,设事件A={3个球中有1个红球2个白球},事件B={3个球中有2个红球1个白球},事件C={3个球中至少有1个红球},事件D={3个球中既有红球又有白球}.
求:
(1)事件D与A,B是什么样的运算关系?
(2)事件C与A的交事件是什么事件?
解
(1)对于事件D,可能的结果为:
1个红球、2个白球或2个红球、1个白球,故D=A∪B.
(2)对于事件C,可能的结果为1个红球、2个白球或2个红球、1个白球或3个均为红球,故C∩A=A.
延伸探究
在本例中,设事件E={3个红球},事件F={3个球中至少有一个白球},那么事件C与B,E是什么运算关系?
C与F的交事件是什么?
解 事件C包括的可能结果有1个红球、2个白球,2个红球、1个白球,3个红球三种情况,故B⊆C,E⊆C,而事件F包括的可能结果有1个白球、2个红球,2个白球、1个红球,3个白球,所以C∩F={1个红球、2个白球,2个红球、1个白球}=D.
反思感悟 事件间的运算方法
(1)利用事件间运算的定义.列出同一条件下的试验所有可能出现的结果,分析并利用这些结果进行事件间的运算.
(2)利用Venn图.借助集合间运算的思想,分析同一条件下的试验所有可能出现的结果,把这些结果在图中列出,进行运算.
跟踪训练3 在掷骰子的试验中,可以定义许多事件.例如,事件C1={出现1点},事件C2={出现2点},事件C3={出现3点},事件C4={出现4点},事件C5={出现5点},事件C6={出现6点},事件D1={出现的点数不大于1},事件D2={出现的点数大于3},事件D3={出现的点数小于5},事件E={出现的点数小于7},事件F={出现的点数为偶数},事件G={出现的点数为奇数},请根据上述定义的事件,回答下列问题:
(1)请举出符合包含关系、相等关系的事件;
(2)利用和事件的定义,判断上述哪些事件是和事件.
解
(1)因为事件C1,C2,C3,C4发生,则事件D3必发生,所以C1⊆D3,C2⊆D3,C3⊆D3,C4⊆D3.
同理可得,事件E包含事件C1,C2,C3,C4,C5,C6;事件D2包含事件C4,C5,C6;事件F包含事件C2,C4,C6;事件G包含事件C1,C3,C5.
且易知事件C1与事件D1相等,即C1=D1.
(2)因为事件D2={出现的点数大于3}={出现4点或出现5点或出现6点},
所以D2=C4∪C5∪C6(或D2=C4+C5+C6).
同理可得,D3=C1+C2+C3+C4,E=C1+C2+C3+C4+C5+C6,F=C2+C4+C6,G=C1+C3+C5.
1.下列事件是必然事件的是( )
A.从分别标有数字1,2,3,4,5的5张标签中任取一张,得到标有数字4的标签
B.函数y=logax(a>0且a≠1)为增函数
C.平行于同一条直线的两条直线平行
D.随机选取一个实数x,得2x<0
答案 C
解析 A是随机事件,5张标签都可能被取到;B是随机事件,当a>1时,函数y=logax为增函数,当00.
2.集合A={2,3},B={1,2,4},从A,B中各任意取一个数,构成一个两位数,则所有样本点的个数为( )
A.8B.9C.12D.11
答案 D
解析 从A,B中各任意取一个数,可构成12,21,22,24,42,13,31,23,32,34,43,共11个样本点.
3.(多选)下列试验中,随机事件有( )
A.某射手射击一次,射中10环
B.同时掷两枚骰子,都出现6点
C.某人购买福利彩票未中奖
D.若x为实数,则x2+1≥1
答案 ABC
解析 A,B,C为随机事件,D为必然事件.
4.抛掷3枚硬币,试验的样本点用(x,y,z)表示,集合M表示“既有正面朝上,也有反面朝上”,则M=_____________________________________________________________
________________________________________________________________________.
答案 {(正,正,反),(正,反,正),(反,正,正),(正,反,反),(反,正,反),(反,反,正)}
解析 试验的样本空间为Ω={(正,正,正),(正,正,反),(正,反,正),(反,正,正),(正,反,反),(反,正,反),(反,反,正),(反,反,反)},则M={(正,正,反),(正,反,正),(反,正,正),(正,反,反),(反,正,反),(反,反,正)}.
5.抛掷一枚质地均匀的骰子两次,事件M={(2,6),(3,5),(4,4),(5,3),(6,2)},则事件M的含义是______________________.
答案 抛掷一枚质地均匀的骰子两次,向上点数之和为8
1.知识清单:
(1)随机试验.
(2)样本空间.
(3)随机事件、必然事件与不可能事件.
(4)事件的关系与运算.
2.方法归纳:
列举法、列表法、树形图法.
3.常见误区:
在列
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