八年级数学 勾股定理的应用分专题练习.docx
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八年级数学勾股定理的应用分专题练习
勾股定理的应用分专题练习
本章常用知识点:
1、勾股定理:
直角三角形两直角边的等于斜边的。
如果用字母a,b,c分别表示直角三角形的两直角边和斜边,那么勾股定理可以表示为:
。
2、勾股数:
满足a
+b
=c
的三个,称为勾股数。
常见勾股数如下:
3,4,5
6,8,10
9,12,15
12,16,20
15,20,25
5,12,13
7,24,25
9,40,41
10,24,26
8,15,17
3、常见平方数:
;
;
;
;
;
;
;
;
;
;
;
;
;
;
专题归类:
专题一、勾股定理与面积
1、、在Rt▲ABC中,
C=
a=5,c=3.,则Rt▲ABC的面积S=。
2、一个直角三角形周长为12米,斜边长为5米,则这个三角形的面积为:
。
3、直线l上有三个正方形a、b、c,若a和c的面积分别为5和11,则b的面积为
4、在直线l上依次摆放着七个正方形(如图所示)。
已知斜放置的三个正方形的面积分别是1、2、3,正放置的四个正方形的面积依次是S1、S2、S3、S4,
则S1+S2+S3+S4等于。
5、三条边分别是5,12,13的三角形的面积是。
6、如果一个三角形的三边长分别为a,b,c且满足:
a
+b
+c
+50=6a+8b+10c,则这个三角形的面积为。
7、如图1,
,BC=8,AB=10,CD是斜边的高,求CD的长?
7、如下图,在∆ABC中,
,AB=8cm,BC=15cm,P是到∆ABC三边距离相等的点,求点P到∆ABC三边的距离。
8、有一块土地形状如图3所示,
,AB=20米,BC=15米,CD=7米,请计算这块土地的面积。
(添加辅助线构造直角三角形)
9、如右图:
在四边形ABCD中,AB=2,CD=1,∠A=60°,求四边形ABCD的面积。
10、如图2-3,把矩形ABCD沿直线BD向上折叠,使点C落在C′的位置上,已知AB=3,BC=7,求:
重合部分△EBD的面积
11、如图①,分别以直角三角形ABC三边为直径向外作三个半圆,其面积分别用S1、S2、S3表示,则不难证明S1=S2+S3.
(1)如图②,分别以直角三角形ABC三边为边向外作三个正方形,其面积分别用S1、S2、S3表示,那么S1、S2、S3之间有什么关系?
(不必证明)
(2)如图③,分别以直角三角形ABC三边为边向外作三个正三角形,其面积分别用S1、S2、S3表示,请你确定S1、S2、S3之间的关系并加以证明;
(3)若分别以直角三角形ABC三边为边向外作三个正多边形,其面积分别用S1、S2、S3表示,请你猜想S1、S2、S3之间的关系?
.
专题二、勾股定理与折叠
1、如图4,矩形纸片ABCD的边AB=10cm,BC=6cm,E为BC上一点,将矩形纸片沿AE折叠,点B恰好落在DC边上的点G处,求BE的长。
2、有一个直角三角形纸片,两直角边的长AC=6cm,BC=8cm,现将直角边AC沿AD对折,使它落在斜边AB上,且与AE重合,求CD的长?
3、如图6,在矩形纸片ABCD中,AB=
,BC=6,沿EF折叠后,点C落在AB边上的点P处,点D落在Q点处,AD与PQ相交于点H,
BPE=
求BE、QF的长
求四边形QEFH的面积。
专题三、利用股沟定理列方程求线段的长度
1、如图7,铁路上A、B两站相距25千米,C、D为两村庄,DA
AB于A点,CB
AB于点B,DA=15千米,CB=10千米,现在要在铁路上建设一个土特产收购站E,使得C、D两村庄到收购站的距离相等,则收购站E应建在距离A站多远的距离?
2、一架长为5米的梯子,斜立在一竖直的墙上,这时梯子的底端B距离底C为3米,如果梯子的顶端A沿墙下滑1米到D处,梯子的底端在水平方向沿一条直线也将下滑动1米到E处吗?
请给出证明。
3、△ABC中,AB=AC=20,BC=32,D是BC上一点,且AD⊥AC,求BD的长.
专题四、勾股数的应用
1、下列是勾股数的一组是()
A4,5,6,B5,7,12C12,13,15D14,48,50
2、一个直角三角形的三边长是不大于10的三个连续偶数,则它的周长是。
3、下列是勾股数的一组是()
A2,3,4,B5,6,7,C9,40,41D102425
4、观察下面表格中所给出的三个数a,b,c,其中a,b,c为正整数,且a
(1):
试找给他们的共同点,并证明你的结论
(2):
当a=21时,求b,c的值
3,4,5
3
+4
=5
5,12,13
5
+12
=13
7,24,25
7
+24
=25
9,40,41
9
+40
=41
……..
……
21,b,c
21
+b
=c
专题五、勾股定理及逆定理有关的几何证明
1、在四边形ABCD中,
C是直角,AB=13,BC=3,CD=4,AD=12
证明:
AD
BD
2
、CD是▲ABC中AB边上的高,且CD
=AD
DB,试说明
ACB=
3、在正方形ABCD中,E是BC的中点,F为CD上一点
且CF=
CD试说明▲AEF是直角三角形。
4、▲ABC三边的长为a,b,c,根据下列条件判断▲ABC的形状
(1):
a
+b
+c
+200=12a+16b+20c;
(2):
a
-a
b+ab
-ac
+bc
-b
=0
5、试判断,三边长分别为2n2+2n,2n+1,2n2+2n+1(n为正整数)的三角形是否是直角三角形?
6、如图2-12,△ABC中,∠C=90°,M是BC的中点,MD⊥AB于D.
求证:
AD2=AC2+BD2.
7、在▲ABC中,BC=a,AC=b,AB=c,若
C=
,如下图
(1)根据勾股定理可以得出:
a
+b
=c
若▲ABC不是直角三角形,如图
(2)与图(3),请你类比勾股定理猜想a
+b
与c
的关系,并且证明你的结论。
8、如图
中,
为BC上任意一点,求证:
.
专题六、勾股定理与旋转
1、在等腰Rt▲ABC中,
CAB=
,P是三角形内一点,且PA=1,PB=3,PC=
求:
CPA的大小?
2、如图,在等腰△ABC中,∠ACB=90°,D、E为斜边AB上的点,
且∠DCE=45°。
求证:
DE2=AD2+BE2。
3、
如图所示,△ABC是等腰直角三角形,AB=AC,D是斜边BC的中点,E、F分别是AB、AC边上的点,且DE⊥DF,若BE=12,CF=5.求线段EF的长。
4、已知,如图△ABC中,∠ACB=90°,AC=BC,P是△ABC内一点,且PA=3,PB=1,PC=2,求∠BPC。
5、如图,在
中,
,M为AB上一点,AM=BC,N为AB上一点,CN=BM,连接AN、CM交于点P。
求
的大小。
专题七、最短路线问题
1、有一正方体盒子,棱长是10cm,在A点处有一只蚂蚁它想到B点处觅食,那么它爬行的最短路线是多少?
2、有一个长方体盒子。
它的长是70cm,宽和高都是50cm,在A点处有一只蚂蚁它想到B点处觅食,那么它爬行的最短路线是多少?
3、如图所示,一个二级台阶,每一级的长、宽、高分别为60cm、30cm、10cm,A和B是这个台阶上两个相对的端点,在A点处有一只蚂蚁它想到B点处觅食,那么它爬行的最短路线是多少?
4、如下图、王力的家在高楼15层,一天他去买竹竿,如果电梯的长、宽、高分别为1.2m,1.2m,1.3m,则他所买的竹竿最大长度是多少?
5、如图,已知圆锥的母线AS=10㎝,侧面展开图的夹角是90°,点C为AS的中点,A处有一只蜗牛想吃到C处的食物,但它不能直接爬到C处,只能沿圆锥曲面爬行,请你画出蜗牛爬行的最短路程的图形并求出最短路程.
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