巴特沃斯数字带阻滤波器讲解.docx
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巴特沃斯数字带阻滤波器讲解.docx
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巴特沃斯数字带阻滤波器讲解
《数字信号处理》课程设计报告
设计课题滤波器设计与实现
专业班级
姓名
学号
报告日期2012年12月
目录
1.课题描述....................................2
2.设计原理.....................................2
2.1滤波器的分类..................................3
2.2数字滤波器的设计指标..........................3
2.3巴特沃斯数字带阻模拟滤波器....................3
2.3.1巴特沃斯数字带阻滤波器的设计原理...................4
2.3.2巴特沃斯数字带阻滤波器的设计步骤...................7
3.设计内容......................................8
3.1用MATLAB编程实现............................10
3.2设计结果分析.................................10
4.总结.......................................10
5.参考文献...................................11
课程设计任务书
题目
滤波器设计与实现
学生姓名
学号
专业班级
设
计
内
容
与
要
求
一、设计内容:
设计巴特沃斯数字带阻滤波器,阻带频率200~500hz,通带上限频率600hz,通带下限频率150hz,通带衰减为0.5dB,阻带最大衰减20dB,采样频率2000hz,画出幅频、相频响应曲线,并设计信号验证滤波器设计的正确性
二、设计要求
1设计报告一律按照规定的格式,使用A4纸,格式、封面统一给出模版。
2报告内容
(1)设计题目及要求
(2)设计原理(包括滤波器工作原理、涉及到的matlab函数的说明)
(3)设计内容(设计思路,设计流程、仿真结果)
(4)设计总结(收获和体会)
(5)参考文献
(6)程序清单
起止时间
2012年12月3日至2011年12月11日
指导教师签名
2011年12月2日
系(教研室)主任签名
年月日
学生签名
年月日
1.课题描述
数字滤波器是由数字乘法器、加法器和延时单元组成的一种算法或装置。
数字滤波器的功能是对输入离散信号的数字代码进行运算处理,以达到改变信号频谱的目的。
由于电子计算机技术和大规模集成电路的发展,数字滤波器已可用计算机软件实现,也可用大规模集成数字硬件实时实现。
使用MATLAB信号处理箱和BW(巴特沃斯)设计低通数字滤波器。
2.设计原理
2.1滤波器的分类
数字滤波器有低通、高通、带通、带阻和全通等类型。
它可以是时不变的或时变的、因果的或非因果的、线性的或非线性的。
如果数字滤波器的内部参数不随时间而变化,则称为时不变的,否则为时变的。
如果数字滤波器在某一给定时刻的响应与在此时刻以后的激励无关,则称为因果的,否则为非因果的。
如果数字滤波器对单一或多个激励信号的响应满足线性条件,则称为线性的,否则为非线性的。
应用最广的是线性、时不变数字滤波器。
数字滤波器也可以按所处理信号的维数分为一维、二维或多维数字滤波器。
一维数字滤波器处理的信号为单变量函数序列,例如时间函数的抽样值。
二维或多维数字滤波器处理的信号为两个或多个变量函数序列。
2.2数字带阻滤波器的设计指标
阻带频率200~500hz,通带上限频率600hz,通带下限频率150hz,通带衰减为0.5dB,阻带最大衰减20dB,采样频率2000hz
2.3巴特沃斯数字带阻模拟滤波器
2.3.1巴特沃斯数字带阻滤波器的设计原理
巴特沃斯低通滤波器的幅度平方函数|Ha(jΩ)|2用下式表示:
|Ha(jΩ)|=
公式中,N称为滤波器的阶数。
在Ω=0时,|Ha(jΩ)||=1;Ω=Ωc时,|Ha(jΩ)|=1/
, Ωc是3dB截止频率。
在Ω=Ωc附近,随Ω加大,幅度迅速下降。
幅度特性与Ω和N的关,N越大,通带越平坦,过渡带越宽,过渡带与阻带幅度下降的速度越快,总是频响特性与理想低通滤波器的误差越小。
以S代替jΩ,将幅度平方函数|Ha(jΩ)|2写成s的函数:
Ha(S)Ha(-S)=
复变量S=α+jΩ,此公式表明幅度平方函数有2N个极点,极点Sk用下公式表示:
Sk=
公式中K=0,1,2…… ,2N-1。
2N个极点等间隔分布在半径为Ωc的圆上,间隔是
/Nrad。
为形成因果稳定的滤波器,2N个极点中只取S平面左半平面的N个极点构成Ha(S),而右半平面的N个极点构成Ha(-S)。
Ha(S)的表达式为
Ha(S)=
/
(S-Sk)
设N=3,极点有六个,它们分
S0=
S1=-ΩcS2=
S3=
S4=Ωc S5=
取S平面的左半平面的极点S0,S1,S2组成系统函数Ha(S),即
Ha(S)=
由于不同的技术指标对应的边界频率和滤波器幅频特性不同,为使设计公式和图表统一将频率归一化。
巴特沃斯滤波器采用对3dB截止频率Ωc归一化,归一化后的系统函数为
令
=
,λ称为归一化频率,
称为归一化复变量,这样的巴特沃斯滤波器的归一化低通原型系统函数为
公式中,
称为归一化极点,用下公式表示,
k=0,1,…;,N-1
显然,Sk=Ωc*Pk
这样,只要根据技术指标求出阶数N,按照
公式求出N个极点,再按
得到归一化低通原型系统函数Ga(
),如果给定Ωc,再去归一化,即将
,代入
中,便可得到期望设计的系统函数Ha(S)。
所使用的MATLAB函数:
1.巴特沃斯滤波器阶数选择函数
(1)[N,Ωc]=buttord(Ωp,Ωs,αp,αs,‘s’)
作用:
计算巴特沃斯模拟滤波器的阶数N和3dB截止频率Ωc。
说明:
Ωp,Ωs,Ωc均为实际模拟角频率。
模拟频率f:
每秒经历多少个周期,单位Hz,即1/s,信号的真实频率,可用于模拟信号和数字信号;
模拟角频率Ω:
每秒经历多少弧度,单位rad/s,通常只于模拟信号;
数字频率w:
每个采样点间隔之间的弧度,单位rad,通常只用于数字信号。
关系:
Ω=2pi*f;w=Ω*T=2pi*f/F。
(F=1/Ts为采样频率,Ts为采样间隔)
2.完整巴特沃斯滤波器设计函数
(1)格式:
[b,a]=butter(N,wc,‘ftype’)
作用:
计算N阶巴特沃斯数字滤波器系统函数分子、分母多项式的系数向量b、a。
说明:
调用参数N和wc分别为巴特沃斯数字滤波器的阶数和3dB截止频率的归一化值,一般是调用buttord格式
(1)计算N和wc。
系数b、a是按照z-1的升幂排列。
(2)格式:
[B,A]=butter(N,Ωc,‘ftype’,‘s’)
作用:
计算巴特沃斯模拟滤波器系统函数的分子、分母多项式系数向量。
说明:
调用参数N和Ωc分别为巴特沃斯模拟滤波器的阶数和3dB截止频率(实际角频率),可调用buttord
(2)格式计算N和Ωc。
系数B、A按s的正降幂排列。
tfype为滤波器的类型:
◇ftype=high时,高通;Ωc只有1个值。
◇ftype=stop时,带阻;Ωc=[Ωcl,Ωcu],分别为带阻滤波器的通带3dB下截止频率和上截止频率。
◇ftype缺省时:
若Ωc只有1个值,则默认为低通;若Ωc有2个值,则默认为带通;其通带频率区间Ωcl<Ω<Ωcu。
3.求离散系统频响特性的函数freqz()
格式:
[H,w]=freqz(b,a,N)
说明:
b和a分别为离散系统的系统函数分子、分母多项式的系数向量,返回量H则包含了离散系统频响在0~pi范围内N个频率等分点的值(其中N为正整数),w则包含了范围内N个频率等分点。
调用默认的N时,其值是512。
可以先调用freqz()函数计算系统的频率响应,然后利用abs()和angle()函数及plot()函数,绘制出系统的频响曲线。
4.模拟域频率变换函数
lp2lp(模拟低通滤波器变换为低通滤波器)
lp2hp(模拟低通滤波器变换为高通滤波器)
lp2bs(模拟低通滤波器变换为带阻滤波器)
lp2bp(模拟低通滤波器变换为带通滤波器)
5.滤波器离散化函数:
bilinear(使用双线性变换法把模拟滤波器转换为数字滤波器)
impinvar(使用脉冲响应不变法把模拟滤波器转换为数字滤波器)
2.3.2巴特沃斯带阻数字滤波器的设计步骤
(1)确定滤波器的设计指标:
;求出滤波去的阶数N;
(2)运用函数
计算巴特沃斯低通滤波器的阶数N和归一化3db截止频率
;
(3)运用函数
求得低通滤波器的系统函数的分子、分母多项式形式;
(4)设计模拟低通原型滤波器。
用模拟低通滤波器设计方法得到模拟低通滤波器的传输函数Ha(s);借助巴特沃斯(Butterworth)滤波器;
(5)调用lp2bp函数将模拟低通滤波器转化为带阻低通滤波器;
(6)利用双线性变换法将模拟带通滤波器Ha(s)转换成数字带通滤波器H(z);
(7)作图显示滤波器的幅频特性和相位特性。
3设计内容
3.1用MATLAB编程实现
clearall
fs=2000;T=1/fs;
rp=0.5;rs=20;
wp1=(150/1000)*pi;wp2=(600/1000)*pi;ws1=(200/1000)*pi;ws2=(500/1000)*pi;%数字带阻滤波器的技术指标
wc1=(2/T)*tan(wp1/2);%频率预畸变
wc2=(2/T)*tan(wp2/2);wr1=(2/T)*tan(ws1/2);wr2=(2/T)*tan(ws2/2);
w0=sqrt(wc1*wc2);B=wc2-wc1;
wp=1;%归一化通带截止频率
ws=wp*(wr1*B)/(w0^2-wr1^2);%归一化阻带截止频率
[N,wc]=buttord(wp,ws,rp,rs,'s');%求滤波器阶数与3dB截止频率
[Z,P,K]=buttap(N);
[Bd,Ad]=zp2tf(Z,P,K);%将零极点形式转化成传输形式
[B,A]=lp2bs(Bd,Ad,w0,B);%对低通滤波器进行频率转换,转换为带阻滤波器
[b,a]=bilinear(B,A,2000);%利用双线性变换法,转换成数字滤波器
[H,W]=freqz(b,a);%数字带阻滤波器的幅频响应
subplot(2,2,1);
plot(W*fs/(2*pi),abs(H));gridon;
xlabel('频率/Hz');ylabel('幅值');
title('数字滤波器幅频响应');
subplot(2,2,2);
plot(W*fs/(2*pi),angle(H));gridon;
xlabel('频率/Hz');ylabel('相位');
t=0:
1:
100;
y=sin(45*t+1/4*pi)+sin(250*t+pi);
subplot(2,2,3);
plot(t,y);gridon;
y1=filter(b,a,y);
y2=fft(y1);
subplot(2,2,4);
plot(t,y2);gridon;
幅频,相频响应曲线:
信号验证滤波器设计的正确性(附图)
经过滤波后
3.2设计结果分析
设计巴特沃斯带阻数字滤波器时,发现Ω与W成非线性关系,所以在图像呈现出非线性的关系,由于是带阻数字滤波,所以滤掉响应部分后剩余的部分呈现平缓趋势。
4总结
本次课程实验中,让我慢慢了解了程序的编译,对于程序的编译也渐渐地掌握了其中的方法与规律。
通过这次试验让我收获颇大,在实验设计中,要先确定需要的函数,然后根据所给条件对数据进行处理后得到函数Ha(s),在经过程序编译,一步一步最终得到自己所需要的滤波器内容。
5参考文献
《数字信号处理》(第三版)高西全丁美玉编著
《MATLAB辅助现代工程数字信号处理》(第二版)
李益华主编
参考书目
邹理和著:
《数字滤波器》,国防工业出版社,北京,1979。
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