人教版数学一轮第2章 第3节 函数的奇偶性与周期性.docx
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人教版数学一轮第2章第3节函数的奇偶性与周期性
第三节 函数的奇偶性与周期性
[考纲传真] 1.了解函数奇偶性的含义.2.会运用基本初等函数的图象分析函数的奇偶性.3.了解函数周期性、最小正周期的含义,会判断、应用简单函数的周期性.
1.函数的奇偶性
偶函数
奇函数
定义
如果对于函数f(x)的定义域内任意一个x
都有f(-x)=f(x),那么函数f(x)是偶函数
都有f(-x)=-f(x),那么函数f(x)是奇函数
图象特征
关于y轴对称
关于原点对称
2.函数的周期性
(1)周期函数:
对于函数f(x),如果存在一个非零常数T,使得当x取定义域内的任何值时,都有f(x+T)=f(x),那么就称函数f(x)为周期函数,称T为这个函数的周期.
(2)最小正周期:
如果在周期函数f(x)的所有周期中存在一个最小的正数,那么这个最小正数就叫做f(x)的最小正周期.
1.函数奇偶性常用结论
(1)如果函数f(x)是偶函数,那么f(x)=f(|x|).
(2)奇函数在两个对称的区间上具有相同的单调性;偶函数在两个对称的区间上具有相反的单调性.
(3)如果一个奇函数f(x)在原点处有定义,即f(0)有意义,那么一定有f(0)=0.
2.函数周期性常用结论
对f(x)定义域内任一自变量的值x:
(1)若f(x+a)=-f(x),则T=2a(a>0).
(2)若f(x+a)=
,则T=2a(a>0).
(3)若f(x+a)=-
,则T=2a(a>0).
[基础自测]
1.(思考辨析)判断下列结论的正误.(正确的打“√”,错误的打“×”)
(1)偶函数图象不一定过原点,奇函数的图象一定过原点.( )
(2)若函数y=f(x+a)是偶函数,则函数y=f(x)关于直线x=a对称.( )
(3)若函数y=f(x+b)是奇函数,则函数y=f(x)关于点(b,0)中心对称.( )
(4)函数f(x)在定义域上满足f(x+a)=-f(x)(a>0),则f(x)是周期为2a的周期函数.( )
[答案]
(1)×
(2)√ (3)√ (4)√
2.已知f(x)=ax2+bx是定义在[a-1,2a]上的偶函数,那么a+b的值是( )
A.-
B.
C.
D.-
B [依题意b=0,且2a=-(a-1),
∴b=0且a=
,则a+b=
.]
3.下列函数中,既不是奇函数,也不是偶函数的是( )
A.y=x+sin2xB.y=x2-cosx
C.y=2x+
D.y=x2+sinx
D [A项,定义域为R,f(-x)=-x-sin2x=-f(x),为奇函数,故不符合题意;
B项,定义域为R,f(-x)=x2-cosx=f(x),为偶函数,故不符合题意;
C项,定义域为R,f(-x)=2-x+
=2x+
=f(x),为偶函数,故不符合题意;
D项,定义域为R,f(-x)=x2-sinx,-f(x)=-x2-sinx,因为f(-x)≠-f(x),且f(-x)≠f(x),故为非奇非偶函数.]
4.已知定义在R上的奇函数f(x)满足f(x+4)=f(x),则f(8)的值为( )
A.-1B.0
C.1D.2
B [∵f(x)为定义在R上的奇函数,∴f(0)=0,
又f(x+4)=f(x),∴f(8)=f(0)=0.]
5.(教材改编)已知函数f(x)是奇函数,在(0,+∞)上是减函数,且在区间[a,b](a<b<0)上的值域为[-3,4],则在区间[-b,-a]上有( )
A.最大值4B.最小值-4
C.最大值-3D.最小值-3
B [法一:
根据题意作出y=f(x)的简图,由图知,选B.
法二:
当x∈[-b,-a]时,-x∈[a,b],
由题意得f(b)≤f(-x)≤f(a),
即-3≤-f(x)≤4,
∴-4≤f(x)≤3,
即在区间[-b,-a]上f(x)min=-4,
f(x)max=3,故选B.]
判断函数的奇偶性
【例1】
(1)设函数f(x),g(x)的定义域都为R,且f(x)是奇函数,g(x)是偶函数,则下列结论中正确的是( )
A.f(x)g(x)是偶函数 B.|f(x)|g(x)是奇函数
C.f(x)|g(x)|是奇函数D.|f(x)g(x)|是奇函数
C [对于A:
令h(x)=f(x)·g(x),则h(-x)=f(-x)·g(-x)=-f(x)·g(x)=-h(x),
∴h(x)是奇函数,A错.
对于B:
令h(x)=|f(x)|g(x),则h(-x)=|f(-x)|g(-x)=|-f(x)|·g(x)=|f(x)|g(x)=h(x),
∴h(x)是偶函数,B错.
对于C:
令h(x)=f(x)|g(x)|,则h(-x)=f(-x)|g(-x)|=-f(x)·|g(x)|=-h(x),∴h(x)是奇函数,C正确.
对于D:
令h(x)=|f(x)·g(x)|,则h(-x)=|f(-x)·g(-x)|=|-f(x)·g(x)|=|f(x)·g(x)|=h(x),
∴h(x)是偶函数,D错.]
(2)判断下列函数的奇偶性.
①f(x)=lg
;
②f(x)=ln(
+x);
③f(x)=
+
;
④f(x)=
.
[解] ①由
>0得x>1或x<-1,即函数f(x)的定义域为(-∞,-1)∪(1,+∞),关于原点对称.
又f(-x)=lg
=lg
=-lg
=-f(x)
∴f(x)为奇函数.
②f(x)的定义域为R,
f(-x)=(ln
-x)=ln
=-ln(
+x)=-f(x),
∴f(x)为奇函数.
③由
得x=±1,
∴f(x)的定义域为{-1,1}.
又f
(1)+f(-1)=0,f
(1)-f(-1)=0,
∴f(x)=±f(-x).
∴f(x)既是奇函数又是偶函数.
④易知函数的定义域为(-∞,0)∪(0,+∞),关于原点对称,又当x>0时,f(x)=x2+x,
则当x<0时,-x>0,
故f(-x)=x2-x=f(x);
当x<0时,f(x)=x2-x,则当x>0时,-x<0,
故f(-x)=x2+x=f(x),故原函数是偶函数.
[规律方法] 1.判定函数奇偶性的3种常用方法
(1)定义法
(2)图象法
(3)性质法
设f(x),g(x)的定义域分别是D1,D2,那么在它们的公共定义域上:
奇+奇=奇,奇×奇=偶,偶+偶=偶,偶×偶=偶,奇×偶=奇.
2.判断分段函数奇偶性应注意的问题
判断分段函数的奇偶性应分段分别证明f(-x)与f(x)的关系,只有对各段上的x都满足相同关系时,才能判断其奇偶性.如本例
(2)第④小题.
(1)设f(x)=ex+e-x,g(x)=ex-e-x,f(x),g(x)的定义域均为R,下列结论错误的是( )
A.|g(x)|是偶函数B.f(x)g(x)是奇函数
C.f(x)|g(x)|是偶函数D.f(x)+g(x)是奇函数
D [f(-x)=e-x+ex=f(x),f(x)为偶函数.
g(-x)=e-x-ex=-g(x),g(x)为奇函数.
|g(-x)|=|-g(x)|=|g(x)|,|g(x)|为偶函数,A正确;f(-x)g(-x)=f(x)[-g(x)]=-f(x)g(x),
所以f(x)g(x)为奇函数,B正确;
f(-x)|g(-x)|=f(x)|g(x)|,
所以f(x)|g(x)|是偶函数,C正确;
f(x)+g(x)=2ex,
f(-x)+g(-x)=2e-x≠-(f(x)+g(x)),
且f(-x)+g(-x)=2e-x≠f(x)+g(x),
所以f(x)+g(x)既不是奇函数也不是偶函数,D错误,故选D.]
(2)判断下列函数的奇偶性
①f(x)=ln(e+x)+ln(e-x);
②f(x)=
;
③f(x)=
.
[解] ①由
得-e<x<e,
即函数f(x)的定义域为(-e,e),关于原点对称.
又f(-x)=ln(e-x)+ln(e+x)=f(x),
所以函数f(x)是偶函数.
②由2x-1≠0得x≠0,即函数f(x)的定义域为(-∞,0)∪(0,+∞),关于原点对称.
又f(-x)=
=
=-
=-f(x),
所以函数f(x)是奇函数.
③函数f(x)的定义域为(-∞,0)∪(0,+∞),关于原点对称.
当x>0时,-x<0,则f(-x)=(-x)2-1=x2-1=-f(x),
当x<0时,-x>0,则f(-x)=-(-x)2+1=-x2+1=-f(x),
综上所述,f(-x)=-f(x).因此函数f(x)是奇函数.
函数奇偶性的应用
【例2】
(1)(2018·全国卷Ⅲ)已知函数f(x)=ln(
-x)+1,f(a)=4,则f(-a)=________.
(2)已知f(x)是定义在R上的奇函数,当x>0时,f(x)=x2-4x,则f(x)=________.
(3)函数f(x)=
为奇函数,则a=________.
(1)-2
(2)
(3)-1 [
(1)由f(a)=ln(
-a)+1=4,得ln(
-a)=3,所以f(-a)=ln(
+a)+1=-ln
+1=-ln(
-a)+1=-3+1=-2.
(2)∵f(x)是定义在R上的奇函数,∴f(0)=0.
又当x<0时,-x>0,∴f(-x)=x2+4x.又f(x)为奇函数,
∴f(-x)=-f(x),
即f(x)=-x2-4x(x<0),
∴f(x)=
(3)由题意得f(-1)+f
(1)=0,即2(a+1)=0,解得a=-1,经检验,a=-1时,函数f(x)为奇函数.]
[规律方法] 已知函数奇偶性可以解决的4个问题
(1)求函数值:
将待求值利用奇偶性转化为已知区间上的函数值求解.
(2)求解析式:
将待求区间上的自变量转化到已知区间上,再利用奇偶性求出.
(3)求解析式中的参数:
利用待定系数法求解,根据f(x)±f(-x)=0得到关于参数的恒等式,由多项式恒等列出关于参数的方程或方程组,进而得出参数的值,也可利用特殊值求解.如利用f(-1)=±f
(1)直接求参数的值.
(4)画函数图象:
利用奇偶性可画出另一对称区间上的图象.
(1)设函数f(x)是定义在R上的奇函数,且f(x)=
则g(f(-8))=( )
A.-1B.-2
C.1D.2
(2)已知函数f(x)=x3+sinx+1(x∈R),若f(a)=2,则f(-a)的值为( )
A.3B.0
C.-1D.-2
(3)已知f(x)为偶函数,当x≤0时,f(x)=e-x-1-x,则f(x)=________.
(4)设f(x)是定义在R上的奇函数,当x≤0时,f(x)=2x+2x+b(b为常数),则f
(1)=________.
(1)A
(2)B (3)
(4)
[
(1)因为f(x)为奇函数,所以f(-8)=-f(8)=-log39=-2,
所以g(f(-8))=g(-2)=f(-2)=-f
(2)=-log33=-1.
(2)设F(x)=f(x)-1=x3+sinx,显然F(x)为奇函数,又F(a)=f(a)-1=1,所以F(-a)=f(-a)-1=-1,从而f(-a)=0.故选B.
(3)当x>0时,-x<0,则f(-x)=ex-1+x,
又f(-x)=f(x),因此f(x)=ex-1+x.
所以f(x)=
.
(4)由题意知f(0)=20+2×0+b=0,解得b=-1.
所以当x≤0时,f(x)=2x+2x-1,所以
f
(1)=-f(-1)=-[2-1+2×(-1)-1]=
.]
函数的周期性及应用
【例3】
(1)(2019·沈阳模拟)函数f(x)满足f(x+1)=-f(x),且当0≤x≤1时,f(x)=2x(1-x),则f
的值为( )
A.
B.
C.-
D.-
(2)已知定义在R上的函数f(x)满足f(4)=2-
,且对任意的x都有f(x+2)=
,则f(2018)=( )
A.-2-
B.-2+
C.2-
D.2+
(3)已知定义在R上的函数满足f(x+2)=-
,当x∈(0,2]时,f(x)=2x-1.则f
(1)+f
(2)+f(3)+…+f(2018)的值为________.
(1)A
(2)A (3)1348 [
(1)由f(x+1)=-f(x)得f(x+2)=f(x),即函数f(x)的周期为2,则f
=f
=2×
×
=
,故选A.
(2)由f(x+2)=
得f(x+4)=f(x).
所以函数f(x)的周期为4,所以f(2018)=f
(2).
又f(4)=f(2+2)=
=2-
,
所以-f
(2)=
=2+
,即f
(2)=-2-
,故选A.
(3)∵f(x+2)=-
,
∴f(x+4)=-
=f(x),
∴函数y=f(x)的周期T=4.
又x∈(0,2]时,f(x)=2x-1,
∴f
(1)=1,f
(2)=3,f(3)=-
=-1,f(4)=-
=-
.
∴f
(1)+f
(2)+f(3)+…+f(2018)
=504[f
(1)+f
(2)+f(3)+f(4)]+f(504×4+1)+f(504×4+2)
=504
+1+3
=1348.]
[规律方法]
(1)判断函数周期性的方法
①定义法:
判断函数的周期性只需证明f(x+T)=f(x)(T≠0)便可证明函数是周期函数,且周期为T.
②结论法:
对f(x)定义域内任一自变量的值x,
ⅰ.若f(x+a)=-f(x),则T=2a(a>0);
ⅱ.若
;
ⅲ.若
.
(2)函数周期性的应用,根据函数的周期性,可以由函数局部的性质得到函数的整体性质,即周期性可将未知区间上的函数值、解析式、图象转化到已知区间上,在解决具体问题时,要注意结论:
若T是函数的周期,则kT(k∈Z且k≠0)也是函数的周期.
(1)(2019·长沙模拟)已知定义在R上的函数f(x)满足f(x+1)=-f(x),且f(x)=
则下列函数值为1的是( )
A.f(2.5)B.f(f(2.5))
C.f(f(1.5))D.f
(2)
(2)设定义在R上的函数f(x)满足f(x+2)=f(x),且当x∈[0,2)时,f(x)=2x-x2,则f(0)+f
(1)+f
(2)+…+f(2019)=________.
(1)D
(2)1010 [
(1)由f(x+1)=-f(x)知f(x+2)=-f(x+1)=f(x),于是f(x)是以2为周期的周期函数,从而f(2.5)=f(0.5)=-1,f(f(2.5))=f(-1)=f
(1)=-1,f(f(1.5))=f(f(-0.5))=f
(1)=-1,f
(2)=f(0)=1,故选D.
(2)∵f(x+2)=f(x),
∴函数f(x)的周期T=2.
又当x∈[0,2)时,f(x)=2x-x2,∴f(0)=0,f
(1)=1,f(0)+f
(1)=1.
∴f(0)+f
(1)=f
(2)+f(3)=f(4)+f(5)=…=f(2018)+f(2019)=1,
∴f(0)+f
(1)+f
(2)+…+f(2019)=1010.]
函数性质的综合应用
►考法1 奇偶性与单调性结合
【例4】 (2017·全国卷Ⅰ)函数f(x)在(-∞,+∞)单调递减,且为奇函数.若f
(1)=-1,则满足-1≤f(x-2)≤1的x的取值范围是( )
A.[-2,2]B.[-1,1]
C.[0,4]D.[1,3]
D [∵f(x)为奇函数,
∴f(-x)=-f(x).
∵f
(1)=-1,∴f(-1)=-f
(1)=1.
故由-1≤f(x-2)≤1,得f
(1)≤f(x-2)≤f(-1).
又f(x)在(-∞,+∞)单调递减,
∴-1≤x-2≤1,
∴1≤x≤3.故选D.]
►考法2 奇偶性与周期性结合
【例5】 (2017·山东高考)已知f(x)是定义在R上的偶函数,且f(x+4)=f(x-2).若当x∈[-3,0]时,f(x)=6-x,则f(919)=________.
6 [∵f(x+4)=f(x-2),
∴f((x+2)+4)=f((x+2)-2),即f(x+6)=f(x),
∴f(x)是周期为6的周期函数,
∴f(919)=f(153×6+1)=f
(1).
又f(x)是定义在R上的偶函数,
∴f
(1)=f(-1)=6,即f(919)=6.]
►考法3 奇偶性、周期性与单调性结合
【例6】 已知定义在R上的奇函数f(x)满足f(x-4)=-f(x),且在区间[0,2]上是增函数,则( )
A.f(-25)<f(11)<f(80)
B.f(80)<f(11)<f(-25)
C.f(11)<f(80)<f(-25)
D.f(-25)<f(80)<f(11)
D [因为f(x)满足f(x-4)=-f(x),
所以f(x-8)=f(x),所以函数f(x)是以8为周期的周期函数,则f(-25)=f(-1),f(80)=f(0),f(11)=f(3).
由f(x)是定义在R上的奇函数,且满足f(x-4)=-f(x),得f(11)=f(3)=-f(-1)=f
(1).
因为f(x)在区间[0,2]上是增函数,f(x)在R上是奇函数,所以f(x)在区间[-2,2]上是增函数,
所以f(-1)<f(0)<f
(1),即f(-25)<f(80)<f(11).故选D.]
[规律方法] 函数性质综合应用问题的常见类型及解题方法
(1)函数单调性与奇偶性结合.注意函数单调性及奇偶性的定义,以及奇、偶函数图象的对称性.
(2)周期性与奇偶性结合.此类问题多考查求值问题,常利用奇偶性及周期性进行交换,将所求函数值的自变量转化到已知解析式的函数定义域内求解.
(3)周期性、奇偶性与单调性结合.解决此类问题通常先利用周期性转化自变量所在的区间,然后利用奇偶性和单调性求解.
(1)已知偶函数f(x)在区间[0,+∞)上单调递增,则满足f(2x-1)<f
的x的取值范围是( )
A.
B.
C.
D.
(2)已知f(x)是定义在R上的偶函数,并且f(x)f(x+2)=-1,当2≤x≤3时,f(x)=x,则f(105.5)=________.
(3)定义在R上的偶函数f(x)满足f(x+1)=-f(x),且在[0,1]上单调递增,设a=f(3),b=f(
),c=f
(2),则a,b,c的大小关系是________.
(1)A
(2)2.5 (3)a>b>c [
(1)因为f(x)是偶函数,所以其图象关于y轴对称,
又f(x)在[0,+∞)上单调递增,
f(2x-1)<f
,
所以|2x-1|<
,所以
<x<
.
(2)由已知,可得f(x+4)=f[(x+2)+2]=-
=-
=f(x),
故函数f(x)的周期为4.
所以f(105.5)=f(4×27-2.5)=f(-2.5)=f(2.5),
因为2≤2.5≤3,由题意,得f(2.5)=2.5.
所以f(105.5)=2.5
(3)由f(x+1)=-f(x)得f(x+2)=f(x),即函数f(x)的周期为2,则f(3)=f
(1),f
(2)=f(0),f(
)=f(
-2)=f(2-
),
由于0<2-
<1,且函数f(x)在[0,1]上单调递增,
所以f(3)>f(
)>f
(2),即a>b>c.]
1.(2017·全国卷Ⅱ)已知函数f(x)是定义在R上的奇函数,当x∈(-∞,0)时,f(x)=2x3+x2,则f
(2)=________.
12 [法一:
令x>0,则-x<0.
∴f(-x)=-2x3+x2.
∵函数f(x)是定义在R上的奇函数,
∴f(-x)=-f(x).
∴f(x)=2x3-x2(x>0).
∴f
(2)=2×23-22=12.
法二:
f
(2)=-f(-2)
=-[2×(-2)3+(-2)2]=12.]
2.(2015·全国卷Ⅰ)若函数f(x)=xln(x+
)为偶函数,则a=________.
1 [∵f(x)为偶函数,∴f(-x)-f(x)=0恒成立,
∴-xln(-x+
)-xln(x+
)=0恒成立,∴xlna=0恒成立,∴lna=0,即a=1.]
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