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中职数学基础知识汇总
预备知识:
1•完全平方和(差)公式:
(a+b)2=a2+2ab+b2(a-b)2=a2-2ab+b2
2.平方差公式:
a2-b2=(a+b)(a-b)
3•立方和(差)公式:
a3+b3=(a+b)(a2-ab+b2)a3-b3=(a-b)(a2+ab+b2)
第一章集合
1.构成集合的元素必须满足三要素:
确定性、互异性、无序性。
2.集合的三种表示方法:
列举法、描述法、图像法(文氏图)。
3.常用数集:
N(自然数集)、Z(整数集)、Q(有理数集)、R(实数集)、N+(正整数集)
4.元素与集合、集合与集合之间的关系:
(1)元素与集合是“”与“”的关系。
(2)集合与集合是“厂“二”“=”“/厂的关系。
注:
(1)空集是任何集合的子集,任何非空集合的真子集。
(做题时多考虑①是否满足题意)
(2)一个集合含有n个元素,则它的子集有2n个,真子集有2n-1个,非空真子集有2n-2个
5.集合的基本运算(用描述法表示的集合的运算尽量用画数轴的方法)
(1)AIB={x|x挝A且xB}:
A与B的公共元素组成的集合
(2)AUB={x|x挝A或xB}:
A与B的所有元素组成的集合(相同元素只写一次)
(3)C(jA:
U中元素去掉A中元素剩下的元素组成的集合。
注:
Cu(AIB)CuAUCuBCu(AUB)二C/lCdB
6.会用文氏图表示相应的集合,会将相应的集合画在文氏图上。
7.充分必要条件:
p是q的……条件p是条件,q是结论
如果pq,那么p是q的充分条件;q是p的必要条件.如果pq,那么p是q的充要条件
第二章不等式
1.不等式的基本性质:
(略)
注:
(1)比较两个实数的大小一般用比较差的方法;另外还可以用平方法、倒数法。
(2)不等式两边同时乘以负数要变号!
!
(3)同向的不等式可以相力廿(不能相减),同正的同向不等式可以相乘。
2.重要的不等式:
(1)a2b22ab,当且仅当ab时,等号成立。
(2)ab2ab(a,bR),当且仅当ab时,等号成立。
(3)
注:
(算术平均数)_ab(几何平均数)
2
3.一元一次不等式的解法(略)
4.一元二次不等式的解法
(1)保证二次项系数为正
(2)分解因式(十字相乘法、提取公因式、求根公式法),目的是求根:
(3)定解:
(口诀)大于取两边,小于取中间
5.
绝对值不等式的解法
分式不等式的解法:
与二次不等式的解法相同。
注:
分母不能为0.
第三章函数
1.函数
(1)定义:
设AB是两个非空数集,如果按照某种对应法则f,对A内任一个元素x,在B中总有一个且只
有一个值y与它对应,则称f是集合A到B的函数,可记为:
f:
AtB,或f:
xy.其中A叫做函数f的定义域.函数f在xa的函数值,记作f(a),函数值的全体构成的集合C(C?
B),叫做函数的值域.
(2)函数的表示方法:
列表法、图像法、解析法。
注:
在解函数题时可以画岀图像,运用数形结合的方法可以使大部分题目变得更简单。
2.函数的三要素:
定义域、值域、对应法则
(1)定义域的求法:
使函数(的解析式)有意义的x的取值范围
主要依据:
分母不能为0,偶次根式的被开方式0,
特殊函数定义域:
yx°,x0yax,(a0且a1),xR
ylogax,(a0且a1),x0
(2)值域的求法:
y的取值范围
1正比例函数:
ykx和一次函数:
ykxb的值域为R
2二次函数:
yax2bxc的值域求法:
配方法。
如果x的取值范围不是R则还需画图像
1
3反比例函数:
y的值域为{y|y0}
x
4另求值域的方法:
换元法、不等式法、数形结合法、函数的单调性等等。
(3)解析式求法:
在求函数解析式时可用换元法、构造法、待定系数法等。
3.函数图像的变换
(1)平移
y
…、向左平移—
a)
向右平移
yf(x)a个单位
yf(xa)
a个单位y
y
向上平移
f(x)a个单位y
f(x)
a
向下平移
yf(x)a个单位
yf(x)a
(2)
翻折
y
f(x)沿x轴
y
f(x)
、保留X轴上方图像,
yf(x)下方翻折到上方y|f(x)|
()上、下对折
4.函数的奇偶性
(1)定义域关于原点对称
(2)若f(X)f(X)奇若f(X)f(X)偶
注:
①若奇函数在x0处有意义,则f(0)0
②常值函数f(x)a(a0)为偶函数③f(x)0既是奇函数又是偶函数
5.函数的单调性
对于x1>x2
[a,b]且X1x2,若
f(Xi)
f(Xi)
f(x2),称f(x)在[a,b]上为增函数
f(X2),称f(x)在[a,b]上为减函数
增函数:
X值越大,函数值越大;减函数:
X值越大,函数值反而越小;
6.二次函数
(1)二次函数的三种解析式
x值越小,函数值越小。
X值越小,函数值反而越大。
①一般式:
f(X)
ax2
bxc(a
0)
②顶点式:
f(X)
a(x
k)2h(
a0),
其中(k,h)为顶点
③两根式:
f(x)
a(x
xj(xX2)
(a
0),其中X2是
(2)图像与性质
二次函数的图像是-
一条抛物线,有如下特征与性质
①开口a
0开口向上
a0
开口向下
b
b4acb2
②对称轴:
X
顶点坐标:
(,
)
2a
2a
4a
f(x)0的两根
与X轴的交点:
有两交点
有1交点
无交点
Xi
X2
④根与系数的关系:
(韦达定理)
Xi
X2
2
f(X)axbxc为偶函数的充要条件为
⑥二次函数(二次函数恒大(小)于0)
a
f(x)0
0图像位于x轴上方
f(X)0
图像位于x轴下方
⑦若二次函数对任意
X都有f(tX)f(tX),则其对称轴是Xto
第四章指数函数与对数函数
1.指数幕的性质与运算
(1)根式的性质:
①n为任意正整数,(na)na②当n为奇数时,
a;当n为偶数时,van|a|
③零的任何正整数次方根为零;负数没有偶次方根。
零次幕:
a0
1(a0)
(3)
负数指数幕:
(4)
分数指数幕:
n1*
a—(a0,nN)a
m
an
\'am(a0,m,nN且n
1)
(5)
实数指数幕的运算法则:
(a0,m,nR)
2.
3.
4.
5.
6.
7.
8.
m、nmnn
②(a)a③(ab)
幕运算时,注意将小数指数、根式都统一化为分数指数;一般将每个数都化为最小的一个数的
幕函数yxa当a0时,
当a0时,
指数与对数的互化:
abN
对数基本性质:
①logaa
n次方。
⑤logab与logba互为倒数
⑥logambn—logab
m
对数的基本运算:
loga(M
换底公式:
N)
loga
logaMloga
logbN
logba
xa在(0,
xa在(0,
logaNb
logablogb
)上单调递增
)上单调递减
(a
logaN
(b0且b1)
0且a1)
(N0)
③alog
④logaaN
loga
logaM
logba
logaN
指数函数、
对数函数的图像和性质
性
质
(1)XR,y0
⑵图像经过(0,1)点
(3)a1,yax在R上为增函数;
0a1,yax在R上为减函数。
(1)x0,yR
(2)图像经过(1,0)点
a1,ylogax在(0,)上为增函数;
(3)
0a1,ylogaX在(0,)上为减函数
9.禾U用幕函数、指数函数、对数函数的单调性比较两个数的大小,将其变为同底、同幕(次)或用换底公式或是利用中间值0,1来过渡。
10.指数方程和对数方程:
指数式和对数式互化同底法换元法④取对数法
注:
解完方程要记得验证根是否是增根,是否失根。
第五章数列
等差数列
等比数列
每一项与前一项之差为同一个常数
每一项与前一项之比为同一个常数
疋
anan1d
a2
a1
a3
a2
a2
a3
an/c\
q(q0)
义
a1
a2
an1
注:
当公差
d
0时,数列为常数列
注:
等比数列各项及公比均不能为0;
当公比为1
时,
数列为常数列
通项
(n
1)d
n
1
公式
an
a1
an
dq
推
(1)
d
an
am
(1)
nm
q
n
m
am
论
(2)
an
am
(n
m)d
(2)
an
am
nm
q
(3)
若m
n
P
q,则amanapaq
(3)
若m
n
Pq,则amanapaq
中项
三个数a、
b、
c成等差数列,则有
三个数a、
b、
c成等比数列,则有
公式
2b
b
ac
.2
ac
2
b
ac
刖n
n
项和
Sn
a
n)
nan(n1)dna〔d
2
Sn
a(q)a1anq(q1)
公式
2
1
q1q
1.已知前n项和Sn的解析式,求通项an
Si(n1)Sn&1(n2)
第六章三角函数
1.弧度和角度的互换
2.
解释:
指k—(kZ),若k为奇数,则函数名要改变,若k为偶数函数名不变
2
7.已知三角函数值求角:
(1)确定角所在的象限;
(2)求岀函数值的绝对值对应的锐角终边的角的集合)
8.和角、倍角公式
⑴和角公式:
sin(
)
sincos
cossin
cos(
)
coscos
sin
sin
tan(
)
tantan
1tantan
';(3)写岀满足条件的0~2的角;(4)加上周期(同
注意正负号相同
注意正负号相反
⑵二倍角公式:
sin2
2sincos
cos2
2・2cossin
c2
2cos
2
112sin
tan2
2tan
1tan2
⑶
半角公式:
sin
2
■1cos
cos—
2
.1cos
2
2
9.三角函数的图像与性质
函数
图像
性质
定义域
值域
同期
奇偶性
单调性
ysinx
j
J
0:
-D^
4
「J
xR
[1,1]
T2
奇
[2k-,2k-]
22
3
[2k—,2k—]
22
ycosx
xR
[1,1]
T2
偶
[2k,2k]
[2k,2k]
9.正弦型函数yAsin(x)(A0,0)
(1)定义域R,值域[A,A]
X的系数提出来,再看是怎样平移的
(2)周期:
T
(3)注意平移的问题:
一要注意函数名称是否相同,二要注意将
(4)yasinxbcosx..a2b2sin(x)
10.
正弦定理
(2)a:
b:
csinA:
sinB:
sinC
11.
余弦定理
12.三角形面积公式
111
SabcabsinCbcsinAacsinB(注意理解记忆,可只记一个)
222
abc
13.海伦公式:
SABCP(Pa)(Pb)(Pc)(其中P为ABC的半周长,P
2第七章平面向量
1.向量的概念
(1)定义:
既有大小又有方向的量。
(2)向量的表示:
书写时一定要加箭头!
另起点为A,终点为B的向量表示为AB。
(3)向量的模(长度):
|AB|或|a|
(4)零向量:
长度为0,方向任意。
单位向量:
长度为1的向量。
向量相等:
大小相等,方向相同的两个向量。
反(负)向量:
大小相等,方向相反的两个向量。
2.向量的运算
(2)计算法则
加法:
ABBCAC减法:
ABACCA
(3)运算律:
加法交换律、结合律注:
乘法(内积)不具有结合律
—*►—*
3.数乘向量:
a
(1)模为:
|||a|
(2)方向:
为正与a相同;为负与a相反。
4.AB的坐标:
终点B的坐标减去起点A的坐标。
AB(xBxA,yByA)
—*—F
5.向量共线(平行):
唯一实数,使得ab。
(可证平行、三点共线问题等)
6.平面向量分解定理:
如果e1,e2是同一平面上的两个不共线的向量,那么对该平面上的任一向量a,都存在唯一的
―—fc<
一对实数x1,x2,使得ax1e1x2e2。
7.注意ABC中,重心(三条中线交点)、外心(外接圆圆心:
三边垂直平分线交点)、内心(内切圆圆心:
三角平分
线交点)、垂心(三高线的交点)
8.向量的内积(数量积)
(1)向量之间的夹角:
图像上起点在同一位置;范围[0,]。
——*—*■—►—T—
(2)内积公式:
ab|a||b|cosa,b
9.向量内积的性质:
(2)a丄bab0
(j)cosa,bJ~(夹角公式)
|a||b|
(3)aa|a|2或|a|.aa(长度公式)
12.向量平行、垂直的充要条件:
设a(x1,y1),b(x2,y2),则
11.
长度公式
12.
向量平移
a2f(xaj
(2)图像平移:
yf(x)的图像平移向量a(a1,a2)后得到的函数解析式为:
第八章平面解析几何
1.曲线C上的点与方程F(X,y)0之间的关系:
(1)曲线C上点的坐标都是方程F(x,y)0的解;
(2)以方程F(x,y)0的解(x,y)为坐标的点都在曲线C上。
则曲线C叫做方程F(x,y)0的曲线,方程F(x,y)0叫做曲线C的方程。
3.求曲线方程的方法及步骤:
(1)设动点的坐标为(x,y);⑵写岀动点在曲线上的充要条件;(3)用x,y的关系式
表示这个条件列岀的方程;(4)化简方程(不需要的全部约掉);(5)证明化简后的方程是所求曲线的方程。
如果
方程化简过程是同解变形的话第五步可省略。
4.两曲线的交点:
联立方程组求解即可。
5.直线:
(1)倾斜角:
一条直线I向上的方向与x轴的正方向所成的最小正角叫这条直线的倾斜角。
其范围是[0,)
的直线的斜率K
y2
y1
(X1X2)
X2
X1
②斜截式:
y
kxb
④一般式:
Ax
By
C0
(2)
(倾斜角的正切)
斜率:
①倾斜角为900的直线没有斜率;②ktan
③经过两点1^(x1,y1),P2(x2,y2)
①
两点式:
y
y1
x
X1
y2
y1
X2
X1
③
点斜式:
y
y。
k(x
X°)
⑶直线的方程
注:
1.若直线I方程为3x+4y+5=0,则与|平行的直线可设为3x+4y+C=0;与I垂直的直线可设为4X-3Y+C=0
2.求直线的方程最后要化成一般式。
(4)两条直线的位置关系
I1:
yk1xb|I2:
yk2xb2
h:
AxB1xC1012:
A2xB2xC20
|1与12平行
k?
.且b[b?
AB1C2
A2B2C2
l1与I2重合
k[k2且b2
AB1C2
A2B2C2
h与12相交
AB1A2B2
I1丄12
k1k21
A1A2B1B20
注:
系数为0的情况可画图像来判定。
(5)点到直线的距离
①点P(x°,y0)到直线AxByC0的距离:
d——-
6.圆的方程
(1)
标准方程:
(X
a)2
(y
b)2
2
r(r
0)
其中圆心(a,b),半径r
(2)
一般方程:
2X
2
y
Dx
Ey
F0
(D2
2
E4F0)
圆心(
D
J
E
.D2
E2
4F
)
半径:
:
r
2
2
2
(4)直线和圆的位置关系:
主要用几何法,利用圆心到直线的距离d和半径r比较
dr相交;dr相切;dr相离
7.椭圆
几何定义
动点与两定点(焦点)的距离之和等于常数2a
|PFi|IPF2I2a
标准方程
22
笃爲1(焦点在x轴上)
a2b2
22
仔差1(焦点在y轴上)
ba
图像
a,b,c的关系
a2b2c2注意:
通常题目会隐藏这个条件
对称轴与对称中心
x轴:
长轴长2a;y轴:
短轴长2b;0(0,0)
顶点坐标
(a,0)(0,b)
焦点坐标
(c,0)焦距2c注:
要特别注意焦点在哪个轴上
离心率
e2护1
aYa
8.双曲线
顶点坐标
(a,0)
焦点坐标
(c,0)焦距2c注:
要特别注意焦点在哪个轴上
离心率
eE再1
aYa
渐近线
ba
y-x(焦点在x轴上)y—x(焦点在y轴上)
ab
8.
注:
等轴双曲线:
(1)实轴长和虚轴长相等ab
(2)离心率e2(3)渐近线yx
1.空间的基本要素:
点、线、面
注:
用集合符号表示空间中点(元素)、线(集合)、面(集合)的关系
2.平面的基本性质
(1)三个公理:
1如果一条直线上的两点在一个平面内,那么这条直线上的所有的点都在这个平面内。
2如果两个不重合的平面有一个公共点,那么它们的所有公共点组成的集合是过该点的一条直线。
3经过不在同一条直线上的三点,有且只有一个平面。
(2)三个推论:
1经过一条直线和这条直线外的一点,有且只有一个平面。
2经过两条相交直线,有且只有一个平面。
3经过两条平行直线,有且只有一个平面。
3.两条直线的位置关系:
(1)相交:
有且只有一个公共点,记作“abA”
(2)平行:
a.过直线外一点有且只有一条直线与该直线平行。
b.平行于同一条直线的两条直线平行
(3)异面:
1定义:
不同在任何一个平面内的两条直线
2异面直线的夹角:
对于两条异面直线,平移一条与另一条相交所成的不大于一的角。
注意在找异面直线之间的夹
2
角时可作其中一条的平行线,让它们相交。
4.直线和平面的位置关系:
(1)直线在平面内:
丨
(2)直线与平面相交:
IA
(3)直线与平面平行
1定义:
没有公共点,记作:
I//
2判定:
如果平面外一条直线与平面内一条直线平行,则该直线与平面平行。
3性质:
如果一条直线与一平面平行,且过直线的另一平面与该平面相交,则该直线与交线平行。
5.两个平面的位置关系
(1)相交:
I
(2)平行:
1定义:
没有公共点,记作:
“//”
2判定:
如果一个平面内有两条相交直线与另一个平面都平行,则两平面平行
3性质:
a.两个平行平面与第三个平面都相交,则交线互相平行
b.
平行于同一平面的两个平面平行
c.夹在两平行平面间的平行线段相等
d.两条直线被三个平行平面所截得的对应线段成比例
6.直线与平面所成的角:
(1)定义:
直线与它在平面内的射影所成的角
(2)范围:
[0,—]
2
7.直线与平面垂直
(1)判定:
如果一条直线垂直于平面内的两条相交直线,则该直线与平面垂直
(2)性质:
1如果一条直线垂直于一平面,则它垂直于该平面内任何直线;
2垂直于同一平面的两直线平行;
3垂直于同一直线的两平面平行。
8.两个平面垂直
(1)判定定理:
如果一个平面经过另一个平面的垂线,则两个平面互相垂直。
(2)性质定理:
如果两个平面垂直,则一个平面内垂直于它们的交线的直线与另一个平面垂直
9.二面角
(1)定义:
过二面角丨的棱上一点0,分别在两半平面内引棱I的垂线OA、OB,则AOB为二面角的
平面角
(2)范围:
[0,]
(3)二面角的平面角构造:
1按定义,在棱上取一点O,分别在两半平面内引棱的垂线OA、OB,则AOB即是
2作一平面与二面角的棱垂直,与两半平面分别交于OA、OB,AOB即是
3
第十章排列、组合与二项式定理
阶乘:
Pnnn!
n(n1)(n2)
规定:
0!
1C01
注:
(1)做排列组合题的原则:
先特殊,后一般!
(2)在一起,用捆绑法;不在一起,用插空法;另外的思考方法:
一般法、排除法、分类讨论法、机会均等法等等。
3.组合数的两个性质:
(1)雷c:
m
(2)昭cmcm1
4.二项式定理:
(ab)nC:
anb0C:
anhQa"rbrC:
jb"1C:
a0bn
通项:
Tr1C:
anrbr,其中C:
叫做第r1项的二项式系数
(2)杨辉三角
1.二项式系数的性质
(1)除每行两端的1以外,每个数字都等于它肩上两数之和,即C:
1C:
C:
1
(2)与首末两端等距离的两项的二项式系数相等,即cnc;r
(3)n为偶数,
展开式有奇数项,
中间项的二项式系数最大;
(第-
2
1项)
n为奇数,
展开式有偶数项,
中间两项的二项式系数最大。
(第•
n1
项和后一项)
2
7.CC:
cm
nn0
Cn2Cn
C2C4
CnCn
C1C3C5CnCnCn
2*1
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