最新数值分析实验报告修订版整理版.docx
- 文档编号:728609
- 上传时间:2022-10-12
- 格式:DOCX
- 页数:42
- 大小:274.76KB
最新数值分析实验报告修订版整理版.docx
《最新数值分析实验报告修订版整理版.docx》由会员分享,可在线阅读,更多相关《最新数值分析实验报告修订版整理版.docx(42页珍藏版)》请在冰豆网上搜索。
最新数值分析实验报告修订版整理版
数值分析实验报告
(第二章)
实验题目:
分别用二分法、牛顿迭代法、割线法、史蒂芬森迭代法求方程
的根
,观察不同初始值下的收敛性,并给出结论。
问题分析:
题目有以下几点要求:
1.不同的迭代法计算根,并比较收敛性。
2.选定不同的初始值,比较收敛性。
实验原理:
各个迭代法简述
二分法:
取有根区间
的重点
,确定新的有根区间
的区间长度仅为
区间长度的一版。
对压缩了的有根区间
重复以上过程,又得到新的有根区间
,其区间长度为
的一半,如此反复,……,可得一系列有根区间,区间收敛到一个点即为根。
牛顿迭代法:
不动点迭代法的一种特例,具有局部二次收敛的特性。
迭代格式为
割线法:
是牛顿法的改进,具有超线性收敛的特性,收敛阶为1.618.迭代格式为
史蒂芬森迭代法:
采用不动点迭代进行预估校正。
至少是平方收敛的。
迭代格式为
这里
可采用牛顿迭代法的迭代函数。
实验内容:
1.写出该问题的
函数
代码如下:
functionpy=f(x)
symsk;
y=(k^2+1)*(k-1)^5;
yy=diff(y,k);
py
(1)=subs(y,k,x);
py
(2)=subs(yy,k,x);
end
2.分别写出各个迭代法的迭代函数
代码如下:
二分法:
functiony=dichotomie(a,b,e)
i=2;
m
(1)=a;
whileabs(a-b)>e
t=(a+b)/2;
s1=f(a);
s2=f(b);
s3=f(t);
ifs1
(1)*s3
(1)<=0
b=t;
else
a=t;
end
m(i)=t;
i=i+1;
end
y=[t,i+1,m];
end
牛顿迭代法:
functiony=NewtonIterative(x,e)
i=2;
en=2*e;
m
(1)=x;
whileabs(en)>=e
s=f(x);
t=x-s
(1)/s
(2);
en=t-x;
x=t;
m(i)=t;
i=i+1;
end
y=[x,i+1,m];
end
牛顿割线法:
functiony=Secant(x1,x2,e)
i=3;
m
(1)=x1,m
(2)=x2;
whileabs(x2-x1)>=e
s1=f(x1);
s2=f(x2);
t=x2-(x2-x1)*s2
(1)/(s2
(1)-s1
(1));
x1=x2;
x2=t;
m(i)=t;
i=i+1;
end
y=[x2,i+1,m];
end
史蒂芬森迭代法:
Functionp=StephensonIterative(x,e)
i=2;
m
(2)=x;
en=2*e;
whileabs(en)>=e
y=fai(x);
z=fai(y);
t=x-(y-x)^2/(z-2*y+x);
en=t-x;
x=t;
m(i)=t;
i=i+1;
end
p=[x,i+1,m];
end
3.因为
经常被使用,故可以写一个
函数。
代码如下:
functiony=fai(x)
s=f(x);
y=x-s
(1)/s
(2);
end
4.可以绘制不同的图形来比较不同迭代法的收敛性和不同初值下的收敛性。
代码如下:
clearall;
%相同初始值,不同迭代法下的收敛
x1=dichotomie(0,3,1e-10);
x2=NewtonIterative(0,1e-10);
x3=Secant(0,2,1e-10);
x4=StephensonIterative(0,1e-10);
[x1
(2),x2
(2),x3
(2),x4
(2)]
figure,
subplot(2,2,1),plot(x1(3:
x1
(2))),title('二分法');
subplot(2,2,2),plot(x2(3:
x2
(2))),title('牛顿迭代法');
subplot(2,2,3),plot(x3(3:
x3
(2))),title('牛顿割线法');
subplot(2,2,4),plot(x4(3:
x4
(2))),title('史蒂芬森迭代法');
figure,
subplot(2,2,1),plot((x1(4:
x1
(2)-1)-x1
(1))./(x1(3:
x1
(2)-2)-x1
(1))),title('二分法');
subplot(2,2,2),plot((x2(4:
x2
(2)-1)-x2
(1))./(x2(3:
x2
(2)-2)-x2
(1))),title('牛顿迭代法');
subplot(2,2,3),plot((x3(4:
x3
(2)-1)-x3
(1))./(x3(3:
x3
(2)-2)-x3
(1))),title('牛顿割线法');
subplot(2,2,4),plot((x4(4:
x4
(2)-1)-x4
(1))./(x4(3:
x4
(2)-2)-x4
(1))),title('史蒂芬森迭代法');
%不同初始值,相同迭代法下的收敛性
x5=dichotomie(-1,1,1e-10);
x6=dichotomie(-2,3,1e-10);
x7=dichotomie(0,4,1e-10);
x8=dichotomie(-4,4,1e-10);
x9=NewtonIterative(-2,1e-10);
x10=NewtonIterative(-4,1e-10);
x11=NewtonIterative(4,1e-10);
x12=NewtonIterative(6,1e-10);
figure,
subplot(1,2,1),
plot(1:
x1
(2)-2,x1(3:
x1
(2)),1:
x5
(2)-2,x5(3:
x5
(2)),1:
x6
(2)-2,x6(3:
x6
(2)),1:
x7
(2)-2,x7(3:
x7
(2)),1:
x8
(2)-2,x8(3:
x8
(2))),title('二分法');
subplot(1,2,2),
plot(1:
x2
(2)-2,x2(3:
x2
(2)),1:
x9
(2)-2,x9(3:
x9
(2)),1:
x10
(2)-2,x10(3:
x10
(2)),1:
x11
(2)-2,x11(3:
x11
(2)),1:
x12
(2)-2,x12(3:
x12
(2))),title('牛顿迭代法');
x13=Secant(-1,1,1e-10);
x14=Secant(-4,5,1e-10);
x15=Secant(0,7,1e-10);
x16=Secant(-8,2,1e-10);
x17=StephensonIterative(-1,1e-10);
x18=StephensonIterative(-4,1e-10);
x19=StephensonIterative(4,1e-10);
x20=StephensonIterative(6,1e-10);
figure,
subplot(1,2,1),
plot(1:
x3
(2)-2,x3(3:
x3
(2)),1:
x13
(2)-2,x13(3:
x13
(2)),1:
x14
(2)-2,x14(3:
x14
(2)),1:
x15
(2)-2,x15(3:
x15
(2)),1:
x16
(2)-2,x16(3:
x16
(2))),title('牛顿割线法');
subplot(1,2,2),
plot(1:
x4
(2)-2,x4(3:
x4
(2)),1:
x17
(2)-2,x17(3:
x17
(2)),1:
x18
(2)-2,x18(3:
x18
(2)),1:
x19
(2)-2,x19(3:
x19
(2)),1:
x20
(2)-2,x20(3:
x20
(2))),title('史蒂芬森迭代法');
实验结果:
1.各个迭代值分布
图1.1不同迭代法下的得到的迭代值
迭代值的情况如下:
二分法
牛顿迭代法
牛顿割线法
史蒂芬森迭代法
0
0
0
0
1.5000000000
0.2000000000
2.0000000000
1.3555555556
0.7500000000
0.3704918032
0.3333333333
0.9816165283
1.1250000000
0.5076442076
0.3807196801
0.9999460003
0.9375000000
0.6146189447
0.4982833419
0.9999999995
1.0312500000
0.6973869098
0.5704996333
0.9843750000
0.7615538091
0.6393806244
1.0078125000
0.8115411186
0.6942785879
0.9960937500
0.8506763857
0.7411692653
1.0019531250
0.8814482123
0.7802715997
0.9990234375
0.9057297400
0.8132927871
当二分法的初始区间选为
,误差限为
,牛顿迭代法初值选为
,误差限为
,牛顿割线法初始点为
,误差限为
,史蒂芬森迭代法初始点选为
,误差限为
,迭代情况如图所示。
迭代次数分别为38次,100次,140次,9次。
故而,史蒂芬森迭代法速度最快,效果最好。
2.收敛情况
图1.2不同迭代法下迭代值得收敛情况
二分法收敛效果较差,牛顿迭代法和牛顿割线法相近,史蒂芬森迭代法收敛次数高于1,效果最好
3.不同初值的收敛情况
图1.3二分法,牛顿迭代法下不同初值的收敛情况
图1.4牛顿割线法,史蒂芬森迭代法下不同初值的收敛情况
1.二分法的五个初始区间分别为
;
2.牛顿迭代法的五个初始值分别为
;
3.牛顿割线法的五个初始区间分别为
;
4.史蒂芬森迭代法的五个初始值分别为
;
由图可知,它们最终均达到收敛。
收敛性分析及结论:
1.二分法收敛较慢且不能求解崇根,但算法简单;此处牛顿法具有了平方收敛;从迭代次数上看,牛顿割线法较牛顿法的多,所以收敛性较差,是超线性收敛;史蒂芬森迭代法收敛效果最好。
2.因为牛顿迭代法是局部的二次收敛,所以要注重初值的选取,本次实验中选择的初值均得到了收敛,效果比较好。
牛顿割线法也应注意初值的选取。
(第三章)
实验题目:
1.区间
作等距划分:
以
为结点对函数
进行插值逼近。
(1)分别取
用牛顿插值对
进行逼近,并在同一坐标系下做出函数的图形,进行比较。
写出插值函数对
的逼近程度与节点个数的关系,并分析原因;
(2)试用三次样条插值对
进行逼近,在同一坐标下画出图形,观察样条插值函数对
的逼近程度与节点个数的关系;
(3)整体插值有何局限性?
如何避免?
2.已知一组数据如下,求其拟合曲线.
表2.1数据表
0
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
2
3
4
7
8
10
11
14
16
18
19
106.42
108.2
109.5
110
109.93
110.49
110.59
110.6
110.76
111
111.2
(1)求以上数据形如
的拟合曲线及其平方误差;
(2)求以上数据形如
的拟合曲线及其平
- 配套讲稿:
如PPT文件的首页显示word图标,表示该PPT已包含配套word讲稿。双击word图标可打开word文档。
- 特殊限制:
部分文档作品中含有的国旗、国徽等图片,仅作为作品整体效果示例展示,禁止商用。设计者仅对作品中独创性部分享有著作权。
- 关 键 词:
- 最新 数值 分析 实验 报告 修订版 整理