学年最新北师大版九年级数学上册《特殊的平行四边形》单元测试题及答案解析精品试题.docx
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学年最新北师大版九年级数学上册《特殊的平行四边形》单元测试题及答案解析精品试题
《第1章特殊平行四边形》
一、选择题
1.平行四边形ABCD中,AC、BD是两条对角线,如果添加一个条件,即可推出平行四边形ABCD是矩形,那么这个条件是( )
A.AB=BCB.AC=BDC.AC⊥BDD.AB⊥BD
2.在平面直角坐标系中,正方形A1B1C1D1、D1E1E2B2、A2B2C2D2、D2E3E4B3、A3B3C3D3…按如图所示的方式放置,其中点B1在y轴上,点C1、E1、E2、C2、E3、E4、C3…在x轴上,已知正方形A1B1C1D1的边长为1,∠B1C1O=60°,B1C1∥B2C2∥B3C3…则正方形A2015B2015C2015D2015的边长是( )
A.(
)2014B.(
)2015C.(
)2015D.(
)2014
二、填空题
3.如图,▱ABCD的对角线相交于点O,请你添加一个条件 (只添一个即可),使▱ABCD是矩形.
4.如图,在正方形ABCD的外侧,作等边△ADE,则∠BED的度数是 .
5.如图,正方形ABCD的边长为1,以对角线AC为边作第二个正方形,再以对角线AE为边作第三个正方形AEGH,如此下去,第n个正方形的边长为 .
6.如图,在正方形ABCD中,点F为CD上一点,BF与AC交于点E.若∠CBF=20°,则∠AED等于 度.
7.边长为1的一个正方形和一个等边三角形如图摆放,则△ABC的面积为 .
8.如图,点E在正方形ABCD的边CD上.若△ABE的面积为8,CE=3,则线段BE的长为 .
9.正方形OA1B1C1、A1A2B2C2、A2A3B3C3,按如图放置,其中点A1、A2、A3在x轴的正半轴上,点B1、B2、B3在直线y=﹣x+2上,则点A3的坐标为 .
10.已知E是正方形ABCD的对角线AC上一点,AE=AD,过点E作AC的垂线,交边CD于点F,那么∠FAD= 度.
11.如图,要使平行四边形ABCD是矩形,则应添加的条件是 (只填一个).
12.如图,正方形ABCD的边长为a,在AB、BC、CD、DA边上分别取点A1、B1、C1、D1,使AA1=BB1=CC1=DD1=
a,在边A1B1、B1C1、C1D1、D1A1上分别取点A2、B2、C2、D2,使A1A2=B1B2=C1C2=D1D2=
A1B2,….依次规律继续下去,则正方形AnBnCnDn的面积为 .
13.如图,▱ABCD中,AB>AD,AE,BE,CM,DM分别为∠DAB,∠ABC,∠BCD,∠CDA的平分线,AE与DM相交于点F,BE与CM相交于点N,连接EM.若▱ABCD的周长为42cm,FM=3cm,EF=4cm,则EM= cm,AB= cm.
三、解答题
14.如图,在△ABC中,AB=BC,BD平分∠ABC.四边形ABED是平行四边形,DE交BC于点F,连接CE.
求证:
四边形BECD是矩形.
15.如图,在平面直角坐标系中,点A(2,n),B(m,n)(m>2),D(p,q)(q<n),点B,D在直线y=
x+1上.四边形ABCD的对角线AC,BD相交于点E,且AB∥CD,CD=4,BE=DE,△AEB的面积是2.
求证:
四边形ABCD是矩形.
16.如图,在△ABC中,AB=AC,点D(不与点B重合)在BC上,点E是AB的中点,过点A作AF∥BC交DE延长线于点F,连接AD,BF.
(1)求证:
△AEF≌△BED.
(2)若BD=CD,求证:
四边形AFBD是矩形.
17.正方形ABCD和正方形AEFG有公共顶点A,将正方形AEFG绕点A按顺时针方向旋转,记旋转角∠DAG=α,其中0°≤α≤180°,连结DF,BF,如图.
(1)若α=0°,则DF=BF,请加以证明;
(2)试画一个图形(即反例),说明
(1)中命题的逆命题是假命题;
(3)对于
(1)中命题的逆命题,如果能补充一个条件后能使该逆命题为真命题,请直接写出你认为需要补充的一个条件,不必说明理由.
18.如图,在正方形ABCD的外侧,作等边三角形ADE,连接BE,CE.
(1)求证:
BE=CE.
(2)求∠BEC的度数.
19.如图1,在正方形ABCD中,P是对角线BD上的一点,点E在AD的延长线上,且PA=PE,PE交CD于F.
(1)证明:
PC=PE;
(2)求∠CPE的度数;
(3)如图2,把正方形ABCD改为菱形ABCD,其他条件不变,当∠ABC=120°时,连接CE,试探究线段AP与线段CE的数量关系,并说明理由.
20.在平面直角坐标系xOy中,直线y=﹣x+3与x轴、y轴分别交于A、B,在△AOB内部作正方形,使正方形的四个顶点都落在该三角形的边上,求正方形落在x轴正半轴的顶点坐标.
21.如图,AB=AC,AD=AE,DE=BC,且∠BAD=∠CAE.
求证:
四边形BCDE是矩形.
22.已知在△ABC中,AB=AC=5,BC=6,AD是BC边上的中线,四边形ADBE是平行四边形.
(1)求证:
四边形ADBE是矩形;
(2)求矩形ADBE的面积.
23.如图,在△ABC中,D是BC边上的一点,E是AD的中点,过A点作BC的平行线交CE的延长线于点F,且AF=BD,连接BF.
(1)线段BD与CD有什么数量关系,并说明理由;
(2)当△ABC满足什么条件时,四边形AFBD是矩形?
并说明理由.
24.如图,在梯形ABCD中,AD∥BC,点E是BC的中点,连接AC,DE,AC=AB,DE∥AB.求证:
四边形AECD是矩形.
25.已知:
如图,在△ABC中,AB=AC,AD⊥BC,垂足为点D,AN是△ABC外角∠CAM的平分线,CE⊥AN,垂足为点E,
(1)求证:
四边形ADCE为矩形;
(2)当△ABC满足什么条件时,四边形ADCE是一个正方形?
并给出证明.
26.如图,在▱ABCD中,DE⊥AB,BF⊥CD,垂足分别为E,F.
(1)求证:
△ADE≌△CBF;
(2)求证:
四边形BFDE为矩形.
27.如图,在正方形ABCD中,点P在AD上,且不与A、D重合,BP的垂直平分线分别交CD、AB于E、F两点,垂足为Q,过E作EH⊥AB于H.
(1)求证:
HF=AP;
(2)若正方形ABCD的边长为12,AP=4,求线段EQ的长.
28.如图,在梯形ABCD中,AD∥BC,∠ADC=90°,∠B=30°,CE⊥AB,垂足为点E.若AD=1,AB=2
,求CE的长.
29.如图,△ABC中,点O是边AC上一个动点,过O作直线MN∥BC.设MN交∠ACB的平分线于点E,交∠ACB的外角平分线于点F.
(1)求证:
OE=OF;
(2)若CE=12,CF=5,求OC的长;
(3)当点O在边AC上运动到什么位置时,四边形AECF是矩形?
并说明理由.
30.如图,△ABC中,AB=AC,AD是∠BAC的角平分线,点O为AB的中点,连接DO并延长到点E,使OE=OD,连接AE,BE.
(1)求证:
四边形AEBD是矩形;
(2)当△ABC满足什么条件时,矩形AEBD是正方形,并说明理由.
《第1章特殊平行四边形》
参考答案与试题解析
一、选择题
1.平行四边形ABCD中,AC、BD是两条对角线,如果添加一个条件,即可推出平行四边形ABCD是矩形,那么这个条件是( )
A.AB=BCB.AC=BDC.AC⊥BDD.AB⊥BD
【考点】矩形的判定;平行四边形的性质.
【专题】证明题;压轴题.
【分析】根据对角线相等的平行四边形是矩形判断.
【解答】解:
A、是邻边相等,可得到平行四边形ABCD是菱形,故不正确;
B、是对角线相等,可推出平行四边形ABCD是矩形,故正确;
C、是对角线互相垂直,可得到平行四边形ABCD是菱形,故不正确;
D、无法判断.
故选B.
【点评】本题主要考查的是矩形的判定定理.但需要注意的是本题的知识点是关于各个图形的性质以及判定.
2.在平面直角坐标系中,正方形A1B1C1D1、D1E1E2B2、A2B2C2D2、D2E3E4B3、A3B3C3D3…按如图所示的方式放置,其中点B1在y轴上,点C1、E1、E2、C2、E3、E4、C3…在x轴上,已知正方形A1B1C1D1的边长为1,∠B1C1O=60°,B1C1∥B2C2∥B3C3…则正方形A2015B2015C2015D2015的边长是( )
A.(
)2014B.(
)2015C.(
)2015D.(
)2014
【考点】正方形的性质.
【专题】压轴题;规律型.
【分析】利用正方形的性质结合锐角三角函数关系得出正方形的边长,进而得出变化规律即可得出答案.
【解答】方法一:
解:
如图所示:
∵正方形A1B1C1D1的边长为1,∠B1C1O=60°,B1C1∥B2C2∥B3C3…
∴D1E1=B2E2,D2E3=B3E4,∠D1C1E1=∠C2B2E2=∠C3B3E4=30°,
∴D1E1=C1D1sin30°=
,则B2C2=(
)1,
同理可得:
B3C3=
=(
)2,
故正方形AnBnCnDn的边长是:
(
)n﹣1.
则正方形A2015B2015C2015D2015的边长是:
(
)2014.
故选:
D.
方法二:
∵正方形A1B1C1D1的边长为1,
∠B1C1O=60°,
∴D1E1=B2E2=
,
∵B1C1∥B2C2∥B3C3…
∴∠E2B2C2=60°,
∴B2C2=
,
同理:
B3C3=
×
=
…
∴a1=1,q=
,
∴正方形A2015B2015C2015D2015的边长=1×
.
【点评】此题主要考查了正方形的性质以及锐角三角函数关系,得出正方形的边长变化规律是解题关键.
二、填空题
3.如图,▱ABCD的对角线相交于点O,请你添加一个条件 AC=BD (只添一个即可),使▱ABCD是矩形.
【考点】矩形的判定;平行四边形的性质.
【专题】开放型.
【分析】根据矩形的判定定理(对角线相等的平行四边形是矩形)推出即可.
【解答】解:
添加的条件是AC=BD,
理由是:
∵AC=BD,四边形ABCD是平行四边形,
∴平行四边形ABCD是矩形,
故答案为:
AC=BD.
【点评】本题考查了矩形的判定定理的应用,注意:
对角线相等的平行四边形是矩形,此题是一道开放型的题目,答案不唯一.
4.如图,在正方形ABCD的外侧,作等边△ADE,则∠BED的度数是 45° .
【考点】正方形的性质;等边三角形的性质.
【分析】根据正方形的性质,可得AB与AD的关系,∠BAD的度数,根据等边三角形的性质,可得AE与AD的关系,∠AED的度数,根据等腰三角形的性质,可得∠AEB与∠ABE的关系,根据三角形的内角和,可得∠AEB的度数,根据角的和差,可得答案.
【解答】解:
∵四边形ABCD是正方形,
∴AB=AD,∠BAD=90°.
∵等边三角形ADE,
∴AD=AE,∠DAE=∠AED=60°.
∠BAE=∠BAD+∠DAE=90°+60°=150°,
AB=AE,
∠AEB=∠ABE=(180°﹣∠BAE)÷2=15°,
∠BED=∠DAE﹣∠AEB=60°﹣15°=45°,
故答案为:
45°.
【点评】本题考查了正方形的性质,先求出∠BAE的度数,再求出∠AEB,最后求出答案.
5.如图,正方形ABCD的边长为1,以对角线AC为边作第二个正方形,再以对角线AE为边作第三个正方形AEGH,如此下去,第n个正方形的边长为 (
)n﹣
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