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椭圆定义与几何意义有关习题
椭圆定义与几何意义习题及答案
一、选择题(每小题4分,共40分)
1.若方程x+ky=2表示焦点在y轴上的椭圆,则实数k的取值范围为()
A.(0,+乂)B.(0,2)
C.(1,+乂)D.(0,1)
2.已知Fi、F2是椭圆的两个焦点,满足MFi.MF20的点M总在椭圆
)
(。
,¥)D.曰)
内部,贝S椭圆离心率的取值范围是(
Ag)B.(巧C
22
3.已知椭圆16121的左焦点是Fi,右焦点是F2,点P在椭圆上,
如果线段PF1的中点在y轴上,那么|PFj:
PF2的值为
A.?
B
1
C.51
D
5
5
2
6
3
4.已知椭圆的两个焦点为
Fd.5,0),F2(、5,0),
M
是椭圆上一点,若
MF1MF20,MF1
MF2
8,则该椭圆的方程是
(
)
22
2
2
(A)xy1
(B)-
y
1
72
2
7
22
2
2
(C)xy1
(D)-
y
1
94
4
9
22
5.设椭圆X2y2
1(m0,n0)的右焦点与抛物线
y28x的焦点相
mn
同,离心率为1,
则此椭圆的方程为(
)
22
22
22
22
A.
x-也1
B.亠乂1C.
乙丄1
D.仏1
1216
1612
4864
6448
22
6•椭圆x2+-y2=1(a>b>0)上一点A关于原点的对称点为B,F为其右
ab
焦点’若AF丄BF,设/AB匡’且€[石盲],则该椭圆离心率的取值范围为()
[子
A•[孚1)B•[¥'¥】c•[普,1)D-
22
xy
~2~2ab
7.设抛物线y22px(p0)的焦点F恰好是椭圆
8.在椭圆务再1(ab0)上有一点M,F1,F2是椭圆的两个焦点,ab
则此椭圆的方程为()
0)上有一点MFi,F2是椭圆的两个焦点,
2x
2y
1
2x
2y
A.12
16
B.
16
12
2
2
2
2
x
y_
1
x
y_
C.48
64
D.
64
48
2
2
同,离心率为
1
1
b
七1(a
b
10.在椭圆务
a
1
2
若〔MF"IMF2I2b2,则椭圆离心率的范围是()
A.(0,予]B.[乎,1)C.[今,1)D.[2,1)
二、填空题(共4小题,每小题4分)
11.已知椭圆C1与双曲线C2有相同的焦点F1、F2,点P是C1与C2的一个公共点,PFlF2是一个以PF1为底的等腰三角形,|PFl14,C1
3
的离心率为7,则C2的离心率
为。
22
12.设Fi、F2是椭圆—丄1的两个焦点,P是椭圆上的点,且PF:
94
PF=2:
1,则厶PFH的面积等于
1上的点P到它的两个焦点F1、F2的距离之比
PF1:
|PF22:
a/3,
,则的最大
BAOBFO900,则椭圆的离心率是.
1
I■
aI
三、解答题(共44分,写出必要的步骤)
22
15.(本小题满分10分)已知点P(4,4),圆C:
(xm)y5(m3)
椭圆的左、右焦点,
直线PF1与圆C相切.
(I)求m的值与椭圆E的方程;
-1),离心率为2。
过点M作倾斜角互补的两条直线分别与椭圆C交
于异于M的另外两点P、Q。
(I)求椭圆C的方程;
(II)PMQ能否为直角?
证明你的结论;
(III)证明:
直线PQ的斜率为定值,并求这个定值。
22C:
-2^~21(ab0)
17.(本小题满分12分)已知椭圆ab经过点M(-2,
-1),离心率为2。
过点M作倾斜角互补的两条直线分别与椭圆C交于异于M的另外两点P、Q。
(I)求椭圆C的方程;
(II)试判断直线PQ的斜率是否为定值,证明你的结论
18.(本小题满分12分)已知椭圆Ci、抛物线C2的焦点均在x轴上,Ci的中心和C2的顶点均为原点0,从每条曲线上取两个点,将其坐标记录于下表中:
x
3
2
4
y
2巧
0
4
2
(I)求Ci、C2的标准方程;
(H)请问是否存在直线I满足条件:
①过C2的焦点F;②与Ci交
uuLiuuur
不同两点M、N,且满足0M0N?
若存在,求出直线I的方程;若不存在,说明理由.
答案
一、选择题
1.D2.C3.D4.C5.B6.B7.C8.B9.B10.B
二、填空题
11.312.413.—14.AJ
32
三、解答题
15.解:
(I)点A代入圆C方程,
m)215.
因为nx3,二m^1.……2分
圆C:
(x1)2y25.
设直线PF的斜率为k,
则PF:
yk(x4)4,
即kxy4k40.
因为直线PF与圆C相切,
所以|k04k4|亦.
Vk21
解得k11,或k-.
22
当k=11时,直线PF与x轴的交点横坐标为竺,不合题意,舍211
去.
当k=1时,直线PF与x轴的交点横坐标为一4,
2
所以c=4.Fi(-4,0),F2(4,0).
22
2a=AF+AF=5罷返6返,a3虑,a=18,b=2.
22椭圆E的方程为:
二乙i.
182
UllUULT
APAQ(x3)3(y1)x3y6.
22
因为—-1,即x2(3y)218,
182
而x2(3y)2>2|x||3y|,/•-18<6xy<18.
则(x3y)2x2(3y)26xy186xy的取值范围是[0,36].
x3y的取值范围是[—6,6].
所以APAQx3y6的取值范围是[-12,0].
①
a2—b2_「2
且a=2,
由①、②解得a2=6,b2=3,
椭圆c的方程为x2+号=1.
63
(H)记P(x1,y1)、Q(x2,y2).
设直线MP的方程为y+1=k(x+2),与椭圆C的方程联立,得
(1+2k2)x2+(8k2-4k)x+8k2—8k-4=0,
1+2k2
-2,x1是该方程的两根,则-2x1=8;-爲4,x1-4k2+4k+2
设直线MQ的方程为y+1=-k(x+2),
0"口-4k2-4k+2
同理得x2=—1+2k2—
因y1+1=k(x1+2),y2+1=-k(x2+2),
因此直线PQ的斜率为定值.
由①、②解得a2=6,b2=3,
该方程有两个相等的实数根-2,不合题意;
同理,若k=—1也不合题意.
故/PMQ不可能为直
角.6分
(皿)记P(x1,y1)、Q(x2,y2).
设直线MP的方程为y+1=k(x+2),与椭圆C的方程联立,得
(1+2k2)x2+(8k2—4k)x+8k2—8k—4=0,
设直线MQ的方程为y+1=—k(x+2),
同理得x2
—4k2—4k+2
1+2k2
因y1+1=k(x1+2),y2+1=—k(x2+2),
8k
设CC2
2x
・2a
2yb2
(ab0),把点(
2,0)(2,子)代入得:
4
2a
1
解得J
2
1
1
b1
2a
2b2
2x
2
…C1方程为—
4
y
1
5分
(H)法-
.
假设存在这样的直线I过抛物线焦点F(1,0),设直线I的方程为
x1my,两交点坐标为M(x1,y1),N(X2,y2),
my
y21
x1
2
x
4
umu由OM
UlT
ON,即OMON
0,得%X2
y1y2
0(*)
代入(*)式,得4
4m2m24
3
m24
11分
2x2
…12分
意;
2
X2彳
7y1yk(x1)
10分
11分
所以存在直线I满足条件,且I的方程为:
y2x2或y2x2.12分
1.
(H)设直线MP的斜率为k,则直线MQ勺斜率为—k,
假设/PMQ^直角,则k・(-k)=-1,k=±1.
若k=1,则直线MQ方程y+1=-(x+2),
与椭圆C方程联立,得x2+4x+4=0,
1+2k2
因此直线PQ的斜率为定
2
18.解:
(I)设抛物线C2:
y122px(p0),则有L2p(x0),据此
x
验证4个点知(3,23)、(4,4)在抛物线上,易求
C2:
y24x
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- 椭圆 定义 几何 意义 有关 习题