动量守恒定律计算专题答案解析.docx
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动量守恒定律计算专题答案解析
动量守恒定律的综合应用
1、质量为M、长为L的木块静止在光滑水平面上,现有一质量为m的子弹以水平初速度v0射入木块,穿出时子弹速度为v,求子弹与木块作用过程中系统损失的机械能。
动量守恒:
mV0=Mv木+mV
v木=(mV0-mV)/M
能量损失E=m(v0)2/2-M((mV0-mV)/M)2/2
2、如图所示,在竖直平面,一质量为M的木制小球(可视为质点)悬挂于O点,悬线长为L.一质量为m的子弹以水平速度v0射入木球且留在其中,子弹与木球的相互作用时间极短,可忽略不计.
(1)求子弹和木球相互作用结束后的瞬间,它们共同速度的大小;
(2)若子弹射入木球后,它们能在竖直平面做圆周运动,v0应为多大?
(1)由动量守恒mv0=(m+M)v
所以V=mv0(/m+M)
(2)设小球在竖直平面做圆周运动时,通过最高点的最小速度为v′,
根据牛顿第二定律有(m+M)g=(m+M)v′2 /L
小球在竖直平面做圆周运动的过程中机械能守恒,
取小球做圆周运动的最低点所在水平面为零势能平面,
所以 (m+M)v2/2 =2(m+M)gL+ (m+M)v′2/2
解得v0=(m+M)/m•5gL
即v0≥(m+M )/m •5gL
3、如图所示,长为L、质量为M的小船停在静水中,一个质量为m的人站在船头,若不计水的阻力,当人从船头走到船尾的过程中,船和人相对地面的位移各是多少?
设某时刻人对地的速度为v人,船对地的速度为v船,取人行进的方向为正方向,
根据动量守恒定律有:
m人v人-m船v船=0即v船:
v人=v人:
m船.
人的位移s人=v人t,船的位移s船=v船t,
所以船的位移与人的位移也与它们的质量成反比,
即s船:
s人=m人:
m船①
由图中可以看出:
s船+s人=L②
由①②两式解得s人=
L,s船=
L
4、如图所示,在光滑的水平面上有两物体m1和m2,其中m2静止,m1以速度v0向m2运动并发生碰撞,设碰撞中机械能的损失可忽略不计.
求两物体的最终速度.并讨论以下三种情况,
m1>>m2时,m1和m2的速度分别是多少?
m1=m2时,m1和m2的速度分别是多少?
m1< m1、m2碰时动量守恒m1v0=m1v1+m2v2---① 弹性碰撞机械能守恒m1v02/2=m1v12/2+m2v22/2---------② 由①②得: m1v02-m1v12=m2v22,即: v0+v1=v2-----③ 由①③得: v1=(m1-m2)v0/(m1+m2)-----④ v2=2m1v0/(m1+m2)-----------⑤ 讨论: ①m1=m2时,v1=0,v2=v0 两球交换速度 ②m1>m2时,v1、v2与④⑤式相等v1>0,v2>0 ③m1<m2时,v1、v2与④⑤式相等v1<0,v2>0 ④m1<<m2时,v1=-v0、v2=0,m1反弹,m2不动 ⑤m1>>m2时,v1=v、v2≈2 v2,m1不受影响,m2碰后飞出去. 5、如图所示,一个质量为m的玩具青蛙,蹲在质量为M的小车的细杆上,小车放在光滑的 水平桌面上.若车长为L,细杆高为h,且位于小车的中点,试求玩具青蛙至多以多大的水平 速度跳出,才能落到车面上? 6、如图所示,ABCD是由两部分光滑轨道平滑连接在一起组成的,AB为水平轨道, 是半径为R的半圆弧轨道,质量为M的小物块,静止在AB轨道上,一颗质量为m子弹水平射入物块但未穿出,物块与子弹一起运动,恰能贴着轨道侧通过最高点从D点飞出.取重力加速度g,求: 物块与子弹一起刚滑上圆弧轨道B点的速度; 子弹击中物块前的速度; 系统损失的机械能. 7、如图所示,木块A和B的质量分别为m1和m2,固定在轻质弹簧的两端,静止于光滑的水平面上.现给A以向右的水平速度v0,问在两物体相互作用的过程中,什么时候弹性势能最大,其最大值为多少? 求弹簧恢复原长时两物体的速度. 解: 木块A、B相互作用过程中,速度相等时弹簧的弹性势能最大,设共同速度的大小为v. 由动量守恒定律有m1v0=(m1+m2)v① 木块A、B减少的动能转化为弹簧的弹性势能,有 E弹=-ΔEk= m1v - (m1+m2)v2② 由①②式联立解得弹簧的弹性势能的最大值为: E弹= . 8、如图所示,在光滑的水平面上有一静止的光滑曲面滑块,质量为m2.现有一大小忽略不计的小球,质量为m1,以速度v0冲向滑块,并进入滑块的光滑轨道,设轨道足够高.求小球在轨道上能上升的最大高度.若m2=m1,则两物体最后速度分别为多少? 解: 小球和滑块具有相同速度时,小球的上升高度最大, 设共同速度的大小为v.由动量守恒定律有 m1v0=(m1+m2)v 设小球在轨道上能上升的最大高度为h.由于水平面光滑,故 小球和滑块组成的系统机械能守恒,以水平地面为零势能面,有 m1v = (m1+m2)v2+m1gh② 由①②式联立解得h= . 9、如图所示,一大小可忽略不计、质量为m1的小物体放在质量为m2的长木板的左端,长木板放在光滑的水平面上.现让m1获得向右的速度v0,若小物体最终没有从长木板上滑落,两者间的动摩擦因数为μ.求长木板的长度至少是多少? 解: 若使小物体不从长木板上滑落,则须小物体到达长木 板的右端时两者具有共同的速度.设共同速度的大小为v,长 木板的长度为L,由动量守恒定律有 m1v0=(m1+m2)v 由能的转化和守恒定律知,由小物体和长木板组成的系统 减少的动能转化为能,有 m1v - (m1+m2)v2=μm1gL② 由①②式联立解得L= . 10、如图所示,圆管构成的半圆形轨道竖直固定在水平地面上,轨道半径为R,MN为直径且与水平面垂直,直径略小于圆管径的小球A以某一速度冲进轨道,到达半圆轨道最高点M时与静止于该处的质量与A相同的小球B发生碰撞,碰后两球粘在一起飞出轨道,落地点距N为2R.重力加速度为g,忽略圆管径,空气阻力及各处摩擦均不计,求: (1)黏合后的两球从飞出轨道到落地的时间t; (2)小球A冲进轨道时速度v的大小. 解: (1)粘合后的两球飞出轨道后做平抛运动,竖直方向分运动为自由落体运动,有: ① 解得: ② (2)设球A的质量为m,碰撞前速度大小为v1,把球A冲进轨道最低点时的重力势能定为0, 由机械能守恒定律知: ③ 设碰撞后粘合在一起的两球速度大小为V2, 由动量守恒定律知: mv1=2mv2 ④ 飞出轨道后做平抛运动,水平方向分运动为匀速直线运动, 有: 2R=v2t⑤ 综合②③④⑤式得: ⑥ 11、如图所示,固定在地面上的光滑圆弧面与车C的上表面平滑相接,在圆弧面上有一个滑块A,其质量为mA=2kg,在距车的水平面高h=1.25m处由静止下滑,车C的质量为mC=6kg,在车C的左端有一个质量mB=2kg的滑块B,滑块A与B均可看做质点,滑块A与B碰撞后黏合在一起共同运动,最终刚好没有从车C上滑出,已知滑块A、B与车C的动摩擦因数均为μ=0.5,车C与水平地面的摩擦忽略不计.取g=10m/s2.求: (1)、滑块A滑到圆弧面末端时的速度大小. (2)、滑块A与B碰撞后瞬间的共同速度的大小. (3)、车C的最短长度. 解析: (1)设滑块A滑到圆弧未端时的速度大小为v1, 由机械能守恒定律有 ① (3分) 代入数据解得 ②(2分) (2)设A、B碰后瞬间的共同速度为v2,滑块A与B组成的系统动量守恒 ③(3分) 代入数据解得 ④ (2分) (3)设车C的最短长度为L,滑块A与B最终没有从车C上滑出,三者最终速度相同设为v3 根据动量守恒定律 ⑤ (3分) 根据能量守恒定律 ⑥ (3分) 联立⑤⑥式代入数据解得 m⑦(2分) 12、如图所示,A、B、C三个木块的质量均为m,置于光滑的水平面上,B、C之间有一轻质弹簧,弹簧的两端与木块接触而不固连.将弹簧压紧到不能再压缩时用细线把B和C紧连,使弹簧不能伸展,以至于B、C可视为一个整体.现A以初速度v0沿B、C的连线方向朝B运动,与B相碰并黏合在一起.以后细线突然断开,弹簧伸展,从而使C与A、B分离.已知C离开弹簧后的速度恰为v0.求弹簧释放的势能. 解: 设碰后A、B和C的共同速度的大小为v, 由动量守恒得 ① 设C离开弹簧时,A、B的速度大小为 , 由动量守恒得 ② 设弹簧的弹性势能为 ,从细线断开到C与弹簧分开的过程中 机械能守恒: ③ 由①②③式得弹簧所释放的势能为 。 13、一质量为2m的物体P静止于光滑水平地面上,其截面如图所示.图中ab为粗糙的水平面,长度为L;bc为一光滑斜面,斜面和水平面通过与ab和bc均相切的长度可忽略的光滑圆弧连接.现有一质量为m的木块以大小为v0的水平初速度从a点向左运动,在斜面上上升的最大高度为h,返回后再到达a点前与物体P相对静止.重力加速度为g.求: (1)木块在ab段受到的摩擦力f; (2)木块最后距a点的距离s. 解: (1)设木块和物体P共同速度为v,两物体从开始到第一次到达共同速度过程由动量守恒得: ① 由能量守恒得: ② 由①②得: ③ (2)木块返回与物体P第二次达到共同速度,全过程能量守恒得: ④ 由②③④得: 14、如图所示,在光滑水平面上有两个并排放置的木块A和B,已知mA=0.5kg,mB=0.3kg,有一质量为mC=0.08kg的小物块C以25m/s的水平速度滑上A表面,由于C和A、B间有摩擦,C滑到B表面上时最终与B以2.5m/s的共同速度运动,求: (1)木块A的最后速度; (2)C离开A时C的速度。 设木块A的最终速度为v1,C滑离A时的速度为v2, (1)对A、B、C由动量守恒定律: m0v0=mAv1+(mB+m0)v, 解得v1=2.1m/s (2)当C滑离A后,对B、C由动量守恒定律: m0v2+mBv1=(mB+m0)v 解得v2=4m/s 15、两质量分别为M1和M2的劈A和B,高度相同,放在光滑水平面上,A和B的倾斜面都是光滑曲面,曲面下端与水平面相切,如图所示,一质量为m的物块位于劈A的倾斜面上,距水平面的高度为h。 物块从静止滑下,然后滑上劈B。 求物块在B上能够达到的最大高度。 设物块到达劈A的低端时,物块和A的的速度大小分别为 和V, 由机械能守恒得: ① 由动量守恒得: ② 设物块在劈B上达到的最大高度为 ,此时物块和B共同速度大小为 ,由机械能守恒得: ③ 由动量守恒 ④ 联立①②③④式得 16、如图所示,半径为R的光滑圆环轨道与高为10R的光滑斜面安置在同一竖直平面,两轨道之间由一条光滑水平轨道CD相连,在水平轨道CD上一轻质弹簧被两小球a、b夹住(不连接)处于静止状态,今同时释放两个小球,a球恰好能通过圆环轨道最高点A,b球恰好能到达斜面最高点B,已知a球质量为m,求释放小球前弹簧具有的弹性势能为多少? 解: a球过圆轨道最高点A时: 求出 a球从C运动到A,由机械能守恒定律: R 由以上两式得: b球从D运动到B,由机械能守恒定律 : 得: 以a球、b球为研究对象,由动量守恒定律: mva=mbvb 得: 弹簧的弹性势能 得: Eρ=7.5mgR 17、有一大炮竖直向上发射炮弹。 炮弹的质量为M=6.0kg(含炸药的质量可以忽略不计),射出的初速度v0=60m/s,当炮弹到达最高点时爆炸为沿水平方向运动的两片,其中一片质量为m=4.0kg。 现要求这一片不能落到以发射点为圆心、以R=600m为半径的圆周围,则刚爆炸完时两弹片的总动能至少多大? (g取10m/s2,忽略空气阻力) 炮弹爆炸时系统在水平方向不受外力,动量守恒: 0=mv1-(M-m)v2 由上抛运动规律知: h=v02/2g,t= 由平抛运动规律知: v1=R/t 由能量观点知: Ek=mv12/2+(M-m)v22/2解得Ek=6.0×104J 18、探究某种笔的弹跳问题时,把笔分为轻质弹簧、芯和外壳三部分,其中芯和外壳质量分别为m和4m.笔的弹跳过程分为三个阶段: ①把笔竖直倒立于水平硬桌面,下压外壳使其下端接触桌面(图a);②由静止释放,外壳竖直上升至下端距桌面高度为h1时,与静止的芯碰撞(图b);③碰后,芯与外壳以共同的速度一起上升到外壳下端距桌面最大高度为h2处(图c)。 设芯与外壳的撞击力远大于笔所受重力、不计摩擦与空气阻力,重力加速度为g。 求: (1)外壳与碰撞后瞬间的共同速度大小; (2)从外壳离开桌面到碰撞前瞬间,弹簧做的功;(3)从外壳下端离开桌面到上升至h2处,笔损失的机械能。 (1)设碰后共速为v2,则碰后机械能守恒: (4m+m)g(h2-h1)= (4m+m)v22-0,得 (2)设碰前外壳的速度为v1,则碰撞过程动量守恒: 4mv1=(4m+m)v2,将v2代入得 由动能定理 ,将v1代入得 (3)由能量守恒得: E损= (4m)v12- (4m+m)v22,将v1、v2 代入得 19、如图所示,水平传送带AB长L=8.3m,质量M=1kg的木块随传送带一起以v1=2m/s的速度向左运动(传送带的速度恒定不变),木块与传送带间的摩擦因数μ=0.5.当木块运动到传送带最左端A点时,一颗质量为m=20g的子弹以vo=300m/s水平向右的速度正对入射木块并穿出,穿出速度为v2=50m/s,以后每隔1s就有一颗子弹射向木块.设子弹与木块的作用时间极短,且每次射入点不同,g=10m/s2.求: (1)在木块被第二颗子弹击中前木块向右运动离A点的最大距离. (2)在被第二颗子弹击中前,子弹、木块、传送带这一系统所产生的热能是多少? (3)木块在传送带上最多能被多少颗子弹击中; (1)第一颗子弹射入木块过程中动量守恒mv0-MV1=mv2+MV1/ ① 解得: =3m/s ② 木块向右作减速运动加速度 m/s2 ③ 木块速度减小为零所用时间 ④解得t1 =0.6s<1s ⑤ 所以木块在被第二颗子弹击中前向右运动离A点最远时,速度为零,移动距离为 解得s1=0.9m. ⑥ (2)第一颗子弹击穿木块过程中产生的热量为: Q1= mv02+ Mv12- mv22- Mv1′2 木块向右减速运动过程中相对传送带的位移为: s′=v1t1+s1 产生的热量为Q2=μMgS′ 木块向左加速运动过程中相对传送带的位移为: s″=v1t2-S2 向左移动的位移为s2= at22=0.4m产生的热量为Q3=μMgS″ 在第二颗子弹击中前,系统产生的总能为: Q=Q1+Q2+Q3=872.5J+10.5J+2J=885.0J. (3)在第二颗子弹射中木块前,木块再向左做加速运动, 时间t2=1S-0.6S=0.4s 速度增大为v2=at2=2m/S(恰与传送带同速) 向左移动的位移为s2= at22=0.4m 所以两颗子弹射中木块的时间间隔,木块总位移: s0=s1-s2=0.5m,方向向右 第十六颗子弹击中前,木块向右移动的位移为: s=15s0=7.5m 第十六颗子弹击中后,木块将会再向右移动0.9m,总位移为 0.9m+7.5m=8.4m>8.3m,木块将从B端落下. 所以木块在传送带上最多能被十六颗子弹击中. 20、如图所示,光滑的水平面上有mA=2kg,mB=mC=1kg的三个物体,用轻弹簧将A与B连接.在A、C两边用力使三个物体靠近,A、B间的弹簧被压缩,此过程外力做功72J,然后从静止开始释放,求: (1)当物体B与C分离时,B对C做的功有多少? (2)当弹簧再次恢复到原长时,A、B的速度各是多大? 21、如图所示,一个带斜面的物体A静止在光滑的水平面上,它的质量为M=0.5kg.另一个质量为m=0.2kg的小物体B从高处自由下落,落到B的斜面上,下落高度为h=1.75m.与斜面碰撞后B的速度变为水平向右,碰撞过程中A、B组成的系统的机械能没有损失.(计算时取g=10m/s2) (1)碰后A、B的速度各多大? (2)碰撞过程中A、B的动量变化量各多大? 解: (1)我们规定向右为正方向,设碰后A的速度大小是vA, 水平方向动量守恒: MvA + mvB =0, 由能量守恒: mgh=mvB2/2+MvA2/2 vA=-mvB/M= -2m/svB=5m/s。 (负号表示方向向左) (2)碰撞过程中A的动量变化量是 ΔpA=MVA=-1kg·m/s,其中负号代表方向向左。 由于B的初、末动量不在同一直线上,根据平行四边形定则, 初动量大小为mv0= kg·m/s=1.2kg·m/s,方向竖直向下,末动量大小为mvB=1kg·m/s,方向水平向右, 动量变化量的大小为: ΔpB= kg·m/s=1.5kg·m/s, 方向斜向右上,与水平方向夹角为θ=arctan(v0/vB)=55.3° 22、质量为M的小车静止在光滑的水平面上,质量为m的小球用细绳吊在小车上O点,将小球拉至水平位置A点静止开始释放(如图所示),其中OA的长为L,求小球落至最低点时速度多大? (相对地的速度) 23、如图5-5所示,质量为M的天车静止在光滑轨道上,下面用长为L的细线悬挂着质量为m的沙箱,一颗质量为m0的子弹,以v0的水平速度射入沙箱,并留在其中,在以后运动过程中,求: 沙箱上升的最大高度 (1)子弹打入沙箱过程中动量守恒 摆动过程中,沙箱到达最大高度时系统有相同的速度,设为v 2 ,子弹、沙箱、天车系统水平方向动量守恒: 机械能守恒: 联系①②③可得 24、如图所示,坡道顶端距水平面高度为h,质量为m1的小物块A从坡道顶端由静止滑下,进入水平面上的滑道时无机械能损失,为使A制动,将轻弹簧的一端固定在水平滑道延长线M处的墙上,另一端与质量为m2的档板相连,弹簧处于原长时,B恰好位于滑道的末端O点。 A与B碰撞时间极短,碰撞后结合在一起共同压缩弹簧。 已知在OM段A、B与水平面间的动摩擦因数为μ,其余各处的摩擦不计,重力加速度为g,求 1) 物块A在档板B碰撞瞬间的速度v的大小; 2)弹簧最大压缩时为d时的弹性势能EP(设弹簧处于原长时弹性势能为零) 解: (1)由机械能守恒定律,有 ① ② (2)A、B在碰撞过程中力远大于外力, 由动量守恒: ③ A、B克服摩擦力所做的功 ④ 由能量守恒定律: ⑤ 解得 ⑥ 25、(2011\35.)(18分)如图所示,光滑水平面右端B处平滑连接一个壁光滑的竖直放置的半圆轨道,轨道半径比细管径大得多。 质量为M=0.09kg的小球(略小于细管径)静止在A点,一颗质量为m=0.01kg的子弹以V0=100m/s的水平速度从左边沿球心射入并留在小球中,已知轨道半径R=0.9m。 求: (1)子弹射入小球后的速度; (2)小球到达C点时的速度; (3)试通过计算判断在C点时轨道对小球弹力的方向? 26、(2012\35)(18分)两根足够长光滑的固定平行金属导轨位于同一水平面,两导轨间的距离为L,导轨上横放着两根导体棒ab和cd,构成矩形回路,如图所示。 两根导体棒的质量均为m,电阻均为R,回路中其余部分的电阻可不计,在ef右边导轨平面有竖直向上的匀强磁场,磁感应强度为B,开始时棒ab、cd均静止,棒ab在磁场外距离磁场为S,为使棒ab进入磁场时的速度为V0,可开始时给棒ab一水平向右的恒力,到ef时即撤掉恒力,已知两导体棒在运动中始终不接触,求: (1)水平恒力的大小? (2)求出 棒进入磁场时回路中感应电流的大小,并在 棒中标出电流的方向? (3)在运动中回路产生的焦耳热最多是多少? 28、(18分)如图,半径R=0.8m的四分之一圆弧形光滑轨道竖直放置,圆弧最低点D与长为L的水平面相切于D点,质量M=1.0kg的小滑块A从圆弧顶点C由静止释放,到达最低点D点后,与D点m=0.5kg的静止小物块B相碰,碰后A的速度变为vA=2.0m/s,仍向右运动.已知两物块与水平面间的动摩擦因数均为µ=0.1,A、B均可视为质点,B与E处的竖直挡板相碰时没有机械能损失,取g=10m/s2.求: (1)滑块A刚到达圆弧的最低点D时对圆弧的压力; (2)滑块B被碰后瞬间的速度; (3)要使两滑块能发生第二次碰撞,DE的长度L应满足的条件. 28(18分) 解: (1)设小滑块运动到D点的速度为v, 由机械能守恒定律有: MgR= Mv2(2分) 在D点,由牛顿第二定律有: F-Mg=M (2分) 联立得: F=30N(1分) 由牛顿第三定律,小滑块在D点时对圆弧的压力为30N(1分) (2)设B滑块被碰后的速度为vB,由动量守恒定律: Mv=MvA+mvB(3分)得: vB=4m/s(1分) (3)由于B物块的速度较大,如果它们能再次相碰一定发生在B从竖直挡板弹回后,假设两物块能运动到最后停止,达到最大的路程,则 对于A物块,由动能定理: (2分) 解得: SA=2m(1分) 对于B物块,由于B与竖直挡板的碰撞无机械能损失,由动能定理: (2分)解得: SB=8m(1分) 两滑块刚好第二次发生接触的条件2L=SA+SB=10m(1分) 要使两滑块能发生第二次碰撞L<5m(1分)
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