江苏高考数学压轴题含答案.docx

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江苏高考数学压轴题含答案

2016江苏高考数学压轴题（含答案）

2016江苏高考压轴卷

数学

注意事项：

1．本试卷共4页，包括填空题（第1题~第14题）、解答题（第15题~第20题）两部分．本试卷满分为160分，考试时间为120分钟．

2．答题前，请务必将自己的姓名、学校、班级、学号写在答题纸的密封线内．试题的答案写在答题纸上对应题目的答案空格内．考试结束后，交回答题纸．

参考公式：

锥体的体积公式：

V＝13Sh，其中S为锥体的底面积，h为锥体的高．

一、填空题（本大题共14小题，每小题5分，计70分．不需写出解答过程，请把答案写在题中横线上）

1.若集合，，则．

2.若复数（i为虚数单位）为纯虚数，则实数．

3.若原点和点在直线的异侧，则的取值范围是．

4.某射击选手连续射击5枪命中的环数分别为：

9.7，9.9，10.1，10.2，10.1，则这组数据的方差为

.

5.右图是一个算法流程图，则输出的的值为．

6.从2个红球，2个黄球，1个白球中随机取出两个球，则两球颜色不同的概率是.

7.若且是第二象限角，则.

8.正四棱锥的底面边长为，侧面积为，则它的体积为.

9.已知双曲线的一条渐近线的方程为，则该双曲线的离心率为.

10.不等式组所表示的区域的面积为.

11.已知外接圆的半径为2，圆心为，且，，则的值等于．

12.如图所示，三个边长为2的等边三角形有一条边在同一直线上，边上有10个不同的点，，…，，记（1，2，…，10），则．

13.在等差数列中，首项，公差，若某学生对其中连续10项进行求和，在遗漏掉一项的情况下，求得余下9项的和为185，则此连续10项的和为．

14.设关于的实系数不等式对任意恒成立，则．

二、解答题

15.（本小题满分14分）

（本大题满分14分）

如图，在△中，点在边上，，，，．

（1）求的长；

（2）求△的面积．

16.（本小题满分14分）

如图，在四棱锥P－ABCD中，底面ABCD为平行四边形，E为侧棱PA的中点．

（1）求证：

PC//平面BDE；

（2）若PC⊥PA，PD＝AD，求证：

平面BDE⊥平面PAB．

17.（本大题满分14分）

如图，，是海岸线，上的两个码头，海中小岛有码头到海岸线，的距离分别为，．测得，．以点为坐标原点，射线为轴的正半轴，建立如图所示的直角坐标系．一艘游轮以小时的平均速度在水上旅游线航行（将航线看作直线，码头在第一象限，航线经过）．

（1）问游轮自码头沿方向开往码头共需多少分钟？

（2）海中有一处景点（设点在平面内，，且），游轮无法靠近．求游轮在水上旅游线航行时离景点最近的点的坐标．

18.（本大题满分16分）

已知椭圆的右焦点为，且点在椭圆上．

（1）求椭圆的标准方程；

（2）过椭圆上异于其顶点的任意一点作圆的两条切线，切点分别为，（，不在坐标轴上），若直线在轴，轴上的截距分别为，，证明：

为定值；

（3）若，是椭圆上不同的两点，轴，圆过，，且椭圆上任意一点都不在圆内，则称圆为该椭圆的一个内切圆．试问：

椭圆是否存在过左焦点的内切圆？

若存在，求出圆心的坐标；若不存在，请说明理由．

19.已知函数．

（1）当时，求的单调减区间；

（2）若存在m0，方程恰好有一个正根和一个负根，求实数的最大值．

20.（本大题满分16分）

已知数列的通项公式为，其中，，．

（1）试写出一组，的值，使得数列中的各项均为正数；

（2）若，，数列满足，且对任意的（），均有，写出所有满足条件的的值；

（3）若，数列满足，其前项和为，且使（，，）的和有且仅有4组，，，…，中有至少个连续项的值相等，其它项的值均不相等，求，的最小值．

数学附加题

注意事项：

1．附加题供选修物理的考生使用．

2．本试卷共40分，考试时间30分钟．

3．答题前，考生务必将自己的姓名、学校、班级、学号写在答题纸的密封线内．试题的答案写在答题纸上对应题目的答案空格内．考试结束后，交回答题纸．

21．【选做题】在A、B、C、D四小题中只能选做2题，每小题10分，共计20分．请在答卷纸指定区域内作答．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．

A．选修4—1：

几何证明选讲（本小题满分10分）

如图，在Rt△ABC中，AB＝BC．以AB为直径的⊙O交AC于点D，过D作DEBC，垂足为E，连接AE交⊙O于点F．求证：

BECE＝EFEA．

B．[选修4—2：

矩阵与变换]（本小题满分10分）

已知矩阵，求矩阵的特征值和特征向量．

C．选修4—4：

坐标系与参数方程（本小题满分10分）

在极坐标系中，曲线C的极坐标方程为，以极点为坐标原点，极轴为轴的正半轴建立平面直角坐标系，直线的参数方程为（为参数），求直线被曲线所截得的弦长．

D．选修4—5：

不等式选讲（本小题满分10分）

设均为正数，且，求证：

．

【必做题】第22题、第23题，每题10分，共计20分．请在答卷卡指定区域内作答．解答应写出

文字说明、证明过程或演算步骤．

22．（本小题满分10分）

甲、乙两人投篮命中的概率分别为23与12，各自相互独立．现两人做投篮游戏，共比赛3局，每局每人各投一球．

（1）求比赛结束后甲的进球数比乙的进球数多1个的概率；

（2）设ξ表示比赛结束后甲、乙两人进球数的差的绝对值，求ξ的概率分布和数学期望E（ξ）．

23.（本小题满分10分）

若存在个不同的正整数，对任意，都有，则称这个不同的正整数为“个好数”．

（1）请分别对，构造一组“好数”；

（2）证明：

对任意正整数，均存在“个好数”．

答案与提示

一、填空题

1.2.3.4.0.0325.6.457.8.49.510.161.1212.18013.20014.9

解析：

11.如图，取BC中点D，联结AD，则，

又因为，所以O为BC的中点，

因为，所以是等边三角形，，

因为ABC外接圆的半径为2，所以，，

所以，故答案为12.

12.延长，，则，又，所以，即，则，则，故答案为180.

13.等差数列中的连续10项为，

遗漏的项为且则

，化简得，所以，，

则连续10项的和为，故答案为200.

14.令，

在同一坐标系下作出两函数的图像：

①如图

（1），当的在轴上方时，，，

但对却不恒成立；

②如图

（2），，令得，

令得，

要使得不等式在上恒成立，

只需，，.

综上，，故答案为9．

二、解答题

15.解：

（1）在△中，因为，设，则．

在△中，因为，，，

所以．

在△中，因为，，，

由余弦定理得．

因为，所以，

即．

解得．所以的长为5.

（2）由（Ⅰ）求得，．

所以，从而．

所以．

16.证明：

（1）连结AC，交BD于O，连结OE．

因为ABCD是平行四边形，所以OA＝OC．

因为E为侧棱PA的中点，所以OE∥PC．

因为PC/平面BDE，OE平面BDE，所以PC//平面BDE．

（2）因为E为PA中点，PD＝AD，所以PA⊥DE．

因为PC⊥PA，OE∥PC，所以PA⊥OE．

因为OE平面BDE，DE平面BDE，OE∩DE＝E，

所以PA⊥平面BDE．

因为PA平面PAB，所以平面BDE⊥平面PAB．

17.解：

（1）由已知得，直线的方程为，

设，由及图得，，

直线的方程为，即，

由得即，

，即水上旅游线的长为．

游轮在水上旅游线自码头沿方向开往码头共航行30分钟时间．

（2）解法一：

点到直线的垂直距离最近，则垂足为.

由

（1）知直线的方程为，

，则直线的方程为，

所以解直线和直线的方程组，得点的坐标为（1，5）．

解法2：

设游轮在线段上的点处，则，，

．

，，，

当时，离景点最近，代入得离景点最近的点的坐标为（1，5）.

18.解：

（1）由题意得，，所以

又点在椭圆上，所以解得

所以椭圆的标准方程为

（2）由

（1）知，设点

则直线的方程为①直线的方程为②

把点的坐标代入①②得所以直线的方程为

令得令得

所以又点在椭圆上，

所以即为定值．

（3）由椭圆的对称性，不妨设由题意知，点在轴上，

设点则圆的方程为

由椭圆的内切圆的定义知，椭圆上的点到点的距离的最小值是

设点是椭圆上任意一点，则

当时，最小，所以①

假设椭圆存在过左焦点的内切圆，则②

又点在椭圆上，所以③

由①②③得或

当时，不合题意，舍去，且经验证，符合题意.

综上，椭圆存在过左焦点的内切圆，圆心的坐标是

19.解：

（1）当时，

当时，，

由，解得，

所以的单调减区间为，

当时，，

由，解得或，

所以的单调减区间为，

综上：

的单调减区间为，．

（2）当时，，则，

令，得或，

x

0

+0－0+

↗极大值↘极小值↗

所以有极大值，极小值，

当时，

同

（1）的讨论可得，在上增，在上减，

在上增，在上减，在上增，

且函数有两个极大值点，

，

，

且当时，，

所以若方程恰好有正根，

则（否则至少有二个正根）．

又方程恰好有一个负根，则．

令，则，

所以在时单调减，即，

等号当且仅当时取到．

所以，等号当且仅当时取到．

且此时，

即，

所以要使方程恰好有一个正根和一个负根，的最大值为．

20.解：

（1）、（答案不唯一）．

（2）由题设，．

当，时，均单调递增，不合题意，因此，．

当时，对于，

当时，单调递减；当时，单调递增．

由题设，有，．

于是由及，可解得．

因此，的值为7，8，9，10，11．

（4）因为，且，

所以

因为（，，），所以、．

于是由，可得，进一步得，

此时，的四个值为，，，，因此，的最小值为．

又，，…，中有至少个连续项的值相等，

其它项的值均不相等，不妨设，于是有，

因为当时，，所以，

因此，，即的最小值为．

21．【选做题】

A．选修4—1：

几何证明选讲

证明：

连接BD．因为AB为直径，所以BD⊥AC．

因为AB＝BC，所以AD＝DC．

因为DEBC，ABBC，所以DE∥AB，

所以CE＝EB．

因为AB是直径，ABBC，所以BC是圆O的切线，

所以BE2＝EFEA，即BECE＝EFEA．

B．选修4—2：

矩阵与变换

解：

矩阵的特征多项式为，

由，解得，．

当时，特征方程组为

故属于特征值的一个特征向量.

当时，特征方程组为

故属于特征值的一个特征向量．

C．选修4—4：

坐标系与参数方程

解：

曲线C的直角坐标方程为，

圆心为，半径为，

直线的直角坐标方程为，

所以圆心到直线的距离为，

所以弦长．

D．选修4—5：

不等式选讲

因为x＞0，y＞0，x－y＞0，

，

=，

所以．

22．（本小题满分10分）

解：

（1）比赛结束后甲的进球数比乙的进球数多1个有以下几种情况：

甲进1球，乙进0球；甲进2球，乙进1球；甲进3球，乙进2球．

所以比赛结束后甲的进球数比乙的进球数多1个的概率

P＝C1323（13）2（12）3＋C23（23）2（13）C13（12）3＋C33（23）3C23（12）3＝1136．

（2）ξ的取值为0，1，2，3，所以ξ的概率分布列为

ξ0123

P724

1124

524

124

所以数学期望E（ξ）＝0×724＋1×1124＋2×524＋3×124＝1．分

23.（本小题满分10分）

解：

（1）当时，取数，，因为，

当时，取数，，，则，

，，即，，可构成三个好数．

（2）证：

①由

（1）知当时均存在，

②假设命题当时，存在个不同的正整数，其中，

使得对任意，都有成立，

则当时，构造个数，，（*）

其中，

若在（*）中取到的是和，则，所以成立，

若取到的是和，且，

则，由归纳假设得，

又，所以是A的一个因子，即，

所以，

所以当时也成立．

所以对任意正整数，均存在“个好数”.