专题一特殊的平行四边形.docx
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专题一特殊的平行四边形
专题一:
特殊的平行四边形矩形菱形正方形
一、学法指引
矩形菱形正方形是特殊的平行四边形,因此它们既具有平行四边形的一般性质,又具有自己的特殊性质,要求掌握各自的性质,判定,并能运用性质、判定解决相关问题
同时注意它们的包含与被包含的关系。
二、探究与思考
1)探究矩形的定义,性质,判定
①矩形的定义
矩形定义:
有一个角是直角的平行四边形叫做矩形
②矩形的特殊性质
因为平行四边形的对角相等,邻角互补,而矩形有一个角是直角,所以矩形的四个角都是直角
矩形性质1 矩形的四个角都是直角.
如图,在矩形ABCD中,AC、BD相交于点O,显然
△ABC≌△DCB,所以AC=BD,
矩形性质2 矩形的对角线相等.
直角三角形的性质:
直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半.
由性质2有AO=BO=CO=DO=
AC=
BD.因此可以得到直角三角形的一个性质:
直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半.
例1、已知:
如图,矩形ABCD的两条对角线相交于点O,∠AOB=60°,AB=4cm,求矩形对角线的长.
例2、已知:
如图,矩形ABCD中,AB长8cm,对角线比AD边长4cm.求AD的长及点A到BD的距离AE的长
例3、如图,四边形ABCD中,AC⊥BD于点O,EF∥AC∥HG,EH∥BD∥FG,点E、F、G、H分别在四边形的边上。
求证:
FH=EG
讲中练
1.填空:
(1)矩形的定义中有两个条件:
一是,二是.
(2)已知矩形的一条对角线与一边的夹角为30°,则矩形两条对角线相交所得的四个角的度数分别为、、、.
2.下列说法错误的是().
A、矩形的对角线互相平分B、矩形的对角线相等
C、有一个角是直角的四边形是矩形D、有一个角是直角的平行四边形叫做矩形
3.矩形的对角线把矩形分成的三角形中全等三角形一共有().
A、2对B、4对C、6对D、8对
4.已知矩形的一条对角线长为10cm,两条对角线的一个交角为120°,则矩形的边长分别为__________cm,cm,cm,cm.
5、如图,矩形ABCD中,AE⊥BD,垂足为E,∠DAE=3∠BAE,则∠BAE=,
∠EAC=。
6、已知如图,O是矩形ABCD对角线的交点,AE平分∠BAD,∠AOD=120°,求∠AEO的度数.
7、如图(a),在矩形ABCD中,两条对角线交于点O,∠AOD=120°,AB=4.求:
(1)矩形对角线长;
(2)BC边的长;(3)若过O垂直于BD的直线交AD于E,交BC于F(图4-31(b)).求证:
EF=BF,OF=CF;(4)如图4-31(c),若将矩形沿直线MN折叠,使顶点B与D重合,M,N交AD于M,交BC于N.求折痕MN长.
③矩形的判定:
判定一:
有一个角是90°的平行四边形
判定二:
有三个内角是直角的四边形
判定三:
对角线相等的平行四边形
由判定一、三可知要证明一个四边形是矩形,一般先证明它是平行四边形,再证明有一个角是直角。
例4、如图,在△ABC中,点D在AB上,且AD=CD=BD,DE、DF分别是∠BDC、∠ADC的平分线。
四边形FDEC是矩形吗?
为什么?
例5、如图,□ABCD的4个内角平分线围成的四边形PQRS是矩形吗?
为什么?
例6、如图,矩形ABCD的对角线AC、BD相交于点O,E、F、G、H分别是OA、OB、OC、OD的中点。
四边形EFGH是矩形吗?
为什么?
讲中练
1、正确的打“√”,错误的打“×”
(1)四个角相等的四边形是矩形()。
(2)对角线相等的四边形是矩形()。
(3)对角线互相平分且相等的四边形是矩形()。
(4)一组对边平行另一组对相等且对角线相等的四边形是矩形()。
2、四边形ABCD的对角线AC、BD相交于点O,下列条件中能识别它为矩形的是().
A、AO=CO,BO=DO,AB=BCB、AO=CO,BO=DO,AB=DC
C、AB∥CD,AD∥BC,AO=COD、AO=BO=CO=DO
3、【问题一】如图,四边形ABCD中,AB=
,BC=
,CD=6,且∠ABC=1350,∠BCD=1200,你知道AD的长吗?
【问题二】把矩形ABCD沿BD折叠至如上图所示的情形,请你猜想四边形ABDE是什么图形,并证明你的猜想。
4、如图,以△ABC的三边为边在BC的同一侧分别作三个等边三角形,即△ABD、△BCE、△ACF。
请回答下列问题(不要求证明):
(1)四边形ADEF是什么四边形?
(2)当△ABC满足什么条件时,四边形ADEF是矩形?
(3)当△ABC满足什么条件时,以A、D、E、F为顶点的四边形不存在
2)菱形,正方形
①菱形,正方形的定义、性质
菱形的定义:
一组邻边相等的平行四边形叫做菱形
正方形定义:
一组邻边相等的矩形叫正方形
菱形的性质:
1、四边都相等
2、对角线互相垂直平分D
正方形性质:
1、四边都相等
2、对角线相等且互相垂直平分
例7、如图在菱形ABCD中,∠BAD=2∠B,求∠B的度数,并说明△ABC是等边三角形。
例8、如图所示,正方形ABCD中,P是对角线BD上一点,PE⊥BC于E,PF⊥CD于F。
请猜想EF与PA的数量关系、位置关系,并说明理由。
②菱形,正方形的判定
例9、如图,矩形ABCD的对角线AC、BD相交于点O,作CF∥BC交AD的延长线于F,E是CF的中点,试说明四边形OCED是菱形。
例10、如图所示,在RtΔABC中,∠C=90°,∠A、∠B的平分线交于点D,DE⊥BC于E,DF⊥AC于F,试说明四边形CEDF为正方形。
拓展练习
一、填空题
1、一个菱形的周长等于20cm,菱形的一条对角线长为5cm,则菱形的四个内角分别是___。
2、如图所示,在边长为8的菱形ABCD中,∠DAB=60°,E为AB的中点,F是AC上一个动点,则EF+BF的最小值是__。
(2题图)(5题图)(7题图)(9题图)
3、正方形的对称轴有___条,它的对称中心是___。
4、正方形的边长为4cm,则周长为__,面积为___。
5、如图,正方形ABCD和正方形OEFG的边长均为4,O是正方形ABCD的旋转对称中心,则图中阴影部分的面积是__
6、已知:
矩形ABCD中,AB=2CB,点E中DC上,且AE=AB,则∠EBC=___。
7、如图所示,在正方形ABCD中,M是BC上一点,连结AM,作AM的垂直平分线GH交AB于G,交CD于H,若AM=10cm,则GH=__。
8、菱形的一个内角为120°,较短的对角线长为10cm,那么菱形的周长为___cm。
9、如图所示,把25个边长为1的小正方形拼成一个大正方形,A、B、C、D都是小正方形的顶点,则四边形ABCD的面积为___。
10、正方形ABCD中,对角线的长是10cm,点P是AB上任意一点,则点P到AC、BD的距离之和是___
二、选择题
1、同学们玩过万花筒,它是三块等宽、等长的玻璃片围成的。
如图所示的是看到的万花筒的一个图案,图中所有的小三角形均是全等的等边三角形,其中的菱形(四边相等)AEFG可以看成是把菱形ABCD以A为中心___得到的。
A、顺时针旋转60° B、逆时针旋转60° C、顺时针旋转120° D、逆时针旋转120°
(1题图)(6题图)(7题图)
2、在四边形ABCD中,O是对角线的交点,下列条件能判定这个四边形是正方形的是__。
A、AC=BD,AB∥CD,AB=CD B、AD∥BC,∠A=∠C
C、AO=BO=CO=DO,AC⊥BD D、AC=CO,BO=DO,AB=BC
3、正方形具有而菱形没有的性质是___。
A、对角线互相平分 B、每条对角线平分一组对角
C、对角线相等 D、对边相等
4、在正方形ABCD所在平面内找一点P,使P点与A、B、C、D中两点都连在一个等边三角形,那么这样的P点有__。
A、5个 B、12个 C、9个 D、15个
5、能判定一个四边形是菱形的条件是__。
A、对角线互相平分且相等 B、对角线互相垂直且相等 C、对角线互相垂直且两组对角相等 D、对角线互相垂直且一条对角线平分一组对角
6、如图所示,菱形ABCD的边长与正三角形AEF的边长相等,且E、F分别在BC、CD上,则∠BAD的度数是__。
A、80° B、90° C、100° D、120°
7、如图所示,以正方形ABCD中AD边为一边向外作等边ΔADE,则∠AEB=___。
A、10° B、15° C、20° D、12.5°
8、如图所示,在平行四边形ABCD中,AD=2DC,M、N分别在AB两边的延长线上,且有MA=AB=BN,则MC与DN的关系是__。
A、相等 B、垂直 C、垂直且相等 D、不能确定
(8题图)(9题图)
9、如图所示,在正方形ABCD中,H是BC延长线上一点,使CE=CH,连结DH,延长BE交DH于G,则下面结论错误的是__。
A、BE=DH B、∠H+∠BEC=90° C、BG⊥DH D、∠HDC+∠ABE=90°
能力升级
1、
已知:
如图所示,在正方形ABCD和正方形AEFG有一具公共顶点A,把正方形AEFG绕A点旋转到如图所示位置,连结DG、BE。
试说明:
DG=BE。
2、已知:
如图所示,在正方形ABCD中,E、F分别是AD、DC的交点,AF、BE交于点G,连结CG,试说明:
ΔCGB是等腰三角形。
3、已知:
如图所示,E、F分别是正方形的边BC、DC上的点,且∠EAF=45°,
求证:
BE+DF=EF
4、如图所示,在正方形ABCD中,M为AB上任意一点,MN⊥DM,BN平分∠CBE,
试说明:
MD=MN。
5、已知:
如图所示,ABCD是正方形,过B作BF∥AC,E是BF上一点,四边形AEFC是菱形,试说明:
∠FCA=5∠F。
6、如图所示,ABCD是正方形,AE∥DB,BE=BD,BE交AD于F,试说明:
ΔDEF是腰三角形。
7、如图①所示,已知正方形ABCD的对角线AC、BD相交于点O,E是AC上一点,过A作AG⊥EB,垂足为G,AG交BD于F,请说明OE=OF
对于上述命题,若点E在AC的延长线上,AG⊥EB交EB的延长线于点G,AG的延长线交DB的延长线于点F,其他条件不变,如图②所示,请你想一想,结论“OE=OF”还成立吗?
如果成立,请给予说明;如果不成立,请说明理由。
8、如图所示,点M是矩形ABCD的边AD的中点,点P是BC边上一动点,PE⊥MC,PF⊥BM,垂足分别为E、F。
①当矩形ABCD的长与宽满足什么条件时,四边形PEMF为矩形,请猜想并说明理由。
②在①中,当点P运动到什么位置时,矩形PEMF变为正方形?
为什么?
9、如图所示,在矩形ABCD中,AB=24cm,BC=12cm,点P沿AB边从点A开始向点B以2cm/s的速度移动,点Q沿DA边从点D开始向点A以1cm/s的速度移动。
如果P、Q同时出发,用t(s)表示移动时间(0≤t≤12),那么:
①当t为何值时,ΔQAP为等腰直角三角形;
②求出此时四边形QAPC的面积,并提出一个与计算结果有关的结论。
10、
如图所示,在□ABCD中,对角线AC的垂直平分线与AD、BC、AC分别交于E、F、O,试说明四边形AFCE是菱形。
11、如图所示,菱形ABCD中,E是AB的中点,DE⊥AB,AB=a,BE=h。
求:
①∠ABC的度数;②AC的长;③菱形ABCD的面积。
12、①如图所示,O是菱形ABCD对角线的交点,作DE∥AC,CE∥BD,DE、CE交于点E,四边形OCED是矩形吗?
说说你的理由。
②如图所示,O是矩形ABCD的对角线的交点,作DE∥AC,AE∥BD,DE、AE交于点E,四边形OAED是菱形吗?
13、已知:
如图所示,在
ABCD中,∠BAD的平分线与BC交于E,∠ABC的平分线交AD于F,AE、BF相交于O。
则四边形ABEF为菱形,请说明理由。
14、如图所示,边长为a的菱形ABCD中,∠DAB=60°,E是异于A、D的两点的动点,F是CD上的动点,满足AE+CF=a,试说明:
不论E、F怎样移动,三角形BEF总是正三角形。
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