高级宏观经济学讲义(南开大学 刘晓峰教授-罗默的教材).docx
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第二章
索洛经济增长模型
一、问题的提出
1.什么因素决定了经济增长?
2.经济增长的一般趋势是什么?
3.为什么国家或地区之间存在着收入差异?
4.穷国能否赶上富国?
二、生产函数
1.投入与产出的函数形式
其中,Y为产量,K为资本,L为劳动力,A为知识或劳动的有效性,t表示时间
注意:
AL为有效劳动,此种形式的技术进步为“劳动增进型”或“哈罗德中性”
思考:
如果知识进入的形式不是Y=F(K,AL)(哈罗德中性),而是Y=F(AK,L)(索洛中性)或Y=AF(K,L)(希克斯中性),结果会有何不同?
[只有劳动增进型技术进步被证明与稳态的存在相一致]
2.生产函数的特性假设
(1)规模报酬不变:
F(cK,cAL)=cF(K,AL),对于c≥0
含义:
经济足够大,专业化收益被穷尽;其他投入品(如自然资源)相对不重要
令c=1/AL,则
令有效劳动的人均资本k=K/AL,有效劳动人均产量y=Y/AL,则y=f(k),总产量Y=ALf(k)
(2)边际产品递减:
f(k)满足f(0)=0,f’(k)>0,f”(k)<0,f’(k)是资本的边际产品
【证明】
Y=ALf(k)两边分别对K、L求导数:
资本的边际产品为:
有效劳动的边际产品为:
(3)稻田条件:
一个满足上述条件假设的新古典生产函数图示
f(k)
k
一个特殊的生产函数:
C-D生产函数
,
思考:
试证明C-D生产函数满足3个特性假设。
3.生产投入品的变动
假设时间t是连续的(非离散的)
(1)劳动力的增长:
(2)知识的增长:
其中n为人口增长率,g为技术进步率,均为外生参数,表示不变增长速度
思考:
L,A为何种形式的增长方式?
(指数形式增长,证明)
(3)资本的增长:
其中s为储蓄率,为资本折旧率,均为外生变量
三、平衡增长路径
1.k的动态学
(1)k(t)的动态方程
已知,先做变换,两边取自然对数
对t求导数,得:
代入,有:
是索洛模型的基本微分方程,它表明是的方程。
含义说明:
人均实际投资用于两方面:
一是“资本的深化”,即,二是“资本的广化”(“持平投资”),即。
(2)稳态均衡
定义“稳态”:
一种其中各种数量都以不变速度增长的状况,即=0。
当>时,>0(储蓄大于投资)
当<时,<0(储蓄小于投资)
当=时,=0(储蓄等于投资),即实际投资与持平投资相等。
无论k从何处开始,它都收敛于k*。
(3)图示:
稳态均衡图示1
k*k
稳态均衡图示2
k*k
证明:
稳态均衡图示3(k的相图)
k*k
2.平衡增长路径
当k=k*时,模型中的各个变量将如何变动?
变量
含义
平衡增长速度
备注证明
绝
对
量
K
资本存量
n+g
k=K/AL
L
劳动力
n
A
知识或技术
g
AL
有效劳动
n+g
Y
总产出
n+g
F(cK,cAL)=cF(K,AL)
C
总消费
n+g
C=(1-s)Y
相
对
量
k(Y/AL)
有效劳动的平均资本
0
K/L
人均资本
g
y(Y/AL)
有效劳动的人均产出
0
y=f(k)=Y/AL
Y/L
人均产出
g
c(Y/AL)
有效劳动的人均消费
0
c=(1-s)f(k)
C/L
人均消费
g
K/Y
资本产出比
0
注意:
区分各变量(X)与时间(t)之间的变化关系,即X(t)、lnX(t)、[dX(t)/dt]/X(t)。
结论:
在索洛模型中,无论从任何一点出发,经济向平衡增长路径收敛,在平衡增长路径上,每个变量的增长率都是常数,且是外生决定的。
特别是,在该路径上,人均产出的增长率仅取决于技术进步率。
四、非均衡动态与收敛
考察两个非均衡问题:
(1)当经济增长处在非稳态时(k≠k*时)各变量如何向稳态调整?
(如何收敛?
)
(2)向稳态调整有多快?
(收敛的速度和时间?
)
1.非均衡动态
定义k的增长率,
当>时,>0;
当<时,<0。
非稳态动态图示1
增长率<0
增长率>0
k*k
非稳态动态图示2
增长率<0增长率<0
k*k
这表明k离k*越远,其增长率(正或负)越大,即。
(思考:
这意味着什么样的理论预测?
与现实是否相符?
)
接下来,可以证明索洛模型中的其他变量X的非均衡动态增长率()与保持比例或线形关系,例如:
因此,对k的非均衡动态分析可以同样适用于X,即。
结论(索洛模型的收敛性):
每个经济都收敛于其自身的稳态,而且这一收敛的速度与其离稳态的距离成反比,或者说,经济离其自身的稳态值越远,其增长率就越快。
2.绝对收敛与相对收敛
对索洛模型的收敛性的实证检验(样本的同质性与异质性),产生绝对收敛与相对收敛的概念。
条件收敛的图示:
k(0)poork*poork(0)richk*richk
含义:
当穷国人均初始资本存量较小,而富国的储蓄率较高时,富国会比穷国有更高的增长率。
因此,一旦控制了稳态的决定的情况下,条件收敛将成立。
3.收敛的速度
考察收敛的速度的意义在于如果收敛的速度很快,就集中研究稳态情况,如果收敛的速度很缓慢,研究动态过程就更有意义。
关键在考察k以多快的速度趋近k*。
由平衡增长的条件可知:
,在k=k*处对作一阶泰勒级数近似,可得:
因此
含义:
在平衡增长路径上,k向k*收敛的速度与k与k*之间的距离成比例。
令,“收敛系数”,则,所以x的路径为(指数增长),即:
可以证明,。
举例:
假设,=1/3,则(表示k和y向k*和y*每年移动剩余距离的4%),因此走完平衡增长路径距离(即消除与初始收入差距)的一半约需18年时间。
证明:
,
五、黄金分割律、最优消费和黄金率资本存量水平
产出、储蓄和消费的关系:
有效劳动的平均消费
令c=c*(处在平衡增长路径上),则:
由于=,
所以,
目标为人均消费最大化,令,则,即为最优消费的一阶条件,该为黄金资本存量水平,最优消费,这被称为“黄金分割律”。
图示:
cgold
k*goldk
再考虑储蓄率s变化对消费c*的影响。
由平衡增长路径的稳定条件可知:
,由此两边对s求导,有:
>0,因此的符号决定于与的大小。
当,>,>0
当,<,<0
因此s与c*的关系为:
c*
cgold
sgolds
六、储蓄率变动的影响
下面考察政策控制变量s的变动的影响,包括:
(1)对稳态均衡的影响;
(2)两个稳态均衡之间的动态路径;
(3)对长期增长的影响程度;
(4)对长期增长的影响持续时间。
1.储蓄率变化的比较静态均衡
图示1
k*k*’k
图示2
k*k*’k
2.储蓄率变化的动态影响
(1)对k的影响:
先增加,并逐步收敛于新的更高水平。
k
t
思考:
s与k的动态变化有何不同?
(2)对Y/L的影响:
先暂时性的增加,但随后收敛于原来的平衡增长速度。
思考:
如何证明?
提示:
Y/L=Af(k)。
Y/L增长率
t
ln(Y/L)
t
思考:
储蓄率变动对K、Y、K/Y的动态影响如何?
结论:
(1)储蓄率的变化只会暂时性地影响增长率,而不会永久性地影响。
或者说,储蓄率的变化只有水平效应,而没有增长效应。
(2)只有技术进步率的变化有增长效应。
(3)政策含义:
投入驱动的增长不会持续。
3.储蓄率变化对产出的长期影响
考察储蓄率s变化对有效劳动人均产出y的影响(弹性分析)。
由可知:
由平衡增长的条件得到:
两边对s求导数,
解得:
则
两边同乘s/y*,并用代换s,得到:
定义为k=k*处的产出的资本弹性,它也是资本收入占总收入的份额。
(思考:
为什么?
)
因此,为产出的储蓄率弹性。
举例:
设=1/3,则=1/2,当储蓄率增加10%时,人均产出长期内仅变化5%。
结论:
储蓄率的显著变化对平衡增长路径上的产出变化只有较小的影响。
4.储蓄率变化的影响时间
注意“收敛系数”与s无关。
前例:
假设,=1/3,则(表示k和y向k*和y*每年移动剩余距离的4%),因此走完平衡增长路径距离的一半约需18年时间。
因此,当储蓄率增加10%时,人均产出长期内仅变化5%。
第1年增长0.04(5%)=0.2%,18年后增长0.5(5%)=2.5%。
结论:
储蓄率变化对人均产出变化的作用较缓慢。
七、对索洛模型的总结和评论
1.主要结论
(1)无论从任何一点出发,经济向平衡增长路径收敛,在平衡增长路径上,每个变量的增长率都是常数。
(2)在其他外生变量相似的条件下,人均资本低的经济有更快的人均资本的提高,人均收入低的经济有更高的增长率。
(3)人均产出(Y/L)的增长来源于人均资本存量和技术进步,但只有技术进步才能够导致人均产出的永久性增长。
(4)通过调节储蓄率可以实现人均最优消费和最优资本存量的“黄金律”增长。
(5)储蓄率的变化只会暂时性地影响增长率,而不会永久性地影响;储蓄率的显著变化对平衡增长路径上的产出变化只有较小的影响,且作用缓慢。
2.批评
(1)未能够解释长期经济增长的真正来源。
把技术进步(劳动的有效性)看成为外生给定的,而这恰恰是长期经济增长的关键。
因此,索洛模型是通过“假定的增长”来解释增长的。
(2)理论预测与实际数据不符。
如果资本取得的市场收益大致体现了其对产出
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