小学奥数教程最完美.docx
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小学奥数教程最完美.docx
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小学奥数教程最完美
Documentnumber【AA80KGB-AA98YT-AAT8CB-2A6UT-A18GG】
小学奥数教程最完美
1.和差倍问题
【和差问题】【和倍问题】【差倍问题】
已知条件几个数的和与差几个数的和与倍数几个数的差与倍数
公式适用范围已知两个数的和,差,倍数关系
公式?
①(和-差)÷2=较小数较小数+差=较大数和-较小数=较大数
②(和+差)÷2=较大数较大数-差=较小数和-较大数=较小数
和÷(倍数+1)=小数小数×倍数=大数和-小数=大数
差÷(倍数-1)=小数小数×倍数=大数小数+差=大数
关键问题求出同一条件下的和与差和与倍数差与倍数
2.年龄问题的三个基本特征:
①两个人的年龄差是不变的;
②两个人的年龄是同时增加或者同时减少的;
③两个人的年龄的倍数是发生变化的;
3.归一问题的基本特点:
问题中有一个不变的量,一般是那个“单一量”,题目一般用“照这样的速度”……等词语来表示。
关键问题根据题目中的条件确定并求出单一量;
4.植树问题
基本类型?
①在直线或者不封闭的曲线上植树,两端都植树;
②在直线或者不封闭的曲线上植树,两端都不植树;
③在直线或者不封闭的曲线上植树,只有一端植树;④封闭曲线上植树。
基本公式棵数=段数+1?
棵距×段数=总长
棵数=段数-1?
棵距×段数=总长
棵数=段数棵距×段数=总长
关键问题确定所属类型,从而确定棵数与段数的关系
5.鸡兔同笼问题
基本概念鸡兔同笼问题又称为置换问题、假设问题,就是把假设错的那部分置换出来;
基本思路
①假设,即假设某种现象存在(甲和乙一样或者乙和甲一样):
②假设后,发生了和题目条件不同的差,找出这个差是多少;
③每个事物造成的差是固定的,从而找出出现这个差的原因;
④再根据这两个差作适当的调整,消去出现的差。
基本公式
①把所有鸡假设成兔子:
鸡数=(兔脚数×总头数-总脚数)÷(兔脚数-鸡脚数)
②把所有兔子假设成鸡:
兔数=(总脚数一鸡脚数×总头数)÷(兔脚数一鸡脚数)
关键问题找出总量的差与单位量的差。
6.盈亏问题
基本概念一定量的对象,按照某种标准分组,产生一种结果:
按照另一种标准分组,又产生一种结果,由于分组的标准不同,造成结果的差异,由它们的关系求对象分组的组数或对象的总量.
基本思路先将两种分配方案进行比较,分析由于标准的差异造成结果的变化,根据这个关系求出参加分配的总份数,然后根据题意求出对象的总量.
基本题型
①一次有余数,另一次不足;基本公式:
总份数=(余数+不足数)÷两次每份数的差
②当两次都有余数;基本公式:
总份数=(较大余数一较小余数)÷两次每份数的差
③当两次都不足;基本公式:
总份数=(较大不足数一较小不足数)÷两次每份数的差
基本特点对象总量和总的组数是不变的。
关键问题确定对象总量和总的组数。
7.牛吃草问题
基本思路假设每头牛吃草的速度为“1”份,根据两次不同的吃法,求出其中的总草量的差;再找出造成这种差异的原因,即可确定草的生长速度和总草量。
基本特点原草量和新草生长速度是不变的;
关键问题确定两个不变的量。
基本公式生长量=(较长时间×长时间牛头数-较短时间×短时间牛头数)÷(长时间-短时间);总草量=较长时间×长时间牛头数-较长时间×生长量;
8.周期循环与数表规律
周期现象事物在运动变化的过程中,某些特征有规律循环出现。
周期我们把连续两次出现所经过的时间叫周期。
关键问题确定循环周期。
闰年一年有366天;①年份能被4整除;②如果年份能被100整除,则年份必须能被400整除;
平年一年有365天;①年份不能被4整除;②如果年份能被100整除,但不能被400整除;
9.平均数
基本公式?
①平均数=总数量÷总份数总数量=平均数×总份数总份数=总数量÷平均数
②平均数=基准数+每一个数与基准数差的和÷总份数
基本算法?
①求出总数量以及总份数,利用基本公式①进行计算.
②基准数法:
根据给出的数之间的关系,确定一个基准数;一般选与所有数比较接近的数或者中间数为基准数;以基准数为标准,求所有给出数与基准数的差;再求出所有差的和;再求出这些差的平均数;最后求这个差的平均数和基准数的和,就是所求的平均数,具体关系见基本公式②。
10.抽屉原理
抽屉原则一如果把(n+1)个物体放在n个抽屉里,那么必有一个抽屉中至少放有2个物体。
例:
把4个物体放在3个抽屉里,也就是把4分解成三个整数的和,那么就有以下四种情况:
①4=4+0+0?
②4=3+1+0?
③4=2+2+0?
④4=2+1+1
观察上面四种放物体的方式,我们会发现一个共同特点:
总有那么一个抽屉里有2个或多于2个物体,也就是说必有一个抽屉中至少放有2个物体。
抽屉原则二如果把n个物体放在m个抽屉里,其中n>m,那么必有一个抽屉至少有:
①k=[n/m]+1个物体:
当n不能被m整除时。
②k=n/m个物体:
当n能被m整除时。
理解知识点?
[X]表示不超过X的最大整数。
例:
4.351]=4;[0.321]=0;[2.9999]=2;
关键问题构造物体和抽屉。
也就是找到代表物体和抽屉的量,而后依据抽屉原则进行运算。
11.定义新运算
基本概念定义一种新的运算符号,这个新的运算符号包含有多种基本(混合)运算。
基本思路严格按照新定义的运算规则,把已知的数代入,转化为加减乘除的运算,然后按照基本运算过程、规律进行运算。
关键问题正确理解定义的运算符号的意义。
注意事项?
①新的运算不一定符合运算规律,特别注意运算顺序;
②每个新定义的运算符号只能在本题中使用。
12.数列求和
等差数列在一列数中,任意相邻两个数的差是一定的,这样的一列数,就叫做等差数列。
基本概念?
首项:
等差数列的第一个数,一般用表示;
项数:
等差数列的所有数的个数,一般用n表示;
公差:
数列中任意相邻两个数的差,一般用d表示;
通项:
表示数列中每一个数的公式,一般用an表示;
数列的和:
这一数列全部数字的和,一般用sn表示.
基本思路等差数列中涉及五个量:
a1,an,d,n,sn,,通项公式中涉及四个量,如果己知其中三个,就可求出第四个;求和公式中涉及四个量,如果己知其中三个,就可以求这第四个。
基本公式通项公式:
an=+(n-1)d;通项=首项+(项数一1)?
×公差;
数列和公式:
sn=(a1+an)×n÷2;数列和=(首项+末项)×项数÷2;
项数公式:
n=(an-a1)÷d+1;项数=(末项-首项)÷公差+1;
公差公式:
d=(an-a1?
)÷(n-1);公差=(末项-首项)÷(项数-1);
关键问题确定已知量和未知量,确定使用的公式;
13.二进制及其应用
十进制用0~9十个数字表示,逢10进1;不同数位上的数字表示不同的含义,十位上的2表示20,百位上的2表示200。
所以234=200+30+4=2×100+3×10+4。
二进制用0~1两个数字表示,逢2进1;不同数位上的数字表示不同的含义。
十进制化成二进制?
①根据二进制满2进1的特点,用2连续去除这个数,直到商为0,然后把每次所得的余数按自下而上依次写出即可。
?
②先找出不大于该数的2的n次方,再求它们的差,再找不大于这个差的2的n次方,依此方法一直找到差为0,按照二进制展开式特点即可写出。
14.加法、乘法原理和几何计数
加法原理如果完成一件任务有n类方法,在第一类方法中有m1种不同方法,在第二类方法中有m2种不同方法,……,在第n类方法中有mn种不同方法,那么完成这件任务共有:
m1+m2+......+mn?
种不同的方法。
关键问题确定工作的分类方法。
基本特征每一种方法都可完成任务。
乘法原理如果完成一件任务需要分成n个步骤进行,做第1步有m1种方法,不管第1步用哪一种方法,第2步总有m2种方法……不管前面n-1步用哪种方法,第n步总有mn?
种方法,那么完成这件任务共有:
m1×?
m2×.......?
×mn?
种不同的方法。
关键问题确定工作的完成步骤。
基本特征每一步只能完成任务的一部分。
直线一点在直线或空间沿一定方向或相反方向运动,形成的轨迹。
直线特点:
没有端点,没有长度。
线段直线上任意两点间的距离。
这两点叫端点。
线段特点:
有两个端点,有长度。
射线把直线的一端无限延长。
射线特点:
只有一个端点;没有长度。
①数线段规律:
总数=1+2+3+…+(点数一1);
②数角规律=1+2+3+…+(射线数一1);
③数长方形规律:
个数=长的线段数×宽的线段数:
④数长方形规律:
个数=1×1+2×2+3×3+…+行数×列数
15.质数与合数
质数一个数除了1和它本身之外,没有别的约数,这个数叫做质数,也叫做素数。
合数一个数除了1和它本身之外,还有别的约数,这个数叫做合数。
质因数如果某个质数是某个数的约数,那么这个质数叫做这个数的质因数。
分解质因数把一个数用质数相乘的形式表示出来,叫做分解质因数。
通常用短除法分解质因数。
任何一个合数分解质因数的结果是唯一的。
分解质因数的标准表示形式?
N=a1^r1×a2^r2×a3^r3×......×an^rn,其中a1、a2、a3……an都是合数N的质因数,且a1 求约数个数的公式? P=(r1+1)×(r2+1)×(r3+1)×……×(rn+1) 互质数如果两个数的最大公约数是1,这两个数叫做互质数。 16.约数与倍数 约数和倍数若整数a能够被b整除,a叫做b的倍数,b就叫做a的约数. 公约数几个数公有的约数,叫做这几个数的公约数;其中最大的一个,叫做这几个数的最大公约数。 最大公约数的性质? ①几个数都除以它们的最大公约数,所得的几个商是互质数。 ②几个数的最大公约数都是这几个数的约数。 ③几个数的公约数,都是这几个数的最大公约数的约数。 ④几个数都乘以一个自然数m,所得的积的最大公约数等于这几个数的最大公约数乘以m。 例如: 12的约数有1、2、3、4、6、12; 18的约数有: 1、2、3、6、9、18; 那么12和18的公约数有: 1、2、3、6; 那么12和18最大的公约数是: 6,记作(12,18)=6; 求最大公约数基本方法 ①分解质因数法: 先分解质因数,然后把相同的因数连乘起来。 ②短除法: 先找公有的约数,然后相乘。 ③辗转相除法: 每一次都用除数和余数相除,能够整除的那个余数,就是所求的最大公约数。 公倍数几个数公有的倍数,叫做这几个数的公倍数;其中最小的一个,叫做这几个数的最小公倍数。 例如: 12的倍数有: 12、24、36、48……; 18的倍数有: 18、36、54、72……; 那么12和18的公倍数有: 36、72、108……; 那么12和18最小的公倍数是36,记作[12,18]=36; 最小公倍数的性质? ①两个数的任意公倍数都是它们最小公倍数的倍数。 ②两个数最大公约数与最小公倍数的乘积等于这两个数的乘积。 求最小公倍数基本方法? ①短除法求最小公倍数; ②分解质因数的方法 17.数的整除 基本概念和符号 整除如果一个整数a,除以一个自然数b,得到一个整数商c,而且没有余数,那么叫做a能被b整除或b能整除a,记作b|a。 常用符号整除符号“|”,不能整除符号“”;因为符号“∵”,所以的符号“∴”; 整除判断方法 ①能被2、5整除: 末位上的数字能被2、5整除。 ②能被4、25整除: 末两位的数字所组成的数能被4、25整除。 ③能被8、125整除: 末三位的数字所组成的数能被8、125整除。 ④能被3、9整除: 各个数位
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