江苏省南通基地高考数学密卷理 2.docx

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江苏省南通基地高考数学密卷理2

江苏省南通基地2018年高考数学密卷

（2）理

第Ⅰ卷（必做题，共160分）

一、填空题：

本大题共14小题，每小题5分，共70分．

1．已知集合A={1，4}，B={}，则A∩B=▲．

2．设复数（为虚数单位），则的共轭复数为▲．

3．函数的定义域为▲．

4．阅读下面的伪代码，由这个算法输出的结果为▲．

5．如图是甲、乙两位同学在5次数学测试中得分的茎叶图，则成绩较稳定（方差较小）

的那一位同学的方差为▲．

6．将黑白2个小球随机放入编号为1，2，3的三个盒子中，则黑白两球均不在1号盒子

的概率为▲．

7．在平面直角坐标系xOy中，将函数的图象向右平移个单位得到的图象，则的值为▲．

8．在平面直角坐标系中，双曲线的一条渐近线与准线的交点到另一条渐近线的距离为▲．

9．若，则的值为▲．

10．已知函数f（x）是定义在R上的偶函数，且对于任意的x∈R都有f（x+4）=f（x）+f

（2），

f

（1）=4，则f（3）+f（10）的值为▲．

11．已知为数列{an}的前n项和，且，，则{an}的首项的所有可能值为▲．

12．在平面直角坐标系中，已知直线与圆交于A，B两点，为轴上一动点，则△ABP周长的最小值为▲．

13．已知函数记，若，则实数的取值范围为▲．

14．若△ABC中，AB=，BC=8，45°，D为△ABC所在平面内一点且满足

，则AD长度的最小值为▲．

二、解答题：

本大题共6小题，共90分．请在答题卡指定区域内作答.解答时应写出文字

说明、证明过程或演算步骤．

15．（本小题满分14分）

如图，在△ABC中，为所对的边，CD⊥AB于D，且．

（1）求证：

；

（2）若，求的值．

16．（本小题满分14分）

在正四棱锥中，E，F分别为棱VA，VC的中点．

（1）求证：

EF∥平面ABCD；

（2）求证：

平面VBD⊥平面BEF．

17．（本小题满分14分）

如图所示的某种容器的体积为90cm3，它是由圆锥和圆柱两部分连接而成，圆柱与圆锥的底面半径都为rcm．圆锥的高为h1cm，母线与底面所成的角为；圆柱的高为

h2cm．已知圆柱底面的造价为2a元/cm2，圆柱侧面造价为a元/cm2，圆锥侧面造价为a元/cm2．

（1）将圆柱的高h2表示为底面半径r的函数，并求出定义域；

（2）当容器造价最低时，圆柱的底面半径r为多少？

18．（本小题满分16分）

已知在平面直角坐标系中，椭圆C：

离心率为，其短轴

长为2．

（1）求椭圆C的标准方程；

（2）如图，A为椭圆C的左顶点，P，Q为椭圆C上两动点，直线PO交AQ于E，

直线QO交AP于D，直线OP与直线OQ的斜率分别为，，且，

，（为非零实数），求的值．

19．（本小题满分16分）

设数列的前n项和为，已知，（）．

（1）求证：

数列为等比数列；

（2）若数列满足：

，．

①求数列的通项公式；

②是否存在正整数n，使得成立？

若存在，求出所有n的值；若不

存在，请说明理由．

20．（本小题满分16分）

已知函数，．

（1）当时，

①若曲线与直线相切，求c的值；

②若曲线与直线有公共点，求c的取值范围．

（2）当时，不等式对于任意正实数x恒成立，当c取得

最大值时，求a，b的值．

2018年高考模拟试卷

（2）

数学Ⅱ（附加题）

21．【选做题】本题包括A、B、C、D四小题，请选定两题，并在相应的答题区域内作答．

A．[选修4—1：

几何证明选讲]（本小题满分10分）

如图，ABCD为圆内接四边形，延长两组对边分别交于点E，F．M，N为AB，CD

上两点，EM＝EN，点F在MN的延长线上．求证：

∠BFM＝∠AFM．

B．[选修4—2：

矩阵与变换]（本小题满分10分）

已知在二阶矩阵对应变换的作用下，四边形变成四边形，其中

，，，，，．

（1）求矩阵；

（2）求向量的坐标．

C．[选修4—4：

坐标系与参数方程]（本小题满分10分）

以平面直角坐标系的原点为极点，x轴的正半轴为极轴，建立极坐标系，两种坐标系中

取相同的长度单位．已知直线l的参数方程是

（t为参数），圆C的极坐标方

程是ρ＝4cosθ，求直线l被圆C截得的弦长．

D．[选修4—5：

不等式选讲]（本小题满分10分）

已知x>0，y>0，z>0，，求证：

．

【必做题】第22题、第23题，每题10分，共计20分．请在答卷纸指定区域内作答．

22．（本小题满分10分）

某同学理科成绩优异，今年参加了数学，物理，化学，生物4门学科竞赛．已知该同

学数学获一等奖的概率为，物理，化学，生物获一等奖的概率都是，且四门学科

是否获一等奖相互独立．

（1）求该同学至多有一门学科获得一等奖的概率；

（2）用随机变量表示该同学获得一等奖的总数，求的概率分布和数学期望．

23．（本小题满分10分）

已知函数，记，当．

（1）求证：

在上为增函数；

（2）对于任意，判断在上的单调性，并证明．

2018年高考模拟试卷

（2）参考答案

一、填空题：

本大题共14小题，每小题5分，共70分．

1．{1}【解析】依题意，A∩B={1}

2．【解析】由于，所以的共轭复数为．

3．【解析】由，解得．

4．36【解析】，，输出的结果．

5．【解析】由茎叶图可知，，

所以甲的方差为；同理乙的方差为，所以比较稳定的是甲．

6．【解析】所有等可能的基本事件总数为种，“黑白两球均不在1号盒子”

有种，所以概率为．

7．【解析】，所以．

8．【解析】一条渐近线与右准线的交点为，其到另一条渐近线的距离为．

9．【解析】由，得．

10．4【解析】令f（x+4）=f（x）+f

（2）中x=2，得f

（2）=f

（2）+f

（2），所以f

（2）=0，

又因为f（x）是定义在R上的偶函数，所以f

（2）=0，所以f（x+4）=f（x），

所以f（x）是周期为4的周期函数，所以f（3）+f（10）=f

（1）+f

（2）=f

（1）+0=4．

11．【解析】因为，所以，

所以，，…，，

将以上各式相加，得，

又，所以，获解．

12．14【解析】设直线l与圆C的一个交点B（5，5）关于x轴的

对称点为，易知B恰为圆C的直径，记A与x轴

交于点Q，则，

所以△ABP的周长的最小值为，易求得结果为14.

13．【解析】条件可转化为函数

在上存在零点，

所以方程有根，

所以函数的图象

有交点的横坐标在上，

注意到函数的图象为顶点（a，2a）在直线y=2x上移动的折线，

再考虑临界位置不难求解．

14．【解析】建立如图所示的平面直角坐标系，由题意，，，

设，所以，，，

所以，

即，令，则，所以mn=4，

所以

．

当且仅当5m=n=时，AD取得最小值．

二、解答题：

本大题共6小题，共90分．

15．（本小题满分14分）

（1）证明：

因为，

所以，……3分

由正弦定理，得，

所以．……6分

（2）解：

由

（1）得，，……8分

所以，

化简，得．……10分

又，所以，所以，，……12分

所以．……14分

16．（本小题满分14分）

（1）因为E，F分别为棱VA，VC的中点，

所以EF∥AC，……3分

又因为，，

所以EF∥平面ABCD．……6分

（2）连结，交于点，连结．

因为为正四棱锥，

所以．

又，所以．……8分

又因为，EF∥AC，

所以EF⊥VO，EF⊥BD．……10分

又，，

所以，……12分

又，所以平面VBD⊥平面BEF．……14分

17．（本小题满分14分）

（1）解：

因为圆锥的母线与底面所成的角为，所以，

圆锥的体积为，圆柱的体积为．……2分

因为，所以，

所以．……4分

因为，所以．因此．

所以，定义域为．……6分

（2）圆锥的侧面积，

圆柱的侧面积，底面积．……8分

容器总造价为

．……10分

令，则．令，得．

当时，，在上为单调减函数；

当时，，在上为单调增函数．

因此，当且仅当时，有最小值，y有最小值90元．……13分

所以，总造价最低时，圆柱底面的半径为3cm．……14分

18．（本小题满分16分）

（1）解：

因为短轴长2b=2，所以b=1，……2分

又离心率，所以，……4分

所以，所以，

所以椭圆C的标准方程为．……6分

（2）由

（1），点A，设，

则

因为，所以，……8分

由①得，，由②得，，

所以，……11分

两边同时乘以k1得，，

所以，，

代入椭圆的方程得，，……14分

同理可得，，

所以．……16分

19．（本小题满分16分）

（1）解：

由，得（），

两式相减，得，即（）．……2分

因为，由，得，所以，

所以对任意都成立，

所以数列为等比数列，首项为1，公比为2．……4分

（2）①由

（1）知，，

由，得，……6分

即，即，

因为，所以数列是首项为1，公差为1的等差数列．……8分

所以，

所以．……10分

②设，

则，

所以，

两式相减，

得，

所以．……12分

由，得，即．

显然当时，上式成立，

设（），即．

因为，

所以数列单调递减，

所以只有唯一解，

所以存在唯一正整数，使得成立．……16分

20．（本小题满分16分）

（1）解：

当时，，所以．

①设切点为，则……2分

由②③得，

由①得代入④得，

所以．……4分

②由题意，得方程有正实数根，

即方程有正实数根，

记，令，

当时，；当时，；

所以在上为减函数，在上为增函数；

所以．……6分

若，则，不合；

若，由①知适合；

若，则，又，

所以，由零点存在性定理知在上必有零点．

综上，c的取值范围为．……9分

（2）由题意得，当时，对于任意正实数x恒成立，

所以当时，对于任意正实数x恒成立，

由

（1）知，，

两边同时乘以x得，①，

两边同时加上得，②，

所以（*），当且仅当时取等号．

对（*）式重复以上步骤①②可得，，

进而可得，，，……，

所以当，时，，当且仅当时取等号．

所以．……12分

当取最大值1时，对于任意正实数x恒成立，

令上式中得，，所以，

所以对于任意正实数x恒成立，

即对于任意正实数x恒成立，

所以，所以函数的对称轴，

所以，即，所以，．……14分

又由，两边同乘以x2得，，

所以当，时，也恒成立，

综上，得，．……16分

数学Ⅱ（附加题）

21．【选做题】本题包括A、B、C、D四小题，请选定其中两题，并在相应的答题区域内

作答．若多做，则按作答的前两题评分．解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤．

A．[选修4—1：

几何证明选讲]（本小题满分10分）

证明：

因为EM＝EN，所以∠EMN＝∠ENM，……3分

因为ABCD为圆内接四边形，所以∠FCN＝∠A，……6分

又因为∠EMN＝∠AFM＋∠A，

∠ENM＝∠BFM＋∠FCN，

所以∠AFM＝∠BFM．……10分

B．[选修4—2：

矩阵与变换]（本小题满分10分）

（1）解：

设，

则有，……2分　

故解得，所以．……5分

（2）由，知，

易求，……7分

由，得，所以．……10分

C．[选修4—4：

坐标系与参数方程]（本小题满分10分）

解：

直线l的参数方程

（t为参数）化为直角坐标方程是y＝x－3，……2分

圆C的极坐标方程ρ＝4cosθ化为直角坐标方程是x2＋y2－4x＝0．……5分

圆C的圆心（2，0）到直线x－y－3＝0的距离为d＝

＝．……7分

又圆C的半径r＝2，

所以直线l被圆C截得的弦长为2

＝

．……10分

D．[选修4—5：

不等式选讲]（本小题满分10分）

证明：

因为，……5分

所以，

又因为，

所以．……10分

【必做题】第22、23题，每小题10分，共计20分．请在答题卡指定区域内作答，解答时

应写出文字说明、证明过程或演算步骤．

22．（本小题满分10分）

（1）解：

记“该同学获得个一等奖”为事件，，

则，

，

所以该同学至多有一门学科获得一等奖的概率为

．……4分

（2）随机变量的可能取值为0，1，2，3，4，

，，

，

，

，

所以的概率分布为

故．……10分

23．（本小题满分10分）

（1）证明：

因为，所以，

因为所以，，

所以，所以，

所以在上为增函数．……4分

（2）结论：

对于任意，在上均为增函数．

证明：

①当n=1时，结论显然成立；

②假设当n=k时结论也成立，即在上为增函数，

所以当时，在上恒成立．

当n=k+1时，，

所以

又当时，，，

所以在上恒成立，

所以在上恒成立，

所以在上为增函数．

由①②得证，对于任意，在上均为增函数．……10分