湖南师大附中高二上学期数学期末试题文科带答案.docx
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湖南师大附中高二上学期数学期末试题文科带答案
湖南师大附中2017-2018高二上学期数学期末试题(文科带答案)
湖南师大附中2017-2018学年度高二第一学期期末考试
数学(文科)
时量:
120分钟满分:
150分
得分:
______________
一、选择题(本大题共12个小题,每小题5分,共60分,在每个小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的.)
1.已知复数z的实部为1,且|z|=2,则复数z的虚部是
A.-3B.3iC.±3iD.±3
2.命题“若p,则q或r”的否命题是
A.若p,则綈q或綈rB.若p,则綈q且綈r
C.若綈p,则綈q或綈rD.若綈p,则綈q且綈r
3.tan690°=
A.-33B.33C.3D.-3
4.利用演绎推理的“三段论”可得到结论:
函数f(x)=lg1-x1+x的图象关于坐标原点对称.那么,这个三段论的小前提是
A.f(x)是增函数B.f(x)是减函数
C.f(x)是奇函数D.f(x)是偶函数
5.程序框图如图所示,该程序运行后输出的S的值是
A.2
B.13
C.-3
D.-12
6.函数f(x)的导函数f′(x)的图象如图所示,那么f(x)的图象最有可能的是
7.若抛物线y=ax2的准线方程为y=-1,则实数a的值是
A.14B.12C.-14D.-12
8.设0<x<1,则a=2x,b=1+x,c=11-x中最大的一个是
A.aB.bC.cD.不能确定
9.已知点M是△ABC的边BC的中点,点E在边AC上,且EC→=2AE→,则向量EM→=
A.12AC→+13AB→B.12AC→+16AB→
C.16AC→+12AB→D.16AC→+32AB→
10.已知命题p:
直线l1:
(m-2)x+3y+2m=0与直线l2:
x+my+6=0平行,命题q:
方程x2+y2-22x+my+(m+2)=0表示圆,则命题p是命题q成立的
A.必要条件B.充分条件
C.充要条件D.既不充分也不必要条件
11.对数列,如果k∈N*及λ1,λ2,…,λk∈R,使an+k=λ1an+k-1+λ2an+k-2+…+λkan成立,其中n∈N*,则称为“k阶递归数列”.给出下列结论:
①若是等比数列,则为“1阶递归数列”;
②若是等差数列,则为“2阶递归数列”;
③若的通项公式为an=n2,则为“3阶递归数列”.
其中正确的结论的个数是
A.0B.1C.2D.3
12.若直线l:
y=-x2+m与曲线C:
y=12|4-x2|有且仅有三个交点,则m的取值范围是
A.(2-1,2+1)B.(1,2)
C.(1,2+1)D.(2,2+1)
选择题答题卡
题号123456789101112得分
答案
二、填空题(本大题共4个小题,每小题5分,共20分,把答案填在答题卡中对应题号后的横线上.)
13.过曲线y=x3-2x上的点(1,-1)的切线方程为____________.
14.在区间-π2,π2上随机取一个数x,cosx的值介于0到12之间的概率为________.
15.长方体ABCD-A1B1C1D1中,AB=AA1=2cm,AD=1cm,则异面直线A1C1与BD1所成角的余弦值为____________.
16.已知函数f(x)=log2x,x0,2x,x≤0,若函数g(x)=f(x)-kx有零点,则实数k的取值范围是____________.
三、解答题(本大题共6小题,共70分,解答应写出说明、证明过程或演算步骤.)
17.(本小题满分10分)
湖南师大附中的科技节中有一个传统挑战项目——“奇思妙想闯七关”.为了调查参加此活动的学生情况,现从我校学生中随机抽取了60名男生和40名女生共100人进行调查,统计出100名学生中愿意接受挑战和不愿意接受挑战的男女生比例情况,具体数据如图所示.
(Ⅰ)根据条件完成下列2×2列联表,并判断是否在犯错误的概率不超过1%的情况下认为“愿意接受挑战与性别有关”?
愿意不愿意总计
男生
女生
总计
(Ⅱ)现用分层抽样的方法从愿意接受挑战的学生中选取7名挑战者,再从中抽取2人参加挑战,求抽取的2人中至少有一名男生的概率.
参考数据:
P(K2k0)0.10.050.0250.01
k02.7063.8415.0246.635
18.(本小题满分12分)
如图,在平面直角坐标系xOy中,点A(x1,y1),B(x2,y2)在单位圆上,∠xOA=α,∠AOB=π3,且α∈π6,π3.
(Ⅰ)若x1=277,用α表示x2并求其值;
(Ⅱ)过点B作x轴的垂线,垂足为C,记△BOC的面积为S,设S=f(α),求函数f(α)的值域.
19.(本小题满分12分)
已知三棱锥P-ABC的直观图及其三视图如图所示.
(Ⅰ)求三棱锥P-ABC的体积;
(Ⅱ)求二面角P—AB—C的平面角的正切值.
20.(本小题满分12分)
已知等差数列an的首项a1=1,公差d>0,且其第2项、第5项、第14项成等比数列.
(Ⅰ)求数列an的通项公式;
(Ⅱ)设bn=2an+1an+2,求数列bn的前n项和Tn,并证明:
215≤Tn13.
21.(本小题满分12分)
设椭圆C的中心在原点,两焦点F1、F2在x轴上,点P的坐标为(2,1),已知F1P→F2P→=3,且椭圆C的离心率为22.
(Ⅰ)求椭圆C的标准方程;
(Ⅱ)如图,设椭圆C的左、右顶点分别为A、B,点M是椭圆C上位于x轴上方的一个动点,直线AM,BM分别与直线x=3相交于点D,E,求|DE|的最小值.
22.(本小题满分12分)
已知函数f(x)=a(x-1)2+lnx+1.
(Ⅰ)若函数f(x)在区间[2,4]上是减函数,求实数a的取值范围;
(Ⅱ)当x∈[1,+∞)时,函数y=f(x)图象上的点都在x≥1,y-x≤0所表示的平面区域内,求实数a的取值范围.
湖南师大附中2017-2018学年度高二第一学期期末考试文科数学参考答案-(这是边文,请据需要手工删加)
湖南师大附中2017-2018学年度高二第一学期期末考试数学(文科)参考答案
一、选择题
1.D【解析】设z=a+bi(a,b∈R),由题意知a=1,∴1+b2=4,∴b2=3,∴b=±3.故选D.
2.D【解析】否命题既要否定条件,又要否定结论.同时,“或”的否定是“且”,选D.
3.A
4.C
5.D【解析】对应于计数变量i的S呈周期性,最小正周期为4,前4个数依次是:
-3,-12,13,2,而2018=4×504+2,故选D.
6.B【解析】数形结合可得在(-∞,-2),(-1,+∞)上,f′(x)0,f(x)是减函数;在(-2,-1)上,f′(x)0,f(x)是增函数,故选B.
7.A【解析】将抛物线y=ax2化为x2=1ay,由条件知14a=1,∴a=14,故选A.
8.C【解析】由于0<x<1,所以b=1+x21x=2x=22x=2aa,又b-c=(1+x)-11-x=1-x2-11-x=-x21-x0bc,所以c最大;故选C.
9.C【解析】如图,因为EC→=2AE→,所以EM→=EC→+CM→=23AC→+12CB→=23AC→+12(AB→-AC→)=12AB→+16AC→,故选C.
10.B【解析】因为两直线平行,所以(m-2)m-1×3=0,∴m=3或m=-1,经检验m=3时,两直线重合,∴m=-1,方程表示圆,
所以(22)2+m2-4(m+2)0,∴m4或m0.故命题p是命题q成立的充分条件.故选B.
11.D【解析】对于①:
若k=1,因为是等比数列,则有an+1=λ1an满足条件,故①正确;对于②:
若k=2,因为是等差数列,则有an+2+an=2an+1,存在λ1=2,λ2=-1满足an+2=λ1an+1+λ2an,故②正确;对于③:
若k=3,因为数列的通项公式为an=n2,an+3=(n+3)2=3(n+2)2-3(n+1)2+n2,故存在λ1=3,λ2=-3,λ3=1满足an+3=λ1an+2+λ2an+1+λ3an,故③正确.故选D.
12.B【解析】由题意得,曲线C是由椭圆x24+y2=1上半部分和双曲线x24-y2=1上半部分组成,且双曲线的渐近线方程为y=-12x,与直线l:
y=-12x+m平行;当直线l过右顶点时,直线l与曲线C有两个交点,此时,m=1;当直线l与椭圆相切时,直线l与曲线C有两个交点,此时m=2;由图象可知,m∈(1,2)时,直线l与曲线C有三个交点,故选B.
二、填空题
13.x-y-2=0或5x+4y-1=0【解析】设P(x0,y0)为切点,则切线的斜率为y′|x=x0=3x20-2.∴切线方程为y-y0=(3x20-2)(x-x0).y-(x30-2x0)=(3x20-2)(x-x0).又知切线过点(1,-1),把它代入上述方程得-1-(x30-2x0)=(3x20-2)(1-x0).解得x0=1,或x0=-12.故所求切线方程为y-(1-2)=(3-2)(x-1)或y--18+1=34-2x+12,即x-y-2=0或5x+4y-1=0.
14.13【解析】在区间-π2,π2上随机取一个数x,即x∈-π2,π2时,要使cosx的值介于0到12之间,需使-π2≤x≤-π3或π3≤x≤π2,区间长度为π3,由几何概型知cosx的值介于0到12之间的概率为π3π=13.
15.55【解析】设A1C1与B1D1交于O,取B1B中点E,连接OE,因为OE∥D1B,所以∠C1OE或其补角就是异面直线A1C1与BD1所成的角.在△C1OE中,OC1=12A1C1=52,OE=12BD1=1222+22+1=32,
C1E=B1C21+B1E2=12+12=2,
所以cos∠C1OE=OC21+OE2-C1E22OC1OE=55.
16.-∞,1eln2【解析】由f(x)-kx=0得f(x)=kx,在同一坐标系中作出函数y=f(x)和y=kx的图象,易知当k0时,两函数图象有两个交点,当k≥0时,考察由原点引f(x)的图象的切线,设切点是(x0,log2x0),f′(x)=1xln2,则1x0ln2=log2x0x0x0=e,故切线的斜率等于1eln2,即k∈0,1eln2时,两图象恰有一个公共点,综上k∈-∞,1eln2.
三、解答题
17.【解析】(Ⅰ)2×2列联表
愿意不愿意总计
男生154560
女生202040
总计3565100
(2分)
K2=100(15×20-20×45)235×65×60×40≈6.5936.635.(3分)
所以,不能在犯错误的概率不超过1%的情况下认为“愿意接受挑战与性别有关”.(5分)
(Ⅱ)现用分层抽样的方法从愿意接受挑战的学生中选取7名挑战者,
故男生抽取7×1535=3名,女生7×2035=4名,(7分)
从中抽取2人参加挑战,共有6+5+4+…+1=21种方法,
全是女生的方法有3+2+1=6种,(9分)
所以,抽取的2人中至少有一名男生的概率为P=1-621=57.(10分)
18.【解析】(Ⅰ)由三角函数定义,得x1=cosα,x2=cosα+π3.(2分)
由已知,cosα=277,α∈π6,π3,则sinα=1-cos2α=217.(4分)
所以x=cosα+π3=12cosα-32sinα=2714-3714=-714.(6分)
(Ⅱ)因为α∈π6,π3,则α+π3∈π2,2π3,
故x2=cosα+π30,y2=sinα+π30,
所以S=12|x2|y2=12-cosα+π3sinα+π3
=-14sin2α+2π3.
即f(α)=-14sin2α+2π3.(9分)
因为α∈π6,π3,则2α+π3∈2π3,π,0sin2α+π332,(10分)
所以f(α)=-14sin2α+2π3∈-38,0.(12分)
19.【解析】(Ⅰ)由俯视图知,点P在底面ABC内的射影在BC边上,所以平面PBC⊥平面ABC.
作PD⊥BC,垂足为D,则PD⊥平面ABC.由侧视图知,PD=2.(2分)
在底面ABC内作AE⊥BC,垂足为E,由正视图知,E为BC的中点.
由侧视图知,AE=4.(4分)
由正视图知,BC=4,则三棱锥P-ABC的体积
V=13×12×BC×AE×PD=16×4×4×2=163.(6分)
(Ⅱ)在底面ABC内作DF⊥AB,垂足为F,则AB⊥平面PDF,
所以∠PFD为二面角P-AB-C的平面角.(8分)
因为AE=4,BE=2,则AB=AE2+BE2=25.(9分)
因为Rt△BFD∽Rt△BEA,则DFBD=AEAB.由俯视图知,BD=1.
所以DF=AE×BDAB=4×125=25.(11分)
在Rt△PDF中,tan∠PFD=PDDF=5.
故二面角P-AB-C的平面角的正切值为5.(12分)
20.【解析】(Ⅰ)设等差数列的公差为d,
∵an=a1+(n-1)d,a1+da1+13d=a1+4d2d0.(3分)
整理:
3d2=6a1dd0,∴d=2a1=2,∴an=1+2(n-1)=2n-1.(5分)
∴an=2n-1(n∈N*).(6分)
(Ⅱ)bn=2an+1an+2=2(2n+3)(2n+1)=12n+1-12n+3,(8分)
∴Tn=b1+b2+…+bn=13-15+15-17+…+12n+1-12n+3
=13-12n+313.(10分)
∵Tn+1-Tn=bn=22n+12n+30,数列是递增数列.
∴Tn≥T1=b1=215.(11分)
∴215≤Tn13.(12分)
21.【解析】(Ⅰ)设椭圆C的方程为x2a2+y2b2=1(ab0),
F1(-c,0),F2(c,0)(1分)
则F1P→=(2+c,1),F2P→=(2-c,1).(2分)
因为F1P→F2P→=3,则(2+c)(2-c)+1=3,即c2=2,所以c=2.(3分)
因为ca=22,则a=2c=2,从而b=a2-c2=2.(4分)
故椭圆C的标准方程是x24+y22=1.(5分)
(Ⅱ)法一:
由题设,点A(-2,0),设直线AM的方程为y=k(x+2)(k0).
联立x=3,得点D(3,5k).(6分)
将y=k(x+2)代入x24+y22=1,得x2+2k2(x+2)2=4,即(2k2+1)x2+8k2x+8k2-4=0.(7分)
设点M(x0,y0),则x0和-2是方程的两根,
所以-2x0=8k2-42k2+1,即x0=2-4k22k2+1,
从而y0=k2-4k22k2+1+2=4k2k2+1,所以点M2-4k22k2+1,4k2k2+1.(9分)
又点B(2,0),则直线BM的方程为y-04k2k2+1-0=x-22-4k22k2+1-2,
即y=-12k(x-2).
联立x=3,得点E3,-12k.(11分)
所以|DE|=5k+12k≥25k12k=10,当且仅当5k=12k0,即k=1010时取等号.
故|DE|的最小值为10.(12分)
法二:
由题设,点A(-2,0),点B(2,0),
设点M(x0,y0),则x204+y202=1,即x20+2y20=4.
所以(x0-2)(x0+2)=-2y20,即y0x0+2y0x0-2=-12,
所以kAMkBM=-12.(8分)
设直线AM的方程为y=k(x+2)(k0),则直线BM的方程为y=-12k(x-2).
分别联立x=3,得点D(3,5k),点E3,-12k.(11分)
所以|DE|=5k+12k≥25k12k=10,当且仅当5k=12k0,即k=1010时取等号.
故|DE|的最小值为10.(12分)
22.【解析】(Ⅰ)f′(x)=2a(x-1)+1x,∵函数f(x)在区间[2,4]上单调递减,
∴f′(x)=2a(x-1)+1x≤0在区间[2,4]上恒成立,即2a≤1-x2+x在[2,4]上恒成立,
只需2a不大于1-x2+x在[2,4]上的最小值即可.(2分)
而1-x2+x=1-x-122+14(2≤x≤4),则当2≤x≤4时,1-x2+x∈-12,-112,
∴2a≤-12,即a≤-14,故实数a的取值范围是-∞,-14.(5分)
(Ⅱ)因f(x)图象上的点在x≥1,y-x≤0所表示的平面区域内,即当x∈[1,+∞)时,不等式f(x)≤x恒成立,即a(x-1)2+lnx-x+1≤0恒成立,
设g(x)=a(x-1)2+lnx-x+1(x≥1),只需g(x)max≤0即可.
由g′(x)=2a(x-1)+1x-1=2ax2-(2a+1)x+1x,(7分)
(ⅰ)当a=0时,g′(x)=1-xx,当x≥1时,g′(x)≤0,函数g(x)在[1,+∞)上单调递减,故g(x)≤g
(1)=0成立.(8分)
(ⅱ)当a0时,由g′(x)=2ax2-(2a+1)x+1x=2a(x-1)x-12ax,
令g′(x)=0,得x1=1或x2=12a,
①若12a1,即a12时,在区间[1,+∞)上,g′(x)≥0,函数g(x)在[1,+∞)上单调递增,函数g(x)在[1,+∞)上无最大值g(x)≥g
(1)=0,不满足条件;(10分)
②若12a≥1,即0a≤12时,函数g(x)在1,12a上单调递减,在区间12a,+∞上单调递增,同样g(x)在[1,+∞)上无最大值,且g1+1a=a1+1a-12+ln1+1a-1+1a+1=1a+ln1+1a-1-1a+1=ln1+1a0,不满足条件.(11分)
(ⅲ)当a0时,由g′(x)=2a(x-1)x-12ax,因x∈[1,+∞),故g′(x)0,则函数g(x)在[1,+∞)上单调递减,故g(x)≤g
(1)=0成立.
综上所述,实数a的取值范围是(-∞,0].(12分)
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