求最大公因数和最小公倍数的方法.docx
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求最大公因数和最小公倍数的方法
一、教材分析
苏教版小学数学第十册中第22页—31页第三单元公倍和公因数数的教学,从教材分析,这章内容特别重要。
准确迅速的找出它们的最大公因数与最小公倍数,是分数通分、约分必不可少的基础,而分数的通分、约分是进行分数加、减、乘、除四则运算的关键。
对于求最大公因数与最小公倍数能否熟练掌握,直接决定了分数四则运算的准确率,因此求两个数的最大公因数与最小公倍数的学习之重要。
而求两个数的最大公因数与最小公倍数的学习又牵涉到很多的概念。
而且概念间内在联系紧密,可以说是环环相扣,有一个环节学习不好也都会直接影响到下后面的学习,所以最大公因数与最小公倍数的学习是小学生很难掌握的内容,又是至关重要的。
它的概念多,环环相扣主要表现在:
在学习最大公因数与最小公倍数时,学生要先掌握因数和倍数的概念,而要掌握因数与倍数的概念还要先掌握整除的概念,而整除这里又需要同学们能够掌握能被2、3、5整除的特征;除此之外,在求地大公因数与最小公倍数时,还讲到了两种特殊的关系,其中互质关系的两个数的最小公倍数是它们的乘积,最大公因数是1,而要正确是判断出两个数是不是互质关系,又要掌握质数与合数的概念;这里有需要同学们记住100以内的质数,这是有一定的难度的。
只有这些都能够熟练地掌握,学习起来最大公因数与最小公倍数才会感觉到轻松自如。
所以这单元应该多用一到两课时。
我在上这单元时,我是这么教学的:
二、教学思路
(一)用一课时复习相关的概念
整除:
整数A除以整数B,除得的商正好是整数而没有余数,我们就说A能被B整除。
如15÷3=5,15、3、5都是整数而没有余数,我们就说15能被3整除。
在此基础上再来复习倍数与因数的概念:
如果A能被B整除,我们就说A是B的倍数,B是A的因数。
在这里还要强调说明一点,倍数和因数是相互依存的,不能独立存在;我们只能说谁是谁的倍数或谁是谁的因数,不能单独说谁是倍数或谁是因数。
如:
15÷3=5正好能够整除,我们就可以说15是3的倍数,也可以说3是15的因数。
掌握了倍数与因数的概念后,同学们就要能够正确地判断出谁能被谁整除,而这里能不能整除同学们不是一下都能很快判断出来的,这里要掌握质数(即素数)与合数的概念,还要能记住100以内所有的质数,掌握能被2、3、5整除的数的特征。
质数:
一个数只有1和它本身两个因数,这样的数叫作质数。
合数:
一个数除了1和它本身两个因数外,还有别的因数,这样的数叫作合数。
100以内的质数有:
2、3、5、7、11、13、17、19、23、29、31、37、41、43、47、53、59、61、67、71、73、79、83、89、97。
(1)能被2整除的数的特征是:
末位上是0、2、4、6、8的数都能被2整除。
(2)能被3整除的数的特征是:
这个数各个数位上的数字和能被3整除,这个数就能被3整除。
(3)能被5整除的数的特征是:
这个数的末位上是0或5,这个数就能被5整除。
这些概念环环紧扣,有一个环节掌握不好,都会直接影响到对下面的学习。
于是我用了一节课的时间复习这些概念,这些内容看起来很多,但它都是学生以前学习过的知识,所以只要再次说一下学生便会很快地回忆起来。
(二)用一课时教学求两个数的最大公因数
我在求两个数的最大公因数和最小公倍数时,先把后面的“你知道吗”里最大公因数和最小公倍数的符号表示法及短除法穿插在前面讲解,并且加入了另外的方法,即求最大公因数时,我加入了单一列举法、小数缩小法、除法算式法、分解质因数法;在求最小公倍数时,我加入了大数翻倍法、分解质因数法、单一列举法;而书中的例题时,并没有把它当作重点来讲解,只是一带而过,因为书本上的那列举法虽然学生学生一看就懂,但是太繁琐。
如,求18和32的最大公因数先找出18和48这两个数的所有因数:
18的因数有:
1、2、3、6、9、18;
48的因数有:
1、2、3、4、6、8、12、16、24、48;
再从这两个数的因数中找出两个数的公因数,18和48的公因数有:
1、2、3、6;
最后从公因数中找出18和48的最大的公因数是6。
你看只是求这18和48这两个数的最大公因数,学生就写了数字与汉字40多个字,要是再加上标点符号就有60多个字。
多么繁琐!
所以我在教学时,并不提倡学生用这种方法来求两个数的最大公因数和最小公倍数。
我给学生讲解求最大公因数的方法是:
1、判断是否存在特殊情况:
(1)倍数关系的两个数,小数是这两个数的最大公因数,。
(如;6和12的最大公因数是6)
2)互质关系的两个数,最大公因数是1。
(如,5和7的最大公因数时1)
2、一般情况:
求最大公因数的方法有:
短除法、分解质因数法、除法算式法、小数缩小法、单列举法。
①
短除号
短除法:
是18和48的公因数,用它分别除18、48,得到商分别是9,24;
是9与24的公因数,用它分别除9、24,得到的商分别是3,8。
一直除到所得的商是互质数为止,最后把所有的除数连乘起来,所得的积就是这两数的最大公因数:
(18,48)=2×3=6
②分解质因数法:
将这两数分别写成质因数相乘的形式,然后将这两数公有的质因数连乘起来,所得到的积就是这两数的最大公因数。
18和48公有的一个因数3,18和48公有的另一个公因数3
(18,48)=2×3=9
③除法算式法:
用这两个数18和48同时除以公因数,除到最大公因数为止。
(18,48)=6
④小数缩小法:
把较小的数缩小(除以2开始)每次缩小后看得到的商是不是另一个数的因数,直到所得的商是另一个数的因数为止。
如:
求18和48的最大公因数
先用小数18÷2=9,9不是48的因数,18÷3=6,6是48的因数,那么(18,48)=6
⑤单列举法:
一般是看哪个数的因数少,就先找出哪个数的因数,再看这个数的因数中哪些也是另一个数的因数,即这两个数的公因数,再从它们的公因数中找出最大的一个,就是这两个数的最大的公因数。
如,求18和27的最大公因数
先看18和27这两个数哪个因数少,这两个数除1和本身两个因数外,18=2×9=3×6,27=3×9所以27的因数少,(前面这些只要学生观察一下便可以看出,不用写出来。
)因此先找出27的因数:
1、3、9、27
再看这些因数中哪些又是另一个数18的因数,即18和27的公因数;18与27的公因数是:
1、3、9;
最后从公因数中找出最大的一个,既(18,27)=9。
(三)用一课时教学求两个数的最小公倍数的方法
求两个数最小公倍数的方法是:
1、判断是否存在特殊情况:
(1)倍数关系的两个数,较大的数是这两个数的最小公倍数。
(如:
6和12最小公倍数是12)
(2)互质关系的两个数,最小公倍数是它们的乘积。
(如,3和7的最小公倍数是21)
2、一般情况:
求两个数的最小公倍数有:
短除法、分解质因数法、大数翻倍、
①短除法:
用这两个数公有的因数去除,一直除到所得的商只有公因数1为此,然后把所取的除数,还有最后得到的商都连乘起来,所得到的结果就是这两个数的最小公倍数。
如:
求18和248的最小公倍数
所取的除数最后所得的商(所得的两个商一定要是只有公因1)
[18,48]=2×3×3×8=144
②分解质因数法:
把这两个合数分别写成质因数连乘的形式,然后把公有的质因数和各自独有的质因数连乘起来,所得到的积就是它们的最小公倍数。
如:
求18和27的最小公倍数
18和27公有的一个因数
18独有的因数
27独有的因数
18和27公有的另一个因数
把18和27公有的因数和各自独有的因数连乘起来,所得到的积就是18和27的就最小公倍数
[18,27]=3×3×2×3=54
③大数翻倍法:
如,求18和27的最小公倍数把较大的数翻倍(2倍开始),每次翻倍后看结果是不是另一个数的倍数,直到找到最小公倍数为止。
如,求18和27的最小公倍数。
可以把27翻倍:
27×2=54,54又是12的倍数,所以
[18,27]=54
(四)练习一节课
1、说说每组数是不是互质关系或倍数关系,再求出它们的最大公因数和最小公倍数。
(根据能被2、3、5整的数的特征,用2、3、5、7……去试除)
24和32 14和9 16和278和15
有公因数2 互质关系互质关系互质关系
21和15 14和7 5和8 28和7
有公因数3倍数关系互质关系倍数关系
用分解质因数法求:
24和32最大公因数和最小公倍数
24=2×2×2×3
32=2×2×2×2×2
[24,32]=2×2×2×3×4=9(24,32)=2×2×2=8
最大公因数和最小公因倍数,可一次性求出
存在特殊关系的直接写出它们的最大公因数和最小公倍数;互质关系的两个数最大公因数是1,最小公倍数是它们的乘积;倍数关系的最大公因数是它们中的小数,最小公倍数是它们中的大数。
一般关系的两个数就要思考用哪种方法来求其最大公因数和最小公倍数了。
用短除法求24和32最大公因数和最小公倍数
22432
21216
268
34
(24,32)=2×2×2=8
[24,32]=2×2×2×3×4=96
24和32的最大公因数和最小公因倍数,可一次性求出。
通过观察比较不难发现,当既要求最大公因数又要求最小公倍数时,用短除法或分解质因数法比较简便;当只求最大公因数时,用除法算式法或小数缩小法比较简便;当只求最小公倍数时用大数翻倍法比较简便。
当这两个数比较大,比较复杂时用短除法比较简便。
最大公因数与最小公倍数的应用
1、兴趣小组有24个女生,32个男生现要分成小组,每个小组男、女同学人数分别相同,最多可以分成多少个小组?
每组至少有多少个男同学?
多少个女同学?
想:
小组的个数在24之内,并且小组的个数是24和32的公因数,又问最多能分多少个小组,所以小组个数是24和32的最大公因数。
(24,32)=824÷8=3(人)32÷8=4(人)
答:
最多可以分成8组;每组最多有3个女生,4个男生。
2.有一包糖,不论分给8个人,还是分给10个人,都能正好分完。
这包糖至少有多少块?
想:
这包糖8个人正好分,10个人也正好分,说明这包糖的块数是8和10的公倍数,又问这包糖至少有多少块,所以要求的这包糖是8和10的最小公倍数。
若是问这包糖有多少块?
那只要是8和10的公倍数都符合要求,而8和10的公倍数有无数个,没有范围的。
[8,10]=40答:
这包糖至少有40块。
3.同学们参加文艺表演,人数在60—80之间。
如果分成3人一组,4人一组,6人一组或者8人一组,都恰好分完。
参加文艺表演的学生有多少人?
想:
分成3人一组,4人一组,6人一组或者8人一组,都恰好分完,说明表演的人数是3,4,6和8的公倍数,[3,4,6,8]=24,而人数又在给定范围60—80间,所以求的是在60—80间的3,4,6和8的最大公倍数,即48。
答:
参加文艺表演的学生有48人。
由此可见,在一定范围内的需求最大公因数,没有范围的需求最小公倍数。
给定范围的可求最大公倍数。
看清之间关系,看清数据特征,看清条件与要求,用好最佳方法,认真细心计算。
暑假作业
5页1题
024568不能出现在这些数中的各个位数.(因为是质数,并且个位和十位要交换位置.)
剩下的只有1379这4个数字来组成.
又因为337799是11的倍数,所以排除他们.
如果个位和十位数是3或者9的时候,那么得到的数字3993又可以被3整除.所以再排除.
因此,1379这4个数中除去337799组合以及39组合之后其他的就是正确答案:
1113171931377173799197十一个数
32页3题
表面积的减少是截去部分的侧面积,底面积没变,所以,应该是底面周长*截取的高度=120,因为条件告知,截取后的长方体变为正方体,所以底面为正方形,所以120=4*L*(4+2),L=5,
原来长方体的体积=L²*(L+4+2)=275cm³
38页3题
解:
设它们y小时相遇。
54y-48y=2x36
6y=72
y=12(小时)
48y+54y=12x(48+54)=12x102=1224(千米)
答:
甲乙两地相距1224千米。
口算题
1.01x99=420/35=25x12=135/0.5=4/3+4/1=5.2/1.3=32.8+19=5.2/1.3=25+15=47-17=
58+18=19+28=2/1x2=13/1=13\2=910+110=4/2=60-60=16+56=910-310=47-20=49-29=1.3-0.7=2.6x0.4=2400/30=25-15=34+14=9+18=1/1=78-28=12+24=7+14=1-0.98=0.048+0.52=5×400=
19.9+11.1=187÷1000=1+3.89=
0.081×10=75÷10=0.96÷0.8=
0.8×7=1.5×7=1.32×8=
0.7×8=10.3×2=5×0.6=
0.9×0.3=3.5×0.2=2.01×0=
10×0.05=0.13×7=0.21×100=
0.7×4=0.05×4=4×0.3=430-250=0.17+0.06=1.02-0.09=
30×100=0.92-0.2=3.5+4.8=
3.5+2.4=5+0.07=1-0.61=
0.47+0.23=0.25+0.75=3.7+0.33=
0.51+0.33=1-0.6=8-4.6=
5.8-3.6=0.52+0.4=6.45+5.5=
4.5-1.3=3.4-2.8=9.53-1.53=
8.8-6.7=10+0.08=9.5-7.3=
7.2+0.8=7.82+0.3=8.8-6.7=
9.5-7.3=1-0.95=3.4-2.8=
0.96-0.35=9.53-1.53=0.25+0.75=
1.2-0.8=0.83-0.5=2.7+0
12.5×8=2.3×4=3.25×0=
0.4×50=30×0.1=2.6×3=
4.1×2=0.35×0.2=7.5×0.1=
2.5×2=0.5×10=0.6×8=2.1×2=
2.8×10=0.7×0.8=0.04×20=5.6+0.4=
4.7+2.3=4.5×2=6.9-2.5=7.2×0.8=
6×3.4=0.62-0.32=1.4×0.5=0.75×100=
0.02×0.5=3.6×0.3=6.3÷7=5.6×100=
0.75÷0.25=0.125×8=4.8÷0.3=0.86÷2=
0.56÷28=0.36÷0.4=0.64÷0.8=0.7×9=
3.6÷24=0.8×1.1=7.2+12.8=46.7-3.8=
12.8÷4=5.2÷13=12.5÷5=1.64+4.1=
10÷20=24÷15=8.65×10=0.35×0.6=
3.08×0.01=4.95×1000=6.9×0.1=0.4×0.5=
2.4÷0.8=10.8÷9=9.6÷0.8=0.108÷2=
4.95÷0.9=9.65÷0.1=0.325×100=2.5×8=
0.56÷0.7=0.125×4=3.28×0.1=3.9÷0.13=
7.2×0.1=0.01×0.1=0.25×0.4=1.6÷0.8=
1÷2.5=1.25×0.8=3.2÷0.04=0÷1.7=
0.22×102=9.6÷0.8=5×0.24=4.5-0.05=
3.9÷0.1316.5÷0.5=5×0.12=24×0.5=
4.8×0.5=2.8+4.2=0.84÷2.1=5÷0.25=
7.8÷0.01=5.4÷0.6=3.2÷5=7×0.62=
0.56÷0.8=7.4-2.8=0.18÷0.2=0.16÷8=
4.5×0.02=8+7.2=1.2×30=0.012×0.2=
7.3×0.3=0÷6=3.6÷0.12=7.8÷0.6=
2÷5=4.5+5=0.3÷0.6=0.96÷0.2=
10.5×0.4=7.3+0.27=8×0.125=0.54÷0.6=
0.61+0.39=0.56÷28=10÷20=4.08÷0.4=
10-9.4=0.8×0.11=7.2+12.8=5.6÷0.01=
2.3×100=0.75×100=0.108÷2=10.8÷9=
7.8÷0.01=5.4÷0.6=3÷5=7×0.62=
12÷0.5=5.2×0.4=12.2÷0.2=5.6÷100=
0.41+3.7=0.02×0.5=7.2-0.8=1.4×0.5=
84÷0.21=0.75÷0.25=2.5×16=0.108÷2=
1.75+32.5=16-5.07=5.2÷13=1.64÷41=
1.02×0.2=0.26×0.3=8.4×0.02=1.2×6=
0.8×0.05=12.6÷0.03=8.71÷0.1=21÷0.21=
0.8×0.13=0.34÷17=8.08÷0.4=0.5×2.2=
1.24×4=3.27+0.63=5.02×0.3=0.3×0.5=
5.6÷7=72÷7.2=0.7÷0.35=0.7÷1.4
0.48÷0.04=1.25÷2.5=5.5+5.5=16.8÷8=
0.54+2.2=3.5-0.05=2÷0.02=0.25×40=
1.5×0.6=0.32÷0.8=12.25÷0.5=73.5×0.1=
46.5+52.5=0.45×102=1.25×88=2.64+3.85+1.54=
8×1.25=7÷3.5=4.2÷0.7÷6=0.4×8.6×25=
0.27÷0.3=2.5×101=0.65×101-0.65=2.6×7÷2.6×7=
0.02×0.5=3.6×0.3=6.3÷7=5.6×100=
7.8÷0.01=5.4÷0.6=3.2÷5=7×0.62=
1.5×0.6=0.32÷0.8=12.25÷0.5=73.5×0.1=
2.5×2=0.5×10=0.6×8=2.1×2=
0.61+0.39=0.56÷28=10÷20=4.08÷0.4=
1.2×0.3=6.6÷1.1=4.9÷7=0÷0.48=
暑假作业应用题
小学五年级数学应用题习题
(一)
1、同学们去春游,车上已经坐了45人;还有4个小组在等下一辆车,每组9人。
去春游的一共有多少人?
2、一共有150人去春游,已经走了54人,剩下的坐两辆车去,平均每辆车要坐多少人?
3、舞蹈队里有18名男生,女生人数是男生的2倍,舞蹈队里男、女生一共有多少人?
4、同学们做花,小军做了63朵,小红做的花比小军少做18朵,两人一共做了多少朵花?
5、食堂里第一次买来白菜25千克,第二次买来白菜175千克,按每千克白菜6角钱计算,食堂里买白菜一共用去多少钱?
6、小华给小刚看一本书,小华4天看了132页,小刚3天看96页,谁看得快?
为什么?
7、妈妈给小明买了3件汗衫,每件汗衫23元,付给营业员100元,还应找回多少元?
8、体育用品商店原来有72只篮球,卖出60只,又购进45只,现在有多少只篮球?
9、同学们去天文台参观,女生有9人,男生去的人数是女生的3倍,一辆40座的汽车够坐么?
10、学校活动室里有24盒象棋,军旗的盒数是象棋的两倍,跳棋有12盒,跳棋比军旗少多少盒?
11.学校买来白粉笔80盒,红粉笔20盒,用了60盒,还剩多少盒?
12.老师有8袋乒乓球,每袋6个,借给同学15个,还剩多少个?
13.老师拿70元去买书,买了7套故事书,每套9元,还剩多少元?
14.制衣组有90米布,用了63米,剩下的布做了9套衣服。
平均每套衣服用布多少米?
15.食品店有80包方便面,上午卖了26包,下午卖了34包,还剩多少包?
(用两种方法解答)
16、某化肥厂一月份生产化肥310吨,二月份生产400吨,三月份生产490吨化肥,平均每月生产化肥多少吨?
17、一匹马每天吃12千克草,照这样计算,25匹马,一星期可吃多少千克草?
(用两种方法计算)
18、工人王师傅和徒弟做机器零件,王师傅每小时做45个,徒弟每小时做28个,王师傅工作6小时,徒弟工作8小时,他们共做多少个机器零件?
19、工厂有煤8000千克,原计划烧25天,由于改进炉灶,实际烧了32天,平均每天比原计划节约多少千克?
20、工地需要1280袋水泥,用8辆大车4次才全部运来,一辆大车,一次可运多少袋化肥?
(用两种方法计算)
小学五年级数学应用题习题
(二)
1、在中原路上铺一条地下电缆,已经铺了34,还剩下250米没有铺。
这条电缆全长多少米
2、修一段路,第一天修了全长的1/4,第二天修了90米,这时还剩下150米没有修。
这段路全长多少米?
3、建筑工地有一堆黄沙,用去了23,正好用去了60吨。
这堆黄沙原来有多少吨?
4、声音在空气中3秒钟大约传1千米,光的速度每秒大约300000千米,声音的速度大约是光速的几分之几?
5、一块小麦试验田,原计划每公顷产小麦8吨,实际每公顷产小麦之几?
6、职工食堂4月份计划烧煤5吨,实际烧煤4.8吨。
节约了百分之几?
7、用5000千克小麦可以磨出面粉4250千克,求小麦的出粉率。
8、小麦的出粉率是80%,要磨出面粉640千克,需要多少千克小麦?
9、六
(1)班有学生50人,某天请假2人,求这天的出勤率?
10、植树节那天共植树若干棵,成活了485棵,没有成活的15棵,求这次植树的成活率。
11、王老师到体育用品商店买了5只小足球,付出100元,找回32.5元,每只小足球多少元?
12、甲乙两辆汽车同时从相距255千米的两地相对开出,甲车每小时行52千米,乙车每小时行57千米,经过几小时后两车还相距37千米?
13、师徒二人共加工208个机器零件,师傅加工的零件数比徒弟的2倍还多4个,师傅和徒弟各加工多少个零件?
14、王芳的存款数是李丽存款数的2.2倍,如果李丽再存入银行75元,两人的存款数就相等了,原来两人各存款多少元?
15、五年级买一批笔记本奖给三好学生,如果每人奖给5本,还剩3本;如果每人奖给6本,又少12本。
五年级评出三好学生多少名?
买了多少本笔记本?
16、山坡上有羊80只,其中白羊是黑羊的4倍,山坡上黑羊、白羊各多少只?
17、商店里卖出两筐柑橘,第一筐重26千克,第二筐重29千克,第二筐比第一筐多卖了9元钱,平均每千克柑橘多少元?
(用两种方法解)
18、一块梯形麦田,面积是540平方米,高18米,上底是20米,下底是多少米?
19、甲乙两车从相距750千米的两地同时开出,相向而行,5小时相遇,甲车每小时行80千米,乙车每小时行多少千米?
20、两辆汽车同时从同地开出,行驶4.5小时后,甲车落在乙车的后
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