第一章 数字电路及运算放大器基础 927.docx
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第一章数字电路及运算放大器基础927
第一章数字电路及运算放大器基础
§1-1概述
1-1.1数字电路及其特点
一.模拟信号与数字信号
电子电路中的工作信号可分为两种类型:
模拟信号和数字信号。
模拟信号是指那些在时间上和数值上都是连续变化的电信号。
例如模拟声音、温度或压力等物理变化的电压信号,如图1-1(a)所示。
它们都是连续变化的,而且在它们变化范围内的任何一个数值都是有物理意义的。
数字信号则是一种离散信号,它的变化在时间上和数值上都是不连续的。
例如电子表的秒信号,产品计数器的计数信号等,它们的变化发生在一系列离散的瞬间,数值大小的增减总是最小数量单位的整数倍。
由于用0和1组成的二值量表示数字信号最为简单,故最常用的数字信号是用电压的高、低分别代表两个离散数值1和0,如图1-1(b)所示。
图中U1称为高电平,U2称为低电平。
根据上述工作信号的不同,电子电路也划分为两大类:
用来处理模拟信号的电子电路称为模拟电路;用来处理数字信号的电子电路称为数字电路。
二.数字电路及其特点
数字电路的工作信号一般都是数字信号。
在电路中,它往往表现为突变的电压或电流,并且只有两个可能的状态。
所以,数字电路中的半导体管多数工作在开关状态。
利用管子导通和截止两种不同的工作状态,代表不同的数字信号,完成信号的传递和处理任务。
因此,数字电路的基本单元电路比较简单,对元件的精度要求也不太严格,适于作成集成电路,大批量的生产。
它具有使用方便、可靠性高、价格低廉等优点。
另外,在数字电路中,重点研究的问题是输入信号和输出信号之间的逻辑关系。
为了分析这些逻辑关系,需要使用一套新的数字工具,即逻辑代数。
表示电路功能的方法也往往是用真值表、逻辑函数式、卡诺图、特性方程以及状态转换图等。
1-1.2数的进制
一.数的几种常用进制
1.十进制
十进制是我们熟悉的计数体制。
它用0~9十个数字符号,按照一定的规律排列起来,表示数值的大小。
例如:
从这个四位进制数,不难发现十进制数的特点:
(1)每一位数必须是十个数字符号中的一个。
所以它计数的基数为10。
(2)同一个数字符号在不同的数位代表的数值不同,各位1所表示的值称为该位的权,它是10的幂。
(3)低位数和相邻的高位数之间的进位关系是“逢十进一”。
所以,n位十进制整数[M]10的表达式为
(1-1)
式中Ki为第i位的系数,它可以取0~9十个数字符号中任意一个;10i为第i位的权。
2.二进制
二进制是在数字电路中应用最广的计数体制。
它只有0和1两个数字符号,所以计数的基数为2。
各位数的权是2的幂,低位和相邻高位之间的进位关系是“逢二进一”。
n位二进制整数[M]2的表达式为:
(1-2)
式中Ki为i位的系数,可取0或1中任意一个;2i为第i位的权。
例1-1.1一个八位二进制整数为[M]2=[10011110]2,求其对应十进制的数值。
解将二进制数按权展开,求各位数值之和,可得:
二进制数只有两个数字符号,运算规则简单,在电路上实现起来也比较容易。
所以数字系统广泛采用二进制。
但是,从上例也可以看到,三位十进制[158]10,至少需要用八位二进制数[1001110]2表示。
如果数值再大,位数会更多,人们既难记忆,又不便于读写。
为此,在数字系统中,又常使用八进制和十六进制。
3.八进制和十六进制
(1)八进制
在八进制数中,有0~7八个数字符号,计数的基数为8,低位和相邻高位间的关系是“逢八进一”,各位数的权是8的幂。
n位八进制整数表达式为:
(1-3)
例1-1.2求三位八进制数[236]8所对应的十进制数的值。
解按权展开,求各位数值之和,可得:
(2)十六进制数
在十六进制数中,计数的基数为16,有十六个不同的数字符号:
0,1,2,3,4,5,6,7,8,A,B,C,D,E,F。
低位和相邻高位间的关系是“逢十六进一”,各数位的权是16的幂。
n位十六进制整数表达式为:
(1-4)
例1-1.3求二位十六进制数[9E]16所对应的十进制数的值。
解根据式(1.4)可得:
从例1-1.1、例1-1.2和例1-1.3可以看出,用八进制和十六进制表示同一数值,要比二进制简单得多,而二进制转换成八进制和十六进制十分方便,书写计算机程序时,广泛使用八进制和十六进制。
表1-1.1为几种常用计数进制对照表
二.不同进制数的相互转换
为了简单了解不同进制数间的转换规律,这里主要介绍它们整数的相互转换方法。
1.二进制和其它进制数转换成十进制数
由二进制、八进制和十六进制数的一般表达式可知,只要将它们按权展开,求各位数值之和,即可得到对应的十进制数。
表1-1.1几种常用计数进制对照表
十进制
二进制
八进制
十六进制
0
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
0000
0001
0010
0011
0100
0101
0110
0111
1000
1001
1010
1011
1100
1101
1110
1111
0
1
2
3
4
5
6
7
10
11
12
13
14
15
16
17
0
1
2
3
4
5
6
7
8
9
A
B
C
D
E
F
例如:
2.十进制数转换成二进制数
为了求得十进制数转换成二进制数的一般方法,我们先从一个具体数字的转换实例进行分析。
从表1.1.1我们知道,十进制数[11]10转换成二进制数为[1011]2。
若用b3b2b1b0表示二进制各位数,则:
即:
上式两边分别除以2,因为右式中除去b0项之外都含有2的因子,故被整除而得商数,b0则为余数,其表达式可写为:
可见b0为1。
若将上式中的商数,再除以2。
可求得
其余数b1为1。
以此类推,两边商再除以2,可求得:
可见余数为0,故b2为0,继续将等式两边的商除以2,此时商数只能为0,而余数1为最高位的系数b3,其表达式为:
由此可知,将十进制整数转换成二进制的方法是:
连续除以2,直到商数为0,每次所得的余数从后向前排列即为转换后的二进制数。
这种方法简称“除2取余法”。
按此方法,可用竖式除法表示出上述转换过程
所以
3.十六进制和二进制整数的相互转换
由于十六进制的基数16=24,所以四位进制数对应一位十六进制数。
按照上述转换步骤,只要将二进制数按四位分组,即可实现它们之间的转换。
例:
试将二进制数[10110100111100]2转换成十六进制数。
解:
所以
例:
试将十六进制数[3AF6]16转换成二进制数。
解:
所以
1-1.3二进制代码
在数字系统中,由0和1组成的二进制数码不仅可以表示数值的大小,而且还可以用来表示特定的信息。
这种具有特定含义的数码称为二进制代码。
本书中常见的代码有二-十进制(BCD)码和格雷码。
一.二-十进制(BCD)码
二-十进制(BinoryCodedDecimalCodes)又称BCD码。
它用四位二进制数组成一组代码,来表示0~9十个数字。
而代码与代码之间则为十进制关系。
因为四位进二进制代码有24=16种状态组合,从中取出十种组合表示0~9可以有多种方式,因此BCD码有多种。
表1-1.2列出几种常用的二-十进制码。
表1-1.2几种常用的二-十进制码
8421码
2421(A)码
2421(B)码
5211码
余3码
0
1
2
3
4
5
6
7
8
9
0000
0001
0010
0011
0100
0101
0110
0111
1000
1001
0000
0001
0010
0011
0100
0101
0110
0111
1110
1111
0000
0001
0010
0011
0100
0111
1100
1101
1110
1111
0000
0001
0100
0101
0111
1000
1001
1100
1101
1111
0011
0100
0101
0110
0111
1000
1001
1010
1011
1100
权
8421
2421
2421
5211
1.8421码
这种代码每一位的权都是固定不变的,属于恒权代码。
它和四位二进制数一样,从高位到低位各位的权分别是8、4、2、1,故称为8421码。
每个代码的各位数值之和就是它所表示的十进制数。
所以,它便于记忆,应用也比较普遍。
2.2421和5211码
它们也属于恒权码,从高位到低位各位的权分别2、4、2、1和5、2、1、1,故而得名。
其中2421码又分为(A)和(B)两种代码,它们的编码状态不完全相同。
在2421(B)码中,0和9、1和8、2和7、3和6、4和5互为反码,即两码对应位的取值相反。
3.余3码
这种代码所组成的四位二进制数,正好比它代表的十进制数多3,故称余3码。
两个余3码相加时,其和要比对应表示的十进制数之和多6。
因而两个十进制之和等于10时,两个对应余3码之和相当于四位二进制的16,刚好产生进位信号,不必进行修正。
另外,余3码和0和9、1和8、2和7、3和6、4、5也互为反码。
余3码不能由各位二进制数的权来决定其代表的十进制数,故属于无权码。
二.格雷码
格雷码(GrayCode)的特点是:
相邻两个代码之间仅有一位不同,其余各位均相同。
计数电路按格雷码计数时,每次状态更新仅有一位代码变化,减少了出错的可能性。
格雷码属于无权码。
它有多种代码形式,其中最常用的一种是循环码。
表1.1.3给出了四位循环码的编码表。
表1-1.3四位循环码编码表
十进制
循环码
十进制数
循环码
0
1
2
3
4
5
6
7
0000
0001
0011
0010
0110
0111
0101
0100
15
14
13
12
11
10
9
8
1000
1001
1011
1010
1110
1111
1101
1100
循环码中,不仅相邻两个代码只有一位不同,而且首尾(0和15)两个代码也仅有一位不同,构成一个“循环”,故称为循环码。
此外,这种代码还具有“反射性”,即以中间为对称的两个代码(例如0和15、1和14、…7和8)也只有一位不同,所以又把它称为反射码。
§1-2逻辑代数及其基本运算
逻辑代数是一种描述客观事物逻辑关系的数学方法。
它是英国数学家乔治·布尔(GeorgeBoole)在1847年首先提出来的,所以又称布尔代数。
我们在分析和设计数字电路时经常经用到这种数学工具。
1-2.1逻辑代数中的逻辑变量
事物的发展和变化通常是按照一定的因果关系进行的。
例如,照明电路中电灯是否能亮,取决于电源是否接通和灯泡的好坏。
后两者是因,前者则果。
这种因果关系一般称为逻辑关系。
逻辑代数正是反映这种逻辑关系的数学工具。
由于事物包含相互对立而又互相联系的两个方面,如上例所说亮与暗、通与断、好与坏等,所以在逻辑代数中,为了描述事物两种对立的逻辑状态,采用的是仅有两个取值的变量。
这种变量称为逻辑变量。
逻辑变量和普通代数变量一样,都是用字母表示。
但是,它又和普通代数变量有本质的区别:
我们所研究的逻辑变量的取值只有0和1两种可能,而且这里的0和1不是表示数值大小,而是代表逻辑变量的两种状态。
可见,在数字电路中的二进制数码,有时可作二进制数表示数值的大小,此时它们之间可以进行算述运算;有时还可以作为逻辑变量表示不同的逻辑状态,此时它们之间只能按照某种逻辑关系进行逻辑运算。
下面我们将介绍三种基本逻辑运算。
1-2.2逻辑代数中的三种基本逻辑运算
逻辑代数的基本运算有与、或、非三种。
下面结合指示灯控制电路的实例分别进行讨论。
一.与运算(逻辑与)
图1-2给出了指示灯的两开关串联控制电路。
由图可知,只有A和B两个开关全都接通时,指示灯Y才会亮;如果有一个开关不接通,或两个开关均不接通,则指示灯不亮。
由此例我们可以得到这样的逻辑关系:
只有决定事物结果(灯亮)的几个条件(开关A和B接能)同时满足时,结果才会发生。
这种因果关系称为逻辑与,也叫与逻辑关系。
为了详细描述逻辑关系,常把“条件”和“结果”的各种可能性列成表格对应表示出来,表1-2.1(a)为与逻辑关系表。
如果用二值逻辑变量来表示上述关系,假设开关接通和灯亮均用1表示;开关不通(断)和灯不亮(灭)均用0表示,则可得到表1-2.1(b)。
这种逻辑变量的真正取值反映逻辑关系的表格称为逻辑真值表,简称真值表。
表1-2.1
在逻辑代数中,把逻辑变量之间逻辑与关系称作与运算,也叫逻辑乘法运算,并用符号“·”表示与。
因此,A、B和Y的与逻辑关系可写成
Y=A·B
此式称为与逻辑表达式。
在有些书中,也有用符号A、∩和&表示与运算。
与逻辑关系还可以用逻辑符号表示。
图1-3为与逻辑符号,其中(a)为常用符号,(b)为国标符号。
二.或运算(逻辑或)
图1-4给出了指示灯的两开关并联控制电路。
显而易见,只要任何一个开关(A或B)接通或两个均接通,指示灯Y都会亮;如果两个开关均不接通,则灯不亮。
由此我们可以得到另一种逻辑关系:
在决定事物结果的几个条件中,只要满足一个或一个以上条件时,结果就会发生;否则,结果不会发生。
这种因果关系为逻辑或,也叫或逻辑关系。
按照前述假设,用二值逻辑变量不难列出或逻辑关系的真值表,如表1-2.2所示。
表1-2.2或逻辑真值表
A
B
Y
0
0
1
1
0
1
0
1
0
1
1
1
逻辑变量之间逻辑或关系,也称为或运算,也有叫做逻辑加法运算,并用符号“+”表示或。
因此,A、B和Y的或逻辑关系表达式为:
Y=A+B
有的书中,也有用符号∨、∪和≥1来表示或运算。
或逻辑关系也可以用逻辑符号表示。
图1-5为或逻辑符号,其中(a)为常用符号,(b)为国标符号。
三.非运算(逻辑非)
由图1-6所示电路可知,当开关A接通时,指示灯Y不亮;而当开关A不接通时,指示灯亮。
它所反映的逻辑关系时;当某一条件满足时,结果却不发生;而这一条件不满足时,结果才会发生。
这种因果关系称为逻辑非,也叫非逻辑关系。
假设开关接通和灯亮均用1表示,开关不通和不亮均用0表示,则可得到逻辑非的真值表,如表1-2.3所示。
表1-2.3逻辑非真值表
A
Y
0
1
1
0
在逻辑代数中,逻辑非称为非运算,也称作求反运算。
通常在变量上方加一短线表示非运算,所以逻辑表达式可写为
逻辑非的逻辑符号如图1-7所示,图中小圈表示非运算,图中符号(a)为常用符号,(b)为国标符号。
§1-3逻辑函数及其表示方法
1-3.1逻辑函数
上一节介绍了与、或、非三种最基本的逻辑运算。
在实际的逻辑问题中,往往是由三种基本逻辑运算组合起来,构成一种复杂的运算形式,来表示某个逻辑变量。
由此,经常用逻辑函数描述这种关系。
一般地说,某逻辑变量Y是由若干其它逻辑变量A、B、C…经过有限个基本逻辑运算确定的,那么Y就称作是A、B、C…的逻辑函数。
通常我们把A、B、C…称为输入变量,把Y称为输出变量。
当输入变量的取值确定之后,输出变量的值也就唯一地确定了。
逻辑函数的一般表达式可以写做。
下面我们举例说明:
例1-3.1一个楼梯灯控制电路如图1-8所示。
两个单刀双掷开关A和B分别装在楼上和楼下,无论在楼上或楼下都能单独控制开灯和关灯。
现在我们分析一下灯的状态和A、B开关所处状态之间的逻辑关系。
假设灯的状态用Y表示,而且Y=1为灯亮,Y=0为灯灭。
开关A、B的位置拨上为1,拨下为0,见图1-8。
则Y和A、B的逻辑关系可用真值表来表示,如表1-3.1所示。
表1-3.1逻辑真值表
A
B
Y
0
0
1
1
0
1
0
1
0
1
1
0
从表1-3.1可知,Y的状态取决于A、B的状态,当A、B的取值确定之后,Y的值也就唯一地确定了。
所以,Y是A、B的逻辑函数。
可见一件具体事件的因果关系,可以用一个逻辑函数来表示。
1-3.2逻辑函数的表示方法
一个逻辑函数可以用逻辑真值表、逻辑函数式、逻辑图、波形图等方法来表示。
本节结合例1-3.1电路介绍这些表示方法的特点,以及它们之间互相转换的方法。
一.逻辑真值表
根据楼梯灯控制电路的工作原理,确定了输入变量(开关A、B)、输出变量(电灯Y),以及用0和1表示的状态,很容易列出A、B的不同取值组合与函数值Y的对应关系表,即逻辑真值表(表1-3.1)。
可见,逻辑真值表是用数字符号表示逻辑函数的一种方法。
一个确定的逻辑函数只有一个逻辑真值表。
逻辑真值表能够直观、明了地反映变量取值和函数值的对应系数,一般给出逻辑问题之后,比较容易直接列出真值表。
但它不是逻辑运算式,不便推演变换。
另外,变量多时列表比较繁琐。
二.逻辑函数式
从表1-3.1所列真值表可以看出,使Y为1的条件是:
为1或为1。
因此,逻辑函数Y可以用下面函数式来表示:
由图1-8所示电路,我们不难验证上式所反映的逻辑关系是正确的。
由此可见,逻辑函数式是一种用与、或、非等逻辑运算组合起来的表达式。
用它表示逻辑函数,形式简洁、书写方便、便于推演变换。
另外,它直接反映变量间的运算关系,便于改用逻辑符号表示该函数。
但是,它不能直接反映出变量取值间的对应关系,
而且同一个逻辑函数可以写成多种函数式。
三.逻辑图
将逻辑函数式的运算关系用对应的逻辑符号表示出来,就是函数的逻辑图。
根据上式,利用三种最基本的逻辑符号,就可以画出图1-9所示的逻辑图,它表示出楼梯灯控制电路的逻辑关系。
如果用具有相应功能的实际电路逻辑符号,则可得到实现的控制电路。
逻辑图与数字电路器件有明显对应关系,便于制做实际数字电路。
但它不能直接进行逻辑的推演和变换。
四.波形图
在给出输入变量随时间变化的波形后,根据输出变量与其对应关系,即可找出输出变量随时间变化的规律。
这种反映输入和输出波形变化规律的图形,称为波形图,又叫时序图。
图1-10是给定A、B波形后所画出的上述函数Y的波形图。
波形图能清晰地反映出变量间的时间关系,以及函数值随时间变化的规律。
它同实际电路中的电压波形相对应,故常用于数字电路的分析检测和设计调试中。
但是,它不能直接表示出变量间逻辑关系。
五.几种表示方法间的互相转换
上述四种表示方法都可以表示某个逻辑函数,那么有了某函数的一种表示方法,一定可以转换成其它表示方法。
一般来说,有了逻辑真值表,先要写出逻辑函数式,然后才能画逻辑图。
由真值表转换成函数式的方法是:
将每个函数值为1的输入变量取值组合写成一个乘积项。
乘积项中的因子,若输入变量取值为1,则写其原变量;若取值为0,则写成反变量。
最后将这些乘积项相加,即得到逻辑函数式。
有了逻辑函数式即可对应画出逻辑图。
如果给出输入变量的波形图,根据真值表变量间的对应关系,也可以画出输出函数的波形图。
反之,如果给出了函数的逻辑图或波形图,从输入和输出变量的对应关系,不难求出真值表和函数式。
例1-3.2已知三个变量为A、B、C,当它们的取值包含奇数个1时,输出变量Y为1;否则输出Y均为0。
试求该逻辑函数的真值表、函数式和逻辑图,并根据A、B、C的波形图画出Y的波形。
解
(1)根据已知条件列出函数Y,的真值表,见表1-3.2
表1-3.2真值表
A
B
C
Y
0
0
0
0
1
1
1
1
0
0
1
1
0
0
1
1
0
1
0
1
0
1
0
1
0
1
1
0
1
0
0
1
(2)找出真值表中使Y为1的输入变量取值组合,即ABC取值分别为001,010,100,111。
按照取值1写成对应原变量,取值0写成对应反变量的规则,四个乘积项为
。
所以逻辑函数式为:
由上式便可以画出逻辑图1-11(a)。
再根据A、B、C的波形画出Y的皮形如图1-11(b)所示。
1-3.3常用的复合逻辑函数
与、或、非三种逻辑运算是最基本的逻辑函数。
可是实际的逻辑问题要比它们复杂得多。
因此,在数字逻辑电路中,还常直接使用一些复合逻辑函数及其逻辑符号。
表1-3.3给出了几种常用的复合逻辑的名称和逻辑符号(上面为常用符号,下面为国际符号)、逻辑函数式和对应的真值表。
其中与非逻辑和或非逻辑,采取是先进行与运算和或运算,然后再求反运算。
异或逻辑表示,当A和B不同时,Y为1;当A和B相同时,Y为0。
它也可以用与、或、非基本运算组合来表示,即。
表1-3.3几种常用的复合逻辑函数
与非
或非
异或
同或
Y=A·B
Y=A+B
Y=A⊕B
Y=A⊙B
00
01
10
11
1
1
1
1
1
0
0
0
0
1
1
0
1
0
0
1
不难看出,图1-8楼梯灯控制电路的逻辑关系为异或关系。
所以它的逻辑图1-9也可用异或符号表示。
同或逻辑是异或逻辑的反,当A和B相同时。
Y为1,A和B不同时,Y为0。
它用与、或、非基本运算可以写成。
此外,还经常用到与或非逻辑。
它们逻辑符号如图1-12所示。
它表示A、B之间C、D之间进行与运算,两者结果再进行或运算,最后求反运算。
它的表达式为:
§1-4逻辑代数的公式和运算规则
1-4.1基本公式
根据逻辑变量的特点和与、或、非三种基本逻辑运算关系,可以推导出逻辑代数的基本公式,如表1-4.1所示。
表1-4.1逻辑代数的基本公式
范围说明
名称
逻辑与(非)
逻辑或
变量与常量的关系
01律
(1)A·1=A
(3)A·0=0
(2)A+0=A
(4)A+1=1
和普通代数相似的定律
交换律
结合律
分配律
(5)A·B=B·A
(7)A·(B·C)=(A·B)·C
(9)A·(B+C)=A·B+A·C
(6)A+B=B+A
(8)A+(B+C)=(A+B)+C
(10)A+(B·C)=(A+B)·(A+C)
逻辑代数
特殊规律
互补律
重叠律
反演律(德.摩规定理)
对合律
(11)A·A=0
(13)A·A=A
(15)
(17)A=A
(12)
(14)A+A=A
(16)
表1-4.1中所列公式均可列逻辑真值表证明其正确性
将A、B的各种取值组合代入上面等式的两边,算出结果填入逻辑真值表的1-4.2中。
可见
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