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TheFoundationsLogicandProofs课后题答案
第1.1节命题逻辑1
第1章
基础:
逻辑与证明
第1.1节命题逻辑
2。
命题必须具有明确定义的真值,因此命题必须是没有
自由变量。
a)这不是一个命题,而是一个命题。
它’这是一个命令。
(b)这不是一个命题,而是一个命题。
它’这是个问题。
(c)这是一个错误的命题,任何去过缅因州的人都知道。
d)这不是一个命题,而是一个命题。
它的真值取决于x.
e)这是一个错误的命题。
f)这不是一个命题,而是一个命题。
它的真值取决于n.
4.a)詹妮弗和泰雅不是朋友
(b)面包师里没有13件’这是一打。
(或者:
面包师中的项目数’s打是不是
等于13.)
(c)艾比昨天发的短信不到101条。
或者,Abby最多发送100条短信
昨天。
注意:
此版本的第一次打印错误地呈现了此练习。
“每天”在
的地方“昨天。
”这使得它成为一个困难得多的问题,因为日子是量化的,也是量化的
命题直到后面的一节才会被处理。
这将是不正确的说,否定,
情况下是“艾比每天最多发送100条短信。
”相反,一个正确的否定将是“存在一个
艾比发送的一天最多100条短信。
”说“艾比发送的短信没有超过100条
每天”是有点暧昧—我们的意思是¬!
还是我们的意思是!
¬?
d)121不是一个完美的正方形。
6.a)是的,因为288>256和288>128。
(b)确实正确,因为与B相比,C的分辨率为5MP’s4MP分辨率。
请注意,其中只有一个
条件需要满足,因为这个词或.
(c)错误,因为它的分辨率不是较高的(所有的语句都必须是真实的连接
是真实的)。
d)错误,因为这个条件陈述的假设是真实的,结论是错误的。
e)错误,因为这个二项陈述的第一部分是假的,第二部分是真的。
8.a)这个星期我没有买彩票。
(b)要么我本周买了彩票,要么(从包容性的意义上说)我赢得了百万美元的头奖
星期五。
(c)如果我这个星期买了彩票,那么我周五就赢了百万的头奖。
d)这个星期我买了一张彩票,周五我赢了百万美元的头奖。
e)我这个星期买了一张彩票,如果而且只有在周五我赢了百万的头奖。
f)如果本周我没有买彩票,那么周五我就没有赢了百万的头奖。
2第一章基础:
逻辑与证明
g)本周我没有买彩票,周五也没有中奖。
h)要么我本周没有买彩票,要么我确实买了一张,赢了百万的头奖"
星期五。
10.a)选举尚未决定。
(b)选举由决定,或计票结果。
(c)选举尚未决定,选票已数数。
d)如果计票结果已经统计,那么选举就决定了。
e)如果选票没有统计,那么选举就没有决定。
f)如果选举没有决定,那么选票就没有统计。
g)选举决定是否并只有在计票的情况下。
h)要么选票没有统计,要么选举没有决定,选票已经数了数
请注意,我们能够通过使用单词来合并括号无论是和还.
12.a)如果你得了流感,那你就错过了期末考试。
(b)如果并且只有在你通过了课程的情况下,你才不会错过期末考试。
(c)如果你错过了期末考试,那么你就没有通过课程。
d)你得了流感,或者错过了期末考试,或者通过了课程。
e)要么是如果你得了流感,那么你就不会通过课程,也可以说如果你错过了
期末考试,那么你没有通过课程(或两者兼而有之,这是理解)。
f)要么你得了流感,错过了期末考试,要么你没有错过期末考试,确实通过了课程。
14.a)R"¬问(b)P"问"R(c)R#Pd)P"¬问"Re)(P"q)#Rf)R$(问%p)
16.a)这是T$T,这是真的。
(b)这是T$F,这是错误的。
(c)这是F$F,这是真的。
d)这是F$T,这是错误的。
18.a)这是F#F,这是真的。
(b)这是F#F,这是真的。
(c)这是T#F,这是错误的。
d)这是T#T,这是真的。
20.a)如果申请人知道,提出这一要求的雇主将很乐意这两种语言,所以这
显然是一个包容性或.
(b)如果食客想要这两种物品,餐厅可能会收取额外费用,所以这是独家的"
或.
(c)如果一个人恰好有两种形式的身份证明,那就更好了,所以这显然是一种包容性"
或.
d)这两种说法都可以说,但包容性的解释似乎更合适。
这句话
这意味着,没有在研究期刊上发表论文的教职员工很可能会被解雇。
在试用期内的工作。
另一方面,它可能会发生,他们将被解雇,即使他们
做出版(例如,如果他们的教学是差的)。
22.a)必要条件是结论:
如果你升职了,那你就给老板洗澡"’它的车。
(b)如果风来自南方,那么就会有春天的解冻。
第1.1节命题逻辑3
(c)充分的条件是假设:
如果你买了不到一年前的电脑,那么
保修是好的。
d)如果威利作弊,那么他就会被抓。
e)中。
“只有当”条件是得出结论:
如果您访问该网站,则必须支付订阅费用。
f)如果你认识合适的人,那么你就会当选。
g)如果卡罗尔在船上,那么她就晕船了。
24.a)如果我记得给你发地址,那么你就得给我发一封电子邮件。
(这
稍微重新措辞,使时态更有意义。
(b)如果你出生在美国,那么你就是这个国家的公民。
(c)如果你保留你的课本,那么它将是一个有用的参考,在你未来的课程。
(这个词“然后”是
理解英语,即使省略。
d)如果他们的门将踢得好,那么红翼将赢得斯坦利杯。
e)如果你得到了这份工作,那么你就有了最好的资历。
f)如果有暴风雨,那么海滩就会侵蚀。
g)如果您登录到服务器,则您有一个有效的密码。
h)如果你不爬得太晚,那么你就会到达山顶。
26.a)如果并且只有在你学会如何解决离散数学问题的情况下,你才会在本课程中获得A。
(b)如果你每天看报纸,你才会被告知。
)按照这个顺序听起来更好,它
将在逻辑上等价的状态,这“你每天都看报纸,如果而且只有当你要看的时候
通知。
”)
(c)如果而且只有在周末的情况下,才会下雨。
d)您可以看到向导,如果和只有当他不在。
28.a)相反:
如果我呆在家里,那么今晚就会下雪。
相反:
如果我不呆在家里,那就会
不是今晚的雪相反:
如果今晚不下雨,那我就不会呆在家里。
(b)相反:
每当我去海滩,这是一个阳光明媚的夏日。
对比:
每当我不去
到了海滩,这不是一个阳光明媚的夏日。
相反:
每当不是晴天的时候,我就不去海滩。
(c)相反:
如果我睡到中午,那么我就熬夜了。
对比:
如果我不睡觉,直到中午,那么我
没有熬夜。
相反:
如果我不这样做’don'不要熬夜,那我就不熬夜了’不要睡到中午。
30岁。
真值表需要2n行,如果有n变量。
a)22=4(b)23个=8(c)26=64d)25=32
32岁为了构造一个复合命题的真值表,我们从里到外工作。
在每一种情况下,我们将
显示中间步骤。
在一定程度上(d),例如,我们首先构造了P"问和为
P%问并将它们结合起来,以获得(P"q)#(P%q).适用于零件(a)和(b)我们有
下表(第三列为部分(a),第4栏的一部分(b)).
P¬pp#¬pp$¬p
TFFFF
FTTF
适用于零件(c)和(d)我们有下表。
pqp%qp"qp&(P%q)(P"q)#(P%q)
TTTFTT
TFTTFFT
FTTFTT
FFFFFFT
4个第一章基础:
逻辑与证明
对于部分(e)我们有下表。
pq¬pq#¬pp$问(问#¬p)$(P$q)
TTFFTFFF
TFFTTFF
FTTTFF
FFTTTT
对于部分(f)我们有下表。
pq¬qp$qp$¬问(P$q)&(P$¬q)
TTFTTFT
TFTFTT
FTFFFTT
FFTTFTT
34岁适用于零件(a)和(b)我们有下表(第二列的一部分(a),第4栏的一部分(b)).
pp&P¬pp&¬p
TFFFT
FFTT
适用于零件(c)和(d)我们有下表(第5列和第6栏)。
pq¬P¬qp&¬问¬P&¬q
TTFFTFFF
TFFTTFT
FTTFFT
FFTTTF
适用于零件(e)和(f)我们有下表(第5列和第6栏)。
这次我们省略了列
显式显示的否定问.请注意,第一个是同义词,第二个是矛盾(请参见
第1.3节中的定义)。
pqp&qp&¬问(P&q)%(P&¬q)(P&q)"(P&¬q)
TTFTTF
TFTTFTF
FTTFTFF
FFFTTF
36岁适用于零件(a)和(b)我们有
pqrp%问(P%q)%R(P%q)"r
TTTTTT
TTFTTF
TFTTTTT
TFFTTF
FTTTTT
FTFTTF
FFTFFFF
FFFFFFFFFFFFFFFFFFFF
适用于零件(c)和(d)我们有
第1.1节命题逻辑5
pqrp"问(P"q)%R(P"q)"r
TTTTTT
TTFTTF
TFTTFTF
TFFFFFFFFFFFFFFFFFFF
FTTFTFF
FTFFFFFFFFFFFFFFFFFF
FFTFFFF
FFFFFFFFFFFFFFFFFFFF
最后,对于零件(e)和(f)我们有
qr¬rp%问(P%q)"¬rp"问(P"q)%¬r
TTTFTTTTT
TTFTTTTTTT
TFFTFTTFFFFF
TFFTTTFTT
FTTFTTFFFFF
FTFTTTFTT
FFFFFFFFFFFFFFFFFFFFFFFFFF
FFFTFFFFT
38岁这一次,真相表需要24个=16行。
pqrsp#问(P#q)#R((P#q)#r)#s
TTTTTTTTTTTTTTTTTTTTTTT
TTTFTTF
TTFTTTFTT
TTFFTFTT
TFTTFTT
TFTTFFFFFF
TFFTTTT
TFFFFFFFFFFFFFFFFFFFFFF
FTTTTTTT
FTTFTTF
FTFTTFT
FTFFTFT
FFTTTTT
FTFFTTF
FFFTTFTT
FFFFTFTT
40岁。
此语句是正确的,如果并且只有当所有三个子句,P%¬问,问%¬R和R%¬P是真实的。
想p,问和
R都是真的因为每个子句都有一个未否定的变量,所以每个子句都是真的。
同样,如果p,问和r
都是假的,那么因为每个子句都有一个否定的变量,所以每个子句都是真的。
另一方面,如果其中一个
变量为真,其他两个为false,则包含该变量的否定的子句将是
假的,使整个连词为假;同样,如果其中一个变量是假的,而另一个变量是真的,
那么包含该变量的子句将是假的,再次使整个连词为false。
42.a)由于条件为真,因此将执行语句,因此X是递增的,现在有值2。
(b)由于条件是假的,因此不会执行语句,因此X未递增,现在仍有
值1。
(c)由于条件为真,因此将执行语句,因此X是递增的,现在有值2。
d)由于条件是假的,因此不会执行语句,因此X未递增,现在仍有
值1。
6第一章基础:
逻辑与证明
e)因为条件是真实的,当它遇到(因为X=1),语句被执行,因此X是
递增,现在具有值2。
(现在条件是错误的,这并不重要。
44.a)11000"(01011%11011)=11000"11011=11000
(b)(01111"10101)%01000=00101%01000=01101
(c)(01010&11011)&01000=10001&01000=11001
d)(11011%01010)"(10001%11011)=11011"11011=11011
46岁的真理价值“弗雷德和约翰很高兴”是min(0.8,0.4)=0.4。
“既不是弗雷德也不是
约翰很高兴”是min(0.2,0.6)=0.2,因为这个声明意味着“弗雷德不高兴,约翰也不高兴,”
我们计算了这两个命题的真值在这个组合在练习45。
48岁这不可能是一个命题,因为它不可能有真理价值。
事实上,如果它是真实的,那么它会
真正断言它是假的,矛盾;另一方面,如果它是假的,然后它的断言,
它是假的必须是假的,所以它将是真实的—再次矛盾。
因此,这字符串的字母,而
似乎是一个命题,其实是毫无意义的。
50块不。
这是一个经典的悖论。
(我们将使用男性代词在下面的什么,假设我们正在谈论
男人在这里刮胡子,并假设所有的男人都有面部头发。
如果我们把自己限制在
胡须和允许女性理发师,那么理发师可以是女性没有矛盾。
如果这样的理发师
存在,谁会刮理发师?
如果理发师剃光自己,那么他将违反规则,
他只刮胡子那些不刮胡子的人。
另一方面,如果他不刮胡子,
然后规则说,他必须刮胡子自己。
两者都不可能,所以不可能有这样的理发师。
第1.2节命题逻辑的应用
2。
回想一下P只有当问意味着P#问.在这种情况下,如果你能看到电影,那么你必须已经完成了一个
这两个要求的要求。
因此,该语句是米#(e%p).请注意,在日常生活中,一个人可能会
实际上说“你可以看电影如果你满足了这些条件中的一个”但从逻辑上讲,这不是什么
规则真的说。
4.我的工作是什么?
这里所述的条件是,如果您使用网络,则要么您支付费用,或者您是订户。
因此,符号中的命题是w#(D%s).
6。
这类似于练习2:
美国#(b32"g1"r1"h16)%(b64"g2"r2"h32).
8.a)“但”意味着“和”:
R"¬p.
(b)“每当”意味着“如果”:
(R"p)#问.
(c)被拒绝的访问是否定的问,所以我们有¬R#¬问.
d)该假设是一个连词:
(¬P"r)#问.
10个。
我们象征性地编写这些:
美国#¬a,a#s,¬s#¬u.请注意,我们可以通过以下方式使所有结论为真
制作a假s真实的,和美国假。
因此,如果用户无法访问文件系统,他们可以保存新的
文件,并且系统未升级,则所有条件语句都为真。
因此,该系统是
一致。
第1.2节命题逻辑的应用7
12岁这个系统是一致的。
我们使用L,Q,N和B在这里代表基本命题,“文件系统
被锁定,”“新邮件将排队,”“系统运行正常,”和“新的消息将
被发送到消息缓冲区,”分别。
然后给定的规格是¬我#Q,¬我$N,¬问#B,
¬我#B和¬B.如果我们想要一致性,那么我们最好有B假的,按顺序,¬B是真实的。
这
要求两者都是我和问是真实的,由两个条件语句,有B作为他们的后果。
中。
第一个条件语句因此是形式F#T,这是真的。
最后,二重¬我$N
可以通过采取满足N是假的。
因此,这一组规范是一致的。
请注意,这只是
这一个令人满意的真理任务。
14岁这类似于关于新墨西哥州大学的例6。
为了在西弗吉尼亚州寻找徒步旅行,我们
可以进入西部和弗吉尼亚和远足。
如果我们进入(维吉尼亚和钓鱼)不西
然后我们’i'我会得到关于在弗吉尼亚徒步的网站,但不会在西弗吉尼亚,除了恰好使用的网站
这个词“西”在不同的上下文中(例如,“沿着溪向西一直走到一片空地”).
16.a)如果探险家(一个女人,这样我们的代名词就不会在这里被弄糊涂—食人族将是男性)
遇到一个真正的出纳人,然后他会诚实地回答“不”她的问题。
如果她遇到一个骗子,那么
诚实的答案,她的问题是“是的”所以他会撒谎回答“不。
”因此,每个人都会回答“不”自
的问题,和探险家将无法确定哪种类型的食人鱼,她正在说话。
(b)有几个可能的正确答案。
一个是以下问题:
“如果我问你,如果你
总是说真话,你会说你说了吗?
”那么,如果食人鱼是一个讲真话的人,他会回答是
(说实话),而如果他是一个骗子,那么,因为事实上,他会说,他确实说了真相,如果被质疑,
他现在会撒谎,回答不。
18岁我们将把这些条件转化为符号逻辑中的语句,使用J,s和K为命题
茉莉、萨米尔和坎蒂分别出席。
第一个语句是J#¬s.第二个语句是
s#K.最后一句是¬K%J因为“除非”意味着“或。
”(我们也可以将此翻译为K#J.
从文本中定义5之后的注释中,我们知道P#问等效于“问除非¬p.在
这个案子P是¬J和问是¬K.)首先,假设s是真实的。
然后第二个语句告诉我们K是
也是真实的,然后最后的声明力量J是真实的。
但现在第一个声明迫使s是假的。
因此,我们得出的结论是s必须是假的;萨米尔不能出席。
另一方面,如果s是假的,然后前两个
语句是自动真实的,而不管真相值是什么K和J是的。
如果我们看一下最后一个
声明,我们看到,这将是真实的,只要它不是这种情况下,K是真实的,并且J是假的。
所以唯一的
让每个人都开心的朋友组合是茉莉和坎蒂,或者是茉莉一个人(或者没有人!
)
20岁。
如果A个是个骑士,那么他说他们都是骑士的说法是真的,两人都会说真话。
但这是不可能的,因为B以其他方式断言(A个是一个无赖)。
如果A个是一个无赖,然后B’s
断言是正确的,所以他必须是一个骑士,A’他的断言是错误的,这是应该的。
因此,我们得出的结论是,A
是一个无赖和B是个骑士
22岁我们不能得出任何结论。
骑士会宣布自己是骑士,说真话。
一个无赖会撒谎
并断言他是个骑士既然每个人都会说“我是个骑士”我们无法确定。
24岁假设A个就是骑士那因为他说的是实话C是无赖,因此B就是那个间谍
在这种情况下,两者B和C都在撒谎这和他们的身份是一致的看到这是唯一的
解决方案,首先注意B不能是骑士,因为他声称,A个是骑士(这将然后
必须是一个谎言)。
同样C不能是骑士,因为他会说谎时,他说,他是
间谍。
26岁没有解决办法,因为骑士和无赖都不会声称自己是无赖。
8第一章基础:
逻辑与证明
28岁假设A个就是骑士然后B’他的说法是真实的,所以他必须是间谍,这意味着C’s
语句也是正确的,但这是不可能的,因为C必须是无赖。
因此A个不是
骑士。
接下来假设B就是骑士他真正的陈述力A个是间谍,这反过来迫使
C成为无赖;再次,这是不可能的,因为C说了一些真实的话。
唯一的其他可能性
那是C是骑士,然后迫使B成为间谍和A个无赖。
这很好,因为A
是在撒谎和B是说的是实话
30岁。
也A个也B可以是无赖,因为无赖不能作出真实的声明,他不是
间谍。
因此C是无赖,因此A个不是间谍因此,A个是骑士和B是
间谍。
这很好,因为A个和B然后都说真话和C是在撒谎
32.a)我们来看看无辜的人可能是谁的三种可能性。
如果史密斯和琼斯是无辜的
(因此说实话),那么我们得到了一个直接的矛盾,因为史密斯说,琼斯是一个
库珀的朋友,但琼斯说,他甚至不知道库珀。
如果琼斯和威廉姆斯是无辜的
真相告诉你,然后我们再次得到一个矛盾,因为琼斯说,他不知道库珀,并出
镇,但威廉姆斯说,他看到琼斯与库珀(大概在城里,大概,如果我们与
他,然后他知道他)。
因此,史密斯和威廉姆斯说的一定是实话。
他们
声明并不相互矛盾。
基于威廉姆斯’声明,我们知道,琼斯在撒谎,因为他
说他不认识库珀,而事实上他和他在一起。
因此,琼斯是凶手。
(b)这就像一部分(a),除了我们没有提前被告知其中一个人有罪。
可以
他们都没有有罪?
如果是这样,那么他们都说的是实话,但这是不可能的,因为我们只是
看到,有些说法是矛盾的。
他们中的一个可以是有罪?
例如,如果他们
都是有罪的,那么他们的陈述就没有给我们任何信息。
因此,这当然是可能的。
34岁此信息足以确定整个系统。
让每一封信代表的声明,
名字以那封信开头的人正在聊天。
然后给定的信息可以表示
符号上,如下所示:
¬K#H,R#¬V,¬R#V,A个#R,V#K,K#V,H#A,H#K.
请注意,我们能够将所有这些语句转换为条件语句。
在下面的内容中,我们将
有时也会利用这些条件陈述的对立面。
首先假设H是
真。
然后,它是A个和K是真实的,从哪里来,从哪里来,R和V是真实的。
但R这意味着
V是假的,所以我们得到一个矛盾。
因此H必须是假的。
从这一点上,它遵循的是K是真实的;何处
V是真实的,因此R是假的,就像A.现在,我们可以检查此分配是否导致一个真正的值
每个条件语句。
因此,我们的结论是,凯文和维杰聊天,但希瑟,兰迪,和艾比
才不是呢
36岁请注意,戴安娜’他的陈述只是说她没有’don'不要这样做。
a)是约翰干的有四个案例需要考虑。
如果爱丽丝是唯一的真理讲述者,那么卡洛斯做到了;但这
意思是约翰说的是实话,一个矛盾。
如果约翰是唯一的真相出纳员,那么戴安娜必须
撒谎,所以她做到了,但后来卡洛斯说的是实话,矛盾。
如果卡洛斯是唯一的讲真话的人
戴安娜这样做,但这使得约翰真实,再次矛盾。
因此,唯一的可能性是戴安娜是
唯一的真相出纳员。
这意味着约翰否认的时候是在撒谎,所以他就这么做了。
请注意,在这种情况下,
爱丽丝和卡洛斯确实在撒谎。
(b)同样,有四个案例需要考虑。
由于卡洛斯和戴安娜正在做矛盾的声明,
骗子必须是其中之一(我们本可以使用这种方法的一部分(a)以及)。
因此,爱丽丝告诉
真相,所以卡洛斯做到了。
请注意,约翰和戴安娜在这里说的是实话,它是卡洛斯谁是
躺。
38岁这通常是作为约束编程中的一个练习来做的,很难用手工解决。
以下是
r
r
q
p
第1.3节命题对等9
表显示了与所有线索一致的解决方案,房屋从左到右列出。
据报道,
解决方案是唯一的。
挪威人意大利人西班牙人日本人
颜色黄色蓝色红色白色绿色
宠物狐狸马蜗牛狗斑马
工作外交官医师摄影师小提琴画家
喝水茶牛奶汁咖啡
在这个解决方案中,日本男子拥有斑马,挪威人喝水。
逻辑推理
解决这个问题所需的
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