数学名师叶中豪整理高中数学竞赛平面几何讲义完整版.docx
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数学名师叶中豪整理高中数学竞赛平面几何讲义完整版
高中平面几何
叶中豪
学习要点
几何问题的转化
圆幂与根轴
P’tolemy定理及应用
几何变换及相似理论
位似及其应用
完全四边形与Miquel点
垂足三角形与等角共轭
反演与配极,调和四边形
射影几何
复数法及重心坐标方法
例题和习题
1.四边形ABCD中,AB=BC,DE⊥AB,CD⊥BC,EF⊥BC,且
。
求证:
2EF=DE+DC。
(10081902.gsp)
2.已知相交两圆O和O'交于A、B两点,且O'恰在圆O上,P为圆O的AO'B弧段上任意一点。
∠APB的平分线交圆O'于Q点。
求证:
PQ2=PA×PB。
(10092401-1.gsp)
3.设三角形ABC的Fermat点为R,连结AR,BR,CR,三角形ABR,BCR,ACR的九点圆心分别为D,E,F,则三角形DEF为正三角形。
(10082602.gsp)
4.在△ABC中,已知∠A的内角平分线和外角平分线分别交外接圆于D、E,点A关于D、E的对称点分别为F、G,△ADG和△AEF的外接圆交于A和另一点P。
求证:
AP//BC。
(10092102.gsp)
5.圆O1和圆O2相交于A、B两点,P是直线AB上一点,过P作两圆作切线,分别切圆O1和圆O2于点C、D,又两圆的一条外公切线分别切圆O1和圆O2于点E,F。
求证:
AB、CE、DF共点。
(10092201.gsp)
6.四边形ABCD中,M是AB边中点,且MC=MD,过C、D分别作BC、AD的垂线,两条垂线交于P点,再作PQ⊥AB于Q。
求证:
∠PQC=∠PQD。
(10081601-26.gsp)
7.已知RT△ABD∽RT△ADC,M是BC中点,AD与BC交于E,自C作AM垂线交AD于F。
求证:
DE=EF。
(10083001.gsp)
8.在△ABC中,AB=AC,D为BC边的中点,E是△ABC外一点,满足CE⊥AB,BE=BD。
过线段BE的中点M作直线MF⊥BE,交△ABD的外接圆的劣弧AD于点F。
求证:
ED⊥DF。
(2010年女子竞赛)(10081601-4.gsp)
9.设圆I1是△ABC的BC边外的旁切圆,D、E、F分别是切点,若I1D与EF交于P点。
求证:
AP平分底边BC。
(10082001-8.gsp)
10.如图,⊙O切△ABC的边AB于点D,切边AC于点C,M是边BC上一点,AM交CD于点N.求证:
M是BC中点的充要条件是ON⊥BC。
(09031302.gsp)
11.已知:
BC是圆上的定弦,而动点A在圆上运动,M是AC中点,作MP⊥AB于P。
求P点的轨迹。
(10081601-4.gsp)
12.△ABC外接圆为圆O,P为AB上一点,过P分别作OA、OB的垂线,与AC、BC交于S、T,与AB交于M、N。
求证:
PM=MS的充要条件是PN=NT。
(10081601-3.gsp)
13.在ΔABC中AC>BC,F是AB的中点,过F作它的外接圆直径DE,使得C、E在AB同一侧,又过C做AB的平行线交DE于L。
求证:
(AC+BC)2=4DL×EF。
(09011003.gsp)
14.已知:
P是垂直ABC外接圆BC弧上任意一点,PD⊥BC于D,PE⊥CA于E,PF⊥AB于F。
求证:
(BC/PD)=(AC/PE)+(AB/PF)。
(09012201-7.1.gsp)
15.已知O是△ABC的外心,M是BC边中点,D是OM延长线上一点,满足DO=DB,E、F分别是AB、AC边上的点,满足∠MEA=∠MFA=∠A。
求证:
AD⊥EF。
(10080302.gsp)
16.已知△ABC中,AB=AC,线段AB上有一点D,线段AC延长线上有一点E,使得DE=AB。
线段DE与△ABC的外接圆交于点T,P是线段AT延长线上的一点。
求证:
点P满足PD+PE=AT的充要条件是P在△ADE的外接圆上。
(2000年国家集训队)(10082201-1.gsp)
17.已知△ABC中,内心I关于BC边中点M的对称点为I',S是BC弧(不含A点)中点,直线SI'交△ABC的外接圆于另一点P。
求证:
P点到△ABC较远的顶点距离等于到另两个顶点距离的和。
(10082201-5.gsp)
18.在△ABC外作△DBC∽△ECA∽△FAB,联结AD、BE、CF。
求证:
AF+FB+BD+DC+CE+EA≥AD+BE+CF。
(10081601-2.gsp)
19.过△ABC内一点O引三边AB、BC、CA的平行线与其它两边的交点分别为E、F、G、H、I、K,过O作△ABC的外接圆的弦AL。
求证:
OE·OF+OG·OH+OI·OK=OA·OL。
(09042002.gsp)
20.一小圆内切大圆于点N,BA、BC是大圆的两条弦,且分别切小圆于K、M,劣弧AB和劣弧BC的中点分别为Q、P,又设△BQK、△BPM外接圆的另一个交点为B1。
求证:
BPB1Q为平行四边形。
(10082001-1.gsp)
21.圆O与圆O1、圆O2同时相切,切点为S、T,圆O1与圆O2交于A、B两点,且圆O2的圆心恰在圆O1上。
设公共弦AB延长交圆O于C、D两点,联结SC、SD分别交圆O1于P和Q。
求证:
PQ与圆O2相切。
(40届IMO)(10082001-12.gsp)
22.设KL、KN是圆O的切线,M是KN延长线上一点,过K、L、M三点的圆与圆O交于P,作NQ⊥LM于Q。
求证:
∠MPQ=2∠NML。
(98年伊朗竞赛)(10081601-5、6.gsp)(09022203.gsp)
23.设△ABC内接于圆O,过O作OE⊥BC交圆O于E,交AB于F,交AC延长线于G。
过G作圆O的切线GT,T为切点。
求证:
TF⊥GE。
(10092104.gsp)
24.已知圆O外一点P向圆O作切线PA、PB和一条割线PEF,M是EF上一点,联结BM延长交圆O于C。
求证:
AC//PEF的充要条件是M为EF中点。
(10092401-6.gsp)
25.过点P任作圆O的两条割线PAB、PCD,直线AD与BC交于Q,弦DE//PQ,BE交PQ延长线于M。
求证:
OM⊥PQ。
(10092103-1.gsp)
26.如图,设⊙O1与⊙O2交于AB两点。
AC是⊙O2的切线,交⊙O1于C点。
AD是⊙O1的切线,交⊙O2于D点。
过A任作直线,交⊙O1、⊙O2及经过A、C、D三点的圆分别于M、N、P。
求证:
AM=NP。
(10091002-6.gsp)
27.两圆圆O1和圆O2相交于M、P,过M作圆O2的切线交圆O1于A;又过M作圆O1的切线交圆O2于B,在直线MP上截取PH=MP。
求证:
四边形MAHB内接于圆。
(10091002-1.gsp)
28.已知两个半径不等的圆O1和圆O2相交于M、N两点,且圆O1和圆O2分别与圆O内切于S、T两点。
求证:
OM⊥MN的充要条件是S、N、T三点共线。
(1997年全国联赛)(10090301-3.gsp)
29.设以O为圆心的圆经过△ABC的两个顶点A和C,且与边AB、BC分别交于K和N,又设△ABC和△KBN的外接圆交于B和另一点M。
求证:
∠OMB=90°。
(1985年IMO)(10090301-1.gsp)
30.已知:
在△OAB与△OCD中,OA=OB,OC=OD,直线AB与CD交于点P,△PAC与△PBD的外接圆交于P、Q两点。
求证:
OQ⊥PQ。
(09022301.gsp)
31.已知半圆圆心为O,直径为AB,一直线交半圆于C、D,交AB延长线于P,设M是△AOC与△BOD外接圆除O点外的另一交点。
求证:
OM⊥MP。
(10091001.gsp)
32.凸四边形ABCD内接于圆O,两组对边所在直线分别交于点E、F,对角线AC、BD交于G,作GH⊥EF于H,圆O的弦MN经过G点。
求证:
GH与圆O交点恰是△HMN的内心。
(10092103-2.gsp)
33.⊙O为△ABC的外接圆,P为劣弧AB上一点,E、F分别为AC、AB延长线上的点,BE、CF交于D,PE、PF分别交⊙O于S、R。
若AD、BC、RS共点,求证:
点D在⊙O上。
(10090801.gsp)(10092103-8.gsp)
34.已知:
D、E、F分别在△ABC三边上,满足EB=ED,FC=FD,O是△ABC外心。
求证:
A、E、O、F四点共圆。
(09033102.gsp)
35.如图,设N是△ABC的BAC弧中点,M是BC边中点,I是△ABC的内心。
求证:
∠ANI=2∠IMC。
(09021701.gsp)
36.设T为△ABC的内切圆与BC边的切点,D为BC上任一点,I1、I2分别为△ABD、△ACD的内心。
求证:
TI1⊥TI2。
(10081701-9.gsp)
37.矩形ABCD中,AB=
AC。
P是以为AB直径的半圆上任意一点,PC、PD分别交AB于F、E。
求证:
AE2+BF2=AB2。
(09013001.gsp)
38.AB是圆O的直径,P是过B所作切线上的任一点,过P作圆O的割线PCE,联结直线PO分别交AC、AD于E、F。
求证:
OE=OF。
(10081001-4.gsp)
39.自圆O外一点P作切线PA、PB及割线PCD,自C作PA的平行线,分别交AB、AD于E、F。
求证:
CE=EF。
(10081001-5.gsp)
40.A为圆O上一点,B为圆外一点,BC、BD分别相切圆O于C、D,DE垂直AO于E,DE分别交AB、AC于F、G。
求证:
DF=FG。
(09042001.gsp)
41.P为圆外一点,PA、PD为切线,PCE为割线。
过D作PA的平行线,分别与AC延长线及线段AE交于B、F。
求证:
D为BF中点。
(09031302.gsp)
42.已知P、Q是等腰三角形ABC(AB=AC)内两点,满足∠ABP=∠QCB,且∠ACP=∠QBC。
求证:
A、P、Q三点共线。
(10090101-1.gsp)
43.已知锐角△ABC中,AD是高,O是外心,AO的延长线交过O、B、C三点的圆于P,自P作PE⊥AB于E,PF⊥AC于F。
求证:
DEPF是平行四边形。
(10091701.gsp)
44.已知E、F是圆内接四边形ABCD对边AB、CD的中点,M是EF的中点,自E分别作BC、AD的垂线,垂足记为P、Q。
求证:
MP=MQ。
(10091701-1.gsp)
45.AD为△ABC内角平分线,I1、I2为△ABD、△ACD的内心,以I1I2为底向BC边作等腰△EI1I2,使得∠I1EI2=
∠BAC。
求证:
DE⊥BC。
(10081701-1.gsp)
46.已知P是凸四边形内一点,满足∠PAB=∠CAD,∠PCB=∠ACD。
求证:
PB=PD的充要条件是ABCD四点共圆。
(2004年IMO)(10091701-6.gsp)(09030801.gsp)
47.已知D是△ABC底边BC上任一点,P是形内一点,满足∠1=∠2,∠3=∠4。
求证:
(PB/PC)=(AB/AC)。
(09030801.gsp)
48.已知:
D是△ABC的BC中垂线上一点,I1、I2是△ABD、△ACD的内心,E是△ABC外接圆弧BAC的中点。
求证:
A、E、I1、I2四点共圆。
(08081201.gsp)
49.如图,△ABC中,M为BC的中点,以AM为直径的圆分别与AB、AC交于E、F两点,圆在E、F两点的切线交于点D。
求证:
DM⊥BC。
(09013101.gsp)
50.已知:
⊙O两切线PA、PB和一割线PCD,AD、AP交C处的切线于E、F,BE交DF于K。
求证:
K在圆O上。
(09022201.gsp)
51.设⊙O1与⊙O2交于C、D。
过D的直线交⊙O1与⊙O2于A、B。
点P在弧AD上,PD与AC的延长线交于M,Q在弧BD上,QD与BC的延长线交于N,O为△ABC外心。
求证:
MN⊥OD是P、Q、M、N四点共圆的充要条件。
(09020401.gsp)
52.设X是P点的Simson线关于△ABC的垂极点。
求证:
XP被Simson线所平分。
(09031903.gsp)
53.已知:
AD是高,O、H是外心和垂心,过D作OD垂线,交AC于E。
求证:
∠DHE=∠C。
(09022202.gsp)
54.△ABC中,AD为边BC上的中线,E、F、G分别为AB、AC、AD上的点,且A、E、G、F四点共圆。
设△BDE外心为O1、半径为r1;△CDF外心为O2、半径为r2。
求证:
GO12+GO22=r12+r22。
(09031401.gsp)
55.已知P是△ABC内一点,A1、B1、C1分别是圆弧BPC、CPA、APB的中点。
求证:
P、A1、B1、C1四点共圆。
(09042401.gsp)
56.给定△ABC,D、E、F是边BC、CA、AB上的任意三点,M、N分别是△BDF、△CDE的外心。
P、Q分别是BC、MN上的点,满足(BP/PC)=(MQ/QN)。
AP与⊙AEF相交于R点。
求证:
(1)QR=QD;
(2)∠RQD=2∠APC。
(09042601.gsp)
57.已知⊙O1与⊙O2交于C、D两点,A、B分别是两圆上的点,满足PA=PB,E、F是弧AQ、BQ中点。
求证:
C、D、E、F四点共圆。
(09022001.gsp)
58.△ABC中,D、E、F是边BC、CA、AB的中点,X、Y、Z是各边上高的垂足,EZ与FY交于L,FX与DZ交于M,DY与EX交于N。
求证:
L、M、N三点共线。
(10092101.gsp)
59.设△ABC的内切圆分别与三边切于D、E、F,联结AD交内切圆于另一点P,联PB、PE、PF。
求证:
PF//BC的充要条件是∠BPD=∠EPD。
(10091002-7.gsp)
60.已知△ABC和任意直线d,自A、B、C作d的垂线,垂足分别为A'、B'、C';再自A'、B'、C'分别作对边BC、CA、AB的垂线,设这三条垂线共点于H。
在d上任取一个动点M,自M作d的垂线,分别交AB、AC所在直线于K、L。
在线段BK、CL及HA'延长线上分别取分点P、Q、X,满足(BP/PK)=(CQ/QL)=(HA'/A'X)。
求证:
XM⊥PQ。
(09031602.gsp)
61.已知ABCD是等腰梯形,P是其底边BC上任意一点,E、F两点分别位于AB、AC上,满足EB=EP,FP=FC。
联接EF,并作P点关于EF的轴对称点Q。
求证:
DQ⊥PQ。
(09041401.gsp)
62.设D、E分别为△ABC的边AB、BC上的点,P是△ABC内一点,且PE=PC,△DEP∽△PCA。
求证:
BP是△PAD的外接圆的切线。
(09040601.gsp)
63.在凸四边形ABCD中,∠DCA与∠CDB的外角平分线分别是边CB与DA,E、F分别为AC、BD的延长线上的点,且C、E、F、D四点共圆。
平面上的一点P使得DA是∠PDE的外角平分线,CB是∠PCF的外角平分线。
边AD与BC所在直线交于点Q。
求证:
点P在边AB上的充分必要条件是点Q在线段EF上。
(09033001.gsp)
64.平面上有四个点A1、A2、A3、A4,其中任意三个点都不在一条直线上。
并且它们满足:
A1A2×A3A4=A1A3×A2A4=A1A4×A2A3。
对于任意{i,j,k,l}={1,2,3,4},我们设Oi为△AjAkAl的外心。
若对于1≤i≤4均有Ai≠Oi,证明:
四条直线AiOi平行或共点。
(09030602.gsp)
65.圆O1和圆O2相交于P、Q两点,AB是两圆的外公切线,BP、AP分别交另一圆于C、D,直线AC、BD交于X点,过X、A、B三点的圆与过X、C、D三点的圆交于另一点M。
求证:
∠MBX=∠MQP。
(10082901-1.gsp)
66.在任意△ABC的BC边下方取D点,满足∠ABD=∠ACD=120°,并作正三角形EBC。
求证:
△ABC的Euler线平行于DE。
(10073102.gsp)
67.已知M、N是四边形ABCD对边AD、BC上任意两点,E、F是对边AB、CD上两点,满足(AE/EB)=(CF/FD)=(AM/MD)*(CN/NB),AN、BM交于P,CM、DN交于Q。
求证:
PQ//EF。
(10082601-3.gsp)
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