基础博弈.docx
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基础博弈
取石子问题就是博弈问题;这是源自我国古代民间的一种游戏,具体就是有物体若
干堆,可以是火柴棍或是围棋子等等均可。
两个人轮流从堆中取物体若干,规定最后
取光物体者取胜。
真是一个简单又复杂的问题:
(一)巴什博奕(BashGame):
只有一堆n个物品,两个人轮流从这堆物品中取物,规
定每次至少取一个,最多取m个。
最后取光者得胜。
显然,如果n=m+1,那么由于一次最多只能取m个,所以,无论先取者拿走多少个,
后取者都能够一次拿走剩余的物品,后者取胜。
因此我们发现了如何取胜的法则:
如果
n=(m+1)r+s,(r为任意自然数,s≤m),那么先取者要拿走s个物品,如果后取者拿走
k(≤m)个,那么先取者再拿走m+1-k个,结果剩下(m+1)(r-1)个,以后保持这样的
取法,那么先取者肯定获胜。
总之,要保持给对手留下(m+1)的倍数,就能最后获胜。
这个游戏还可以有一种变相的玩法:
两个人轮流报数,每次至少报一个,最多报十
个,谁能报到100者胜。
if(n%(m+1)==0)
printf("后者V5!
\n");
else
printf("前者V5!
\n");
(二)威佐夫博奕(WythoffGame):
有两堆各若干个物品,两个人轮流从某一堆或同
时从两堆中取同样多的物品,规定每次至少取一个,多者不限,最后取光者得胜。
这种情况下比较复杂的,是用(ak,bk)(ak≤bk,k=0,1,2,…,n)表示
两堆物品的数量并称其为局势,如果甲面对(0,0),那么甲已经输了,这种局势我们
称为奇异局势。
前几个奇异局势是:
a0+0=b0:
(0,0)、
a1+1=b1:
(1,2)、
a2+2=b2:
(3,5)、
a3+3=b3:
(4,7)、
a4+4=b4:
(6,10)、
a5+5=b5:
(8,13)、
a6+6=b6:
(9,15)、
a7+7=b7:
(11,18)、
a8+8=b8:
(12,20)。
可以看出,a0=b0=0,ak是未在前面出现过的最小自然数,而bk=ak+k,奇异局势有
如下三条性质:
1。
任何自然数都包含在一个且仅有一个奇异局势中。
由于ak是未在前面出现过的最小自然数,所以有ak>ak-1,而bk=ak+k>ak
-1+k-1=bk-1>ak-1。
所以性质1.成立。
2。
任意操作都可将奇异局势变为非奇异局势。
事实上,若只改变奇异局势(ak,bk)的某一个分量,那么另一个分量不可能在其
他奇异局势中,所以必然是非奇异局势。
如果使(ak,bk)的两个分量同时减少,则由
于其差不变,且不可能是其他奇异局势的差,因此也是非奇异局势。
3。
采用适当的方法,可以将非奇异局势变为奇异局势。
假设面对的局势是(a,b),若b=a,则同时从两堆中取走a个物体,就变为了
奇异局势(0,0);如果a=ak,b>bk,那么,取走b–bk个物体,即变为奇异局
势;如果a=ak,b 势(ab–ak,ab–ak+b–ak);如果a>ak,b=ak+k,则从第一堆中拿走多余 的数量a–ak即可;如果a 从第二堆里面拿走b–bj即可;第二种,a=bj(j j即可。 从如上性质可知,两个人如果都采用正确操作,那么 面对非奇异局势,先拿者必胜;反之,则后拿者取胜。 那么任给一个局势(a,b),怎样判断它是不是奇异局势呢? 我们有如下公式: ak=[k(1+√5)/2],bk=ak+k(k=0,1,2,…,n方括号表示取整函数) 奇妙的是其中出现了黄金分割数(1+√5)/2=1.618……,因此,由ak,bk组成的矩形近 似为黄金矩形,由于2/(1+√5)=(√5-1)/2,可以先求出j=[a(√5-1)/2],若a=[ j(1+√5)/2],那么a=aj,bj=aj+j,若不等于,那么a=aj+1,bj+1=aj+1 +j+1,若都不是,那么就不是奇异局势。 然后再按照上述法则进行,一定会遇到奇异 局势。 (三)尼姆博奕(NimmGame): 有三堆各若干个物品,两个人轮流从某一堆取任意多的 物品,规定每次至少取一个,多者不限,最后取光者得胜。 这种情况最有意思,它与二进制有密切关系,我们用(a,b,c)表示某种局势,首 先(0,0,0)显然是奇异局势,无论谁面对奇异局势,都必然失败。 第二种奇异局势是 (0,n,n),只要与对手拿走一样多的物品,最后都将导致(0,0,0)。 仔细分析一 下,(1,2,3)也是奇异局势,无论对手如何拿,接下来都一定可以变为(0,n,n)的情 形。 计算机算法里面有一种叫做按位模2加,也叫做异或的运算,我们用符号(^)表示 这种运算。 这种运算和一般加法不同的一点是1^1=0。 先看(1,2,3)的按位模2加的结 果: (^就是每一对应的位,相同的时候是0,不同的时候是1,即1^0=00000000000000000000000000000001) 1=二进制01 2=二进制10 3=二进制11(^) ——————— 0=二进制00(注意不进位) 对于奇异局势(0,n,n)也一样,结果也是0。 任何奇异局势(a,b,c)都有a(^)b(^)c=0。 如果我们面对的是一个非奇异局势(a,b,c),要如何变为奇异局势呢? 假设 a a(^)b(^)(a(^)b)= (a(^)a)(^)(b(^)b)= 0(^)0=0。 要将c变为a(^)b, 只要从c中减去c-(a(^)b)即可。 例1。 (14,21,39),14(^)21=27,39-27=12,所以从39中拿走12个物体即可达 到奇异局势(14,21,27)。 例2。 (55,81,121),55(^)81=102,121-102=19,所以从121中拿走19个物品 就形成了奇异局势(55,81,102)。 例3。 (29,45,58),29(^)45=48,58-48=10,从58中拿走10个,变为(29,4 5,48)。 例4。 我们来实际进行一盘比赛看看: 甲: (7,8,9)->(1,8,9)奇异局势 乙: (1,8,9)->(1,8,4) 甲: (1,8,4)->(1,5,4)奇异局势 乙: (1,5,4)->(1,4,4) 甲: (1,4,4)->(0,4,4)奇异局势 乙: (0,4,4)->(0,4,2) 甲: (0.4,2)->(0,2,2)奇异局势 乙: (0,2,2)->(0,2,1) 甲: (0,2,1)->(0,1,1)奇异局势 乙: (0,1,1)->(0,1,0) 甲: (0,1,0)->(0,0,0)奇异局势 甲胜。 取火柴的游戏 题目1: 今有若干堆火柴,两人依次从中拿取,规定每次只能从一堆中取若干根, 可将一堆全取走,但不可不取,最后取完者为胜,求必胜的方法。 题目2: 今有若干堆火柴,两人依次从中拿取,规定每次只能从一堆中取若干根, 可将一堆全取走,但不可不取,最后取完者为负,求必胜的方法。 嘿嘿,这个游戏我早就见识过了。 小时候用珠算玩这个游戏: 第一档拨一个,第二档拨两个,依次直到第五档拨五个。 然后两个人就轮流再把棋子拨下来,谁要是最后一个拨谁就赢。 有一次暑假看见两个小孩子在玩这个游戏,我就在想有没有一个定论呢。 下面就来试着证明一下吧 先解决第一个问题吧。 定义: 若所有火柴数异或为0,则该状态被称为利他态,用字母T表示;否则, 为利己态,用S表示。 [定理1]: 对于任何一个S态,总能从一堆火柴中取出若干个使之成为T态。 证明: 若有n堆火柴,每堆火柴有A(i)根火柴数,那么既然现在处于S态, c=A (1)xorA (2)xor…xorA(n)>0; 把c表示成二进制,记它的二进制数的最高位为第p位,则必然存在一个A(t),它二进制的第p位也是1。 (否则,若所有的A(i)的第p位都是0,这与c的第p位就也为0矛盾)。 那么我们把x=A(t)xorc,则得到x
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