最新山东省高考文科数学真题及答案资料.docx
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最新山东省高考文科数学真题及答案资料
2014年山东省高考数学试卷(文科)
一.选择题每小题5分,共50分
1.(5分)已知a,b∈R,i是虚数单位,若a+i=2﹣bi,则(a+bi)2=( )
A.3﹣4iB.3+4iC.4﹣3iD.4+3i
2.(5分)设集合A={x|x2﹣2x<0},B={x|1≤x≤4},则A∩B=( )
A.(0,2]B.(1,2)C.[1,2)D.(1,4)
3.(5分)函数f(x)=的定义域为( )
A.(0,2)B.(0,2]C.(2,+∞)D.[2,+∞)
4.(5分)用反证法证明命题“设a,b为实数,则方程x3+ax+b=0至少有一个实根”时,要做的假设是( )
A.方程x3+ax+b=0没有实根
B.方程x3+ax+b=0至多有一个实根
C.方程x3+ax+b=0至多有两个实根
D.方程x3+ax+b=0恰好有两个实根
5.(5分)已知实数x,y满足ax<ay(0<a<1),则下列关系式恒成立的是( )
A.x3>y3B.sinx>siny
C.ln(x2+1)>ln(y2+1)D.>
6.(5分)已知函数y=loga(x+c)(a,c为常数,其中a>0,a≠1)的图象如图所示,则下列结论成立的是( )
A.a>1,c>1B.a>1,0<c<1C.0<a<1,c>1D.0<a<1,0<c<1
7.(5分)已知向量=(1,),=(3,m),若向量,的夹角为,则实数m=( )
A.2B.C.0D.﹣
8.(5分)为了研究某药品的疗效,选取若干名志愿者进行临床试验.所有志愿者的舒张压数据(单位:
kPa)的分组区间为[12,13),[13,14),[14,15),[15,16),[16,17],将其按从左到右的顺序分别编号为第一组,第二组,…,第五组.如图是根据试验数据制成的频率分布直方图.已知第一组与第二组共有20人,第三组中没有疗效的有6人,则第三组中有疗效的人数为( )
A.6B.8C.12D.18
9.(5分)对于函数f(x),若存在常数a≠0,使得x取定义域内的每一个值,都有f(x)=f(2a﹣x),则称f(x)为准偶函数,下列函数中是准偶函数的是( )
A.f(x)=B.f(x)=x2C.f(x)=tanxD.f(x)=cos(x+1)
10.(5分)已知x,y满足约束条件,当目标函数z=ax+by(a>0,b>0)在该约束条件下取到最小值2时,a2+b2的最小值为( )
A.5B.4C.D.2
二.填空题每小题5分,共25分
11.(5分)执行如图所示的程序框图,若输入的x的值为1,则输出的n的值为 .
12.(5分)函数y=sin2x+cos2x的最小正周期为 .
13.(5分)一个六棱锥的体积为2,其底面是边长为2的正六边形,侧棱长都相等,则该六棱锥的侧面积为 .
14.(5分)圆心在直线x﹣2y=0上的圆C与y轴的正半轴相切,圆C截x轴所得弦的长为2,则圆C的标准方程为 .
15.(5分)已知双曲线﹣=1(a>0,b>0)的焦距为2c,右顶点为A,抛物线x2=2py(p>0)的焦点为F,若双曲线截抛物线的准线所得线段长为2c,且|FA|=c,则双曲线的渐近线方程为 .
三.解答题共6小题,共75分
16.(12分)海关对同时从A,B,C三个不同地区进口的某种商品进行抽样检测,从各地区进口此商品的数量(单位:
件)如表所示.工作人员用分层抽样的方法从这些商品中共抽取6件样品进行检测.
地区
A
B
C
数量
50
150
100
(Ⅰ)求这6件样品来自A,B,C各地区商品的数量;
(Ⅱ)若在这6件样品中随机抽取2件送往甲机构进行进一步检测,求这2件商品来自相同地区的概率.
17.(12分)△ABC中,角A,B,C所对的边分别为a,b,c.已知a=3,cosA=,B=A+.
(Ⅰ)求b的值;
(Ⅱ)求△ABC的面积.
18.(12分)如图,四棱锥P﹣ABCD中,AP⊥平面PCD,AD∥BC,AB=BC=AD,E,F分别为线段AD,PC的中点.
(Ⅰ)求证:
AP∥平面BEF;
(Ⅱ)求证:
BE⊥平面PAC.
19.(12分)在等差数列{an}中,已知公差d=2,a2是a1与a4的等比中项.
(Ⅰ)求数列{an}的通项公式;
(Ⅱ)设bn=a,记Tn=﹣b1+b2﹣b3+b4﹣…+(﹣1)nbn,求Tn.
20.(13分)设函数f(x)=alnx+,其中a为常数.
(Ⅰ)若a=0,求曲线y=f(x)在点(1,f
(1))处的切线方程;
(Ⅱ)讨论函数f(x)的单调性.
21.(14分)在平面直角坐标系xOy中,椭圆C:
+=1(a>b>0)的离心率为,直线y=x被椭圆C截得的线段长为.
(Ⅰ)求椭圆C的方程;
(Ⅱ)过原点的直线与椭圆C交于A,B两点(A,B不是椭圆C的顶点).点D在椭圆C上,且AD⊥AB,直线BD与x轴、y轴分别交于M,N两点.
(i)设直线BD,AM的斜率分别为k1,k2,证明存在常数λ使得k1=λk2,并求出λ的值;
(ii)求△OMN面积的最大值.
2014年山东省高考数学试卷(文科)
参考答案与试题解析
一.选择题每小题5分,共50分
1.(5分)(2014•山东)已知a,b∈R,i是虚数单位,若a+i=2﹣bi,则(a+bi)2=( )
A.3﹣4iB.3+4iC.4﹣3iD.4+3i
【分析】利用两个复数相等的充要条件求得a、b的值,再利用两个复数代数形式的乘法法则求得(a+bi)2的值.
【解答】解:
∵a+i=2﹣bi,∴a=2、b=﹣1,则(a+bi)2=(2﹣i)2=3﹣4i,
故选:
A.
2.(5分)(2014•山东)设集合A={x|x2﹣2x<0},B={x|1≤x≤4},则A∩B=( )
A.(0,2]B.(1,2)C.[1,2)D.(1,4)
【分析】分别解出集合A和B,再根据交集的定义计算即可.
【解答】解:
A={x|0<x<2},B={x|1≤x≤4},
∴A∩B={x|1≤x<2}.
故选:
C.
3.(5分)(2014•山东)函数f(x)=的定义域为( )
A.(0,2)B.(0,2]C.(2,+∞)D.[2,+∞)
【分析】分析可知,,解出x即可.
【解答】解:
由题意可得,,
解得,即x>2.
∴所求定义域为(2,+∞).
故选:
C.
4.(5分)(2014•山东)用反证法证明命题“设a,b为实数,则方程x3+ax+b=0至少有一个实根”时,要做的假设是( )
A.方程x3+ax+b=0没有实根
B.方程x3+ax+b=0至多有一个实根
C.方程x3+ax+b=0至多有两个实根
D.方程x3+ax+b=0恰好有两个实根
【分析】直接利用命题的否定写出假设即可.
【解答】解:
反证法证明问题时,反设实际是命题的否定,
∴用反证法证明命题“设a,b为实数,则方程x3+ax+b=0至少有一个实根”时,要做的假设是:
方程x3+ax+b=0没有实根.
故选:
A.
5.(5分)(2014•山东)已知实数x,y满足ax<ay(0<a<1),则下列关系式恒成立的是( )
A.x3>y3B.sinx>siny
C.ln(x2+1)>ln(y2+1)D.>
【分析】本题主要考查不等式的大小比较,利用函数的单调性的性质是解决本题的关键.
【解答】解:
∵实数x,y满足ax<ay(0<a<1),∴x>y,
A.当x>y时,x3>y3,恒成立,
B.当x=π,y=时,满足x>y,但sinx>siny不成立.
C.若ln(x2+1)>ln(y2+1),则等价为x2>y2成立,当x=1,y=﹣1时,满足x>y,但x2>y2不成立.
D.若>,则等价为x2+1<y2+1,即x2<y2,当x=1,y=﹣1时,满足x>y,但x2<y2不成立.
故选:
A.
6.(5分)(2014•山东)已知函数y=loga(x+c)(a,c为常数,其中a>0,a≠1)的图象如图所示,则下列结论成立的是( )
A.a>1,c>1B.a>1,0<c<1C.0<a<1,c>1D.0<a<1,0<c<1
【分析】根据对数函数的图象和性质即可得到结论.
【解答】解:
∵函数单调递减,∴0<a<1,
当x=1时loga(x+c)=loga(1+c)<0,即1+c>1,即c>0,
当x=0时loga(x+c)=logac>0,即c<1,即0<c<1,
故选:
D.
7.(5分)(2014•山东)已知向量=(1,),=(3,m),若向量,的夹角为,则实数m=( )
A.2B.C.0D.﹣
【分析】由条件利用两个向量的夹角公式、两个向量的数量积公式,求得m的值.
【解答】解:
由题意可得cos===,
解得m=,
故选:
B.
8.(5分)(2014•山东)为了研究某药品的疗效,选取若干名志愿者进行临床试验.所有志愿者的舒张压数据(单位:
kPa)的分组区间为[12,13),[13,14),[14,15),[15,16),[16,17],将其按从左到右的顺序分别编号为第一组,第二组,…,第五组.如图是根据试验数据制成的频率分布直方图.已知第一组与第二组共有20人,第三组中没有疗效的有6人,则第三组中有疗效的人数为( )
A.6B.8C.12D.18
【分析】由频率=以及直方图可得分布在区间第一组与第二组共有20人的频率,即可求出第三组中有疗效的人数得到答案;
【解答】解:
由直方图可得分布在区间第一组与第二组共有20人,分布在区间第一组与第二组的频率分别为0.24,0.16,所以第一组有12人,第二组8人,第三组的频率为0.36,所以第三组的人数:
18人,
第三组中没有疗效的有6人,
第三组中有疗效的有12人.
故选:
C.
9.(5分)(2014•山东)对于函数f(x),若存在常数a≠0,使得x取定义域内的每一个值,都有f(x)=f(2a﹣x),则称f(x)为准偶函数,下列函数中是准偶函数的是( )
A.f(x)=B.f(x)=x2C.f(x)=tanxD.f(x)=cos(x+1)
【分析】由题意判断f(x)为准偶函数的对称轴,然后判断选项即可.
【解答】解:
对于函数f(x),若存在常数a≠0,使得x取定义域内的每一个值,都有f(x)=f(2a﹣x),则称f(x)为准偶函数,
∴函数的对称轴是x=a,a≠0,
选项A函数没有对称轴;选项B、函数的对称轴是x=0,选项C,函数没有对称轴.
函数f(x)=cos(x+1),有对称轴,且x=0不是对称轴,选项D正确.
故选:
D.
10.(5分)(2014•山东)已知x,y满足约束条件,当目标函数z=ax+by(a>0,b>0)在该约束条件下取到最小值2时,a2+b2的最小值为( )
A.5B.4C.D.2
【分析】由约束条件正常可行域,然后求出使目标函数取得最小值的点的坐标,代入目标函数得到2a+b﹣2=0.a2+b2的几何意义为坐标原点到直线2a+b﹣2=0的距离的平方,然后由点到直线的距离公式得答案.
【解答】解:
由约束条件作可行域如图,
联立,解得:
A(2,1).
化目标函数为直线方程得:
(b>0).
由图可知,当直线过A点时,直线在y轴上的截距最小,z最小.
∴2a+b=2.
即2a+b﹣2=0.
则a2+b2的最小值为.
故选:
B.
二.填空题每小题5分,共25分
11.(5分)(2014•山东)执行如图所示的程序框图,若输入的x的值为1,则输出的n的值为 3 .
【分析】计算循环中不等
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