高二数学 上学期简单的线性规划习题六.docx

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高二数学上学期简单的线性规划习题六

高二数学上学期简单的线性规划习题六

［例1］已知x、y满足不等式组

，试求z=300x+900y的最大值时的整点的坐标，及相应的z的最大值.

分析：

先画出平面区域，然后在平面区域内寻找使z=300x+900y取最大值时的整点.

解：

如图所示平面区域AOBC，点A（0，125），点B（150，0），点C的坐标由方程组

得C（

），

令t=300x+900y，

即y=-

欲求z=300x+900y的最大值，即转化为求截距

的最大值，从而可求t的最大值，因直线y=-

与直线y=-

x平行，故作与y=-

x的平行线，当过点A（0，125）时，对应的直线的截距最大，所以此时整点A使z取最大值，zmax=300×0+900×125=112500.

［例2］求z=600x+300y的最大值，使式中的x,y满足约束条件

的整数值.

分析：

画出约束条件表示的平面区域即可行域再解.

解：

可行域如图所示：

四边形AOBC，易求点A（0，126），B（100，0）由方程组：

得点C的坐标为（69

91

）

因题设条件要求整点（x,y）使z=600x+300y取最大值，将点（69，91），（70，90）代入z=600x+300y，可知当

时，z取最大值为zmax=600×70+300×900=69000.

［例3］已知x、y满足不等式

求z=3x+y的最小值.

分析：

可先找出可行域，平行移动直线l0:

3x+y=0，找出可行解，进而求出目标函数的最小值.

解：

不等式x+2y≥2，表示直线x+2y=2上及右上方的点的集合；

不等式2x+y≥1表示直线2x+y=1上及右上方的点的集合.

可行域如图所示：

作直线l0:

3x+y=0，作一组与直线l0平行的直线l:

3x+y=t,（t∈R）.

∵x、y是上面不等式组表示的区域内的点的坐标.

由图可知：

当直线l:

3x+y=t通过P（0，1）时，t取到最小值1，即zmin=1.

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