实验一低通采样定理和内插与抽取实现a.docx

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实验一低通采样定理和内插与抽取实现a

实验一：

低通采样定理和内插与抽取实现

1.实验目的

1.连续信号和系统的表示方法，以及坊真方法。

2.用MATLAB实现连续信号采用与重构的方法，

3.采样信号的插值和抽取等重采样实现方法。

4.用时域采样信号重构连续时域信号的原理和方法。

5.用MATLAB绘图函数表示信号的基本方法，实验数据的可视化表示。

2.原理

1、时域抽样定理

令连续信号xa（t）的傅里叶变换为Xa（ji」）,抽样脉冲序列p（t）傅里叶变换为Pj」）,抽样后的信号xA（t）的傅里叶变换为XV1）若采用均匀抽样,抽样周期Ts,抽样频率为门s=2二fs,由前面分析可知：

抽样的过程可以通过抽样脉冲序列p（t）与连续信号xa（t）相乘来完成，即满足:

xA（t）=xa（t）p（t），又周期信号f（t）傅里叶变换为：

m

I'lf（i）/=二心可\（Wf

jn=—-oa

故可以推得p（t）的傅里叶变换为：

P（5^）=2nc-"dH

J>=-—

其中：

pn=月zpDlat

根据卷积定理可知：

X（g=p（jo）

得到抽样信号x（t）的傅里叶变换为：

严W

X（jQ）=。

一«Qj/

n=—e

其表明:

信号在时域被抽样后，他的频谱X（j门）是连续信号频谱X（j门）的形状以抽样频率门为间隔周期重复而得到，在重复过程中幅度被p（t）的傅里叶级数Pn加权。

因为Pn只是n的函数，所以Xj」）在重复的过程中不会使其形状发生变化。

假定信号x（t）的频谱限制在亠m~+「m的范围内,若以间隔Ts对xa（t）进行抽样,可知抽样信号XA（t）的频谱XW"）是以门s为周期重复。

显然，若在抽样的过程中门s<2im,则XT门）将发生频谱混叠现象，只有在抽样的过程中满足11s>=2「m条件,XW门）才不会产生频谱的混叠，接收端完全可以由xA（t）恢复原连续信号xa（t）,这就是低通信号抽样定理的核心内容。

2、信号的重建

从频域看，设信号最高频率不超过折叠频率

Xa（j门）=Xa（j门）『s/2

Xa『」）=0p|>门s/2

则理想取样后的频谱就不会产生混叠，故有：

■90-

Ar（j=J,2ZA：

.

■«—

jtijII£^/2

让取样信号xA（t）通过一带宽等于折叠频率的理想低通滤波器

H（j"）=T|门s/2

H（j「）=0|门|>「s/2

滤波器只允许通过基带频谱，即原信号频谱，故：

Y（j门）=XA（j门）H（j门）=Xa（j门）

因此在滤波器的输出得到了恢复的原模拟信号：

y（t）=xa（t）

从时域上看，上述理想的低通滤波器的脉冲响应为

JT

mu于*

□n:

根据卷积公式可求得理想低通滤波器的输出为

y（t）—nT）ha（t—nT）

由上式显然可得

ha（t-nT）=sin（nT）/（^/T）（t-nT）

上式表明只要满足取样频率高于两倍信号最高频率，连续时间函数xa（t）就可用他的取样值xa（nT）来表达而不损失任何信息，这时只要把每一个取样瞬时值与内插函数式相乘求和即可得出xa（t）,在每一取样点上，由于只有该取样值所对应的内插函数式不为零，所以各个取样点上的信号值不变。

1•设计连续时间信号线性滤波器分离信号组份

99

已知信号xt[=為（m1）cos2二（100m50）t，试设计滤波器，分离出如下信号:

m^0

（1）m=1,2,3……50

（2）m=51,52,53……100

（3）m=40,41,42……60

（4）m=1,2,3……40,61,62……100

据以下采样频率：

（a）fs=20000Hz（b）f^10000Hz（c）f^30000Hz

求信号频谱及相应的滤波器。

参考程序如下:

设计一个Butterworth模拟带通滤波器，设计指标为：

通带频率：

1000-

2000Hz,两侧过渡带宽500Hz,通带波纹1dB,阻带衰减100dB假设一个信号,其中f1=100Hz,f2=1500Hz,f3=2900Hz。

信号的采样频率为10000Hz=试将原信号与通过该滤波器的模拟信号进行比较。

参考程序如下：

wp=[10002000]*2*pi;ws=[5002500]*2*pi;Rp=1;Rs=100;%滤波器设计参数，对于给

定Hz应乘以2

[N,Wn]=buttord（wp,ws,Rp,Rs,'s'）;%求得滤波器的最小阶数和截止频率

w=linspace（1,3000,1000）*2*pi;%设置绘制频率响应的频率点

[b,a]=butter（N,Wn,'s'）;%设计模拟Butterworth滤波器

H=freqs（b,a,w）;%计算给定频率点的复数频率响应

magH=abs（H）;phaH=unwrap（angle（H））;%计算幅频响应和相频响应

plot（w/（2*pi）,20*log10（magH））;%以频率为横坐标绘制幅频响应

xlabel（'频率/Hz'）;ylabel（'振幅/dB'）;

title（'Butterworth模拟带通滤波器'）;

holdon;plot（[10001000],ylim,'r'）;plot（[20002000],ylim,'r'）;%绘带边界

gridon

figure

（2）

dt=1/1OOOO;%模拟信号采样间隔

f1=100;f2=1500;f3=2900;%输入信号的三个频率成分

t=O:

dt:

O.O4;%给定模拟时间段

x=sin（2*pi*f1*t）+0.5*cos（2*pi*f2*t）+0.5*sin（2*pi*f3*t）;%输入信号

H=[tf（b,a）];%滤波器在MATLAB系统中的表示

[y,t1]=lsim（H,x,t）;%模拟输出

subplot（2,1,1）,plot（t,x）,title（'输入信号'）%绘出输入信号

subplot（2,1,2）,plot（t1,y）%绘制输出信号

title（'输出信号'）,xlabel（'时间/s'）

2.连续时间信号的采样和重建

99

已知信号xt（m1）cos2二（100m-50）t，试以f^20000Hz采样频率对该

mzQ

信号采样，并用插值公式重建该信号。

参考程序：

1、分别用150HZ及300HZ对信号采样

源信号为：

fa=5*sin（2*pi*40*t1）+1.8*sin（4*pi*40*t1）+0.8*sin（5*pi*40*t1），用150Hz的频率

对f（t）进行采样，其采样图如图1所示；用300Hz的频率对f（t）进行采样，其采样图如图2所示。

程序如下：

fs仁150;

t1=-0.1:

1/fs1:

0.1;

fa=5*sin（2*pi*40*t1）+1.8*sin（4*pi*40*t1）+0.8*sin（5*pi*40*t1）;figure

（1）;plot（t1,fa）,xlabel（'fs1=150Hz时,fa采样时域图'）;

holdoff;

fs2=300;

t2=-0.1:

1/fs2:

0.1;

fb=5*sin（2*pi*40*t2）+1.8*sin（4*pi*40*t2）+0.8*sin（5*pi*40*t2）;

figure

（2）;plot（t2,fb）,xlabel（'fs2=300Hz时,fb采样时域图'）;

图1150HZ采样频率对信号采样图

8

6

4

2

0

-2

-4

-6

-8

-0.1-0.08-0.06-0.04-0.0200.020.040.060.080.1

fs2=300Hz时,fb采样时域图

图2300HZ采样频率对信号采样图

2、对信号进行快速离散傅里叶变换

将两个采样信号进行快速离散傅里叶变换（FFT）,用150Hz的频率对f（t）进行采样，其采样后快速傅立叶变换频谱图图3所示；用300Hz的频率对f（t）进行

采样，其采样后快速傅立叶变换频谱图图4所示。

程序如下：

f=40;fs=150;

N=300;k=0:

N-1;

t=-0.1:

1/fs:

0.1;

w1=150*k/N;

fa=5*sin（2*pi*f*t）+1.8*sin（4*pi*f*t）+0.8*sin（5*pi*f*t）;

xfa=fft（fa,N）;xf1=abs（xfa）;

figure

（1）;plot（w1,xf1）,xlabel（'fs=150Hz时,fa经fft后频谱图.单位：

Hz'）;

f=40;fs=300;

N=300;k=0:

N-1;

t=-0.1:

1/fs:

0.1;

w2=300*k/N

fb=5*sin（2*pi*f*t）+1.8*sin（4*pi*f*t）+0.8*sin（5*pi*f*t）;

xfb=fft（fb,N）;xf2=abs（xfb）;

figure

（2）;plot（w2,xf2）,xlabel（'fs=300Hz时,fb经fft后频谱图.单位：

Hz'）;

80

70

60

50

40

30

20

10

0

图4300HZ采样后经FFT后频谱图

3、信号的重建

我们可以通过利用内插法把原信号从采样信号中恢复出来，观察信号在满足怎样的采样条件下能够恢复为原信号，图5和图6分别为恢复后的原信号

程序如下：

Wm=180*pi;Wc=Wm;

fs仁150;Ws=2*pi*fs1;

n=-800:

800;nTs1=n/fsl;

fa=5.1*sin（2*pi*40*nTs1）+1.8*sin（4*pi*40*nTs1）+0.8*sin（5*pi*40*nTs1）;Dt=1/fs1;t1=-0.1:

Dt:

0.1;

fa仁fa/fs1*Wc/pi*sinc（（Wc/pi）*（ones（length（nTs1）,1）*t1-nTs1'*ones（1,length（t1）））;

figure

（1）;plot（t1,fa1）;

axis（[-0.10.1-88]）;

xlabel（'fs=150Hz时,fa利用内插由样本重建原信号图.'）;

Wm=180*pi;Wc=Wm;

fs2=300;Ws=2*pi*fs2;

n=-800:

800;nTs2=n/fs2;

fb=5.1*sin（2*pi*40*nTs2）+1.8*sin（4*pi*40*nTs2）+0.8*sin（5*pi*40*nTs2）;

Dt=1/fs2;t1=-0.1:

Dt:

0.1;

fb仁fb/fs2*Wc/pi*sinc（（Wc/pi）*（ones（length（nTs2）,1）*t1-nTs2'*ones（1,length（t1）））;

figure

（2）;plot（t1,fb1）;

axis（[-0.10.1-88]）;

xlabel（'fs=300Hz时,fb利用内插由样本重建原信号图.'）;

grid;

图5150HZ采样后的信号的重建信号

图6300HZ采样后的信号的重建信号

3•采样信号的抽取和插值

99

⑴•已知信号xt（m1）cos2：

（100m50）t，以f^20000Hz采样频率采样

m=0

后，设计抽取因子D和滤波器，分离出如下信号m=1,2,3……50信号组分。

参考程序如下：

求信号频谱及相应的滤波器。

t=0:

.00025:

1;%Timevector

x=sin（2*pi*30*t）+sin（2*pi*60*t）;

figure

（1）

subplot（211）

stem（t（1:

120）,x（1:

120））;holdon

y=decimate（x,4）;

%Viewtheoriginalanddecimatedsignals:

stem（x（1:

120））,axis（[0120

-22]）%Originalsignal

title（'OriginalSignal'）

subplot（212）

stem（y（1:

30））%Decimatedsignal

title（'DecimatedSignal'）

4999

⑵•已知信号X1（t（m+1）coS2兀（100n+31））,X2（t）=E（m+1）coS2兀（100n+37）t）,以

mzfim^O

fs“0000Hz采样频率采样后，设计插值因子I和滤波器，合成信号X,tX2t

参考程序如下：

%File_C3:

UpSampl.m

%该程序仿真通过零阶保持内插对信号进行上抽样，分析上抽样对信号频谱的影响

clearall

clc

f0=0.06;%信号数字频率

N=256;

dt=1;%抽样时间

t=[0:

N-1]*dt;

sig=sin（2*pi*f0*t）;

I=4;%内插因子

N仁N*l;

Addsig（1:

N1）=0;

fork=1:

N

fori=1:

l

Addsig（l*k-l+i）=sig（k）;%对原始数字信号补零内插，抽样时间

变为dL『I

end

end

figure

（1）

subplot（2,1,1）

t2=[0:

N1-1];

stem（t,sig）;

title（'Original'）

xlabel（'Sampletime/n'）

axis（[019-1.21.2]）

subplot（2,1,2）

stem（Addsig）;axis（[080-1.21.2]）xlabel（'Sampletime/n'）title（'SignaloutputofZero-orderholdinterpolator'）

Am=fft（sig）;

AddAm=fft（Addsig）;f1=[0:

2/N:

2-1/N];

f2=[0:

2/N1:

2-1/N1];

figure

（2）subplot（2,1,1）plot（f1,20*log10（abs（Am）））;

axis（[01-2060]）;ylabel（'Amplitude（dB）'）xlabel（'\omega/\pi'）title（'AmplitudeSpectrum'）subplot（2,1,2）

plot（f2,20*log10（abs（AddAm）））axis（[01-2060]）;

ylabel（'Amplitude（dB）'）xlabel（'\omega/\pi'）

title（'AmplitudeSpectrumofZero-orderholdinterpolationsignal'）[b,a]=butter（20,1/I）;%设计截止频率为pi/l，阶数为10的低通巴特沃思滤波器y=filter（b,a,Addsig）;%对补零后的信号进行低通滤波，完成上抽样过程

UpAm=fft（y）;

figure（3）subplot（2,1,1）plot（y）;

axis（[01023-1.21.2]）

title（'outputsignaloutofInterpolator'）xlabel（'Sampletime/n'）subplot（2,1,2）

plot（f2,20*log10（abs（UpAm）））axis（[01-3050]）;

ylabel（'Amplitude（dB）'）xlabel（'\omega/\pi'）

%File_C3:

UpSampl.m

%该程序仿真通过零阶保持内插对信号进行上抽样，分析上抽样对信号频谱的影响

clearall

clc

f0=0.06;%信号数字频率

N=256;

dt=1;%抽样时间

t=[0:

N-1]*dt;

sig=sin（2*pi*f0*t）;

I=4;%内插因子

N1=N*I;Addsig（1:

N1）=0;

fork=1:

Nfori=1:

I

Addsig（I*k-I+i）=sig（k）;%对原始数字信号补零内插，抽样时间

变为dL『I

endendfigure

（1）subplot（2,1,1）t2=[0:

N1-1];stem（t,sig）;title（'Original'）xlabel（'Sampletime/n'）axis（[019-1.21.2]）subplot（2,1,2）stem（Addsig）;axis（[080-1.21.2]）xlabel（'Sampletime/n'）title（'SignaloutputofZero-orderholdinterpolator'）Am=fft（sig）;

AddAm=fft（Addsig）;f1=[0:

2/N:

2-1/N];

f2=[0:

2/N1:

2-1/N1];

figure

（2）subplot（2,1,1）plot（f1,20*log10（abs（Am）））;

axis（[01-2060]）;ylabel（'Amplitude（dB）'）xlabel（'\omega/\pi'）title（'AmplitudeSpectrum'）subplot（2,1,2）plot（f2,20*log10（abs（AddAm）））

axis（[01-2060]）;ylabel（'Amplitude（dB）'）xlabel（'\omega/\pi'）title（'AmplitudeSpectrumofZero-orderholdinterpolationsignal'）[b,a]=butter（20,1/I）;%设计截止频率为pi/l，阶数为10的低通巴特沃思滤波器y=filter（b,a,Addsig）;%对补零后的信号进行低通滤波，完成上抽样过程

UpAm=fft（y）;

figure（3）subplot（2,1,1）plot（y）;

axis（[01023-1.21.2]）title（'outputsignaloutofInterpolator'）xlabel（'Sampletime/n'）subplot（2,1,2）plot（f2,20*log10（abs（UpAm）））axis（[01-3050]）;ylabel（'Amplitude（dB）'）xlabel（'\omega/\pi'）

四．设计结果及分析

五．结论

六．参考文献

重要参考设计.

理想矩形滤波器的时域表示

clear;clc;fh=100;forI=1:

4k=I;fs=k*2*fh;N=10*k;n=-N:

N;dt=1/fs;T=N*dt;t=-T:

dt:

T;

%h=2*fh/fs*sinc（n/k）;

%h=sinc（n/k）;subplot（2,2,I）plot（t,h）;holdon；stem（t,h）;holdon;plot（t,zeros（length（t））,'linewidth',3）;title（['fs/2fh=k,k=',num2str（k）],'fontsize',28）;axis（'off'）end