中考特殊平行四边形证明及计算经典习题及答案.docx
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中考特殊平行四边形证明及计算经典习题及答案
中考特殊平行四边形证明及计算经典习题及答案
DSE金牌数学专题系列经典专题系列
初中数学中考特殊四边形证明及计算
一.解答题
1.
(1)如图①,▱ABCD的对角线AC,BD交于点O,直线EF过点O,分别交AD,BC于点E,F.
求证:
AE=CF.
(2)如图②,将▱ABCD(纸片)沿过对角线交点O的直线EF折叠,点A落在点A1处,点B落在点B1处,设FB1交CD于点G,A1B1分别交CD,DE于点H,I.
求证:
EI=FG.
考点:
平行四边形的性质;全等三角形的判定与性质;翻折变换(折叠问题).718351
分析:
(1)由四边形ABCD是平行四边形,可得AD∥BC,OA=OC,又由平行线的性质,可得∠1=∠2,继而利用ASA,即可证得△AOE≌△COF,则可证得AE=CF.
(2)根据平行四边形的性质与折叠性质,易得A1E=CF,∠A1=∠A=∠C,∠B1=∠B=∠D,继而可证得△A1IE≌△CGF,即可证得EI=FG.
解答:
证明:
(1)∵四边形ABCD是平行四边形,
∴AD∥BC,OA=OC,
∴∠1=∠2,
在△AOE和△COF中,
,∴△AOE≌△COF(ASA),∴AE=CF;
(2)∵四边形ABCD是平行四边形,∴∠A=∠C,∠B=∠D,由
(1)得AE=CF,
由折叠的性质可得:
AE=A1E,∠A1=∠A,∠B1=∠B,
∴A1E=CF,∠A1=∠A=∠C,∠B1=∠B=∠D,又∵∠1=∠2,∴∠3=∠4,∵∠5=∠3,∠4=∠6,∴∠5=∠6,在△A1IE与△CGF中,
,∴△A1IE≌△CGF(AAS),∴EI=FG.
点评:
此题考查了平行四边形的性质、折叠的性质以及全等三角形的判定与性质.此题难度适中,注意掌握折叠前后图形的对应关系,注意数形结合思想的应用.
2.在△ABC中,AB=AC,点P为△ABC所在平面内一点,过点P分别作PE∥AC交AB于点E,PF∥AB交BC于点D,交AC于点F.若点P在BC边上(如图1),此时PD=0,可得结论:
PD+PE+PF=AB.
请直接应用上述信息解决下列问题:
当点P分别在△ABC内(如图2),△ABC外(如图3)时,上述结论是否成立?
若成立,请给予证明;若不成立,PD,PE,PF与AB之间又有怎样的数量关系,请写出你的猜想,不需要证明.
考点:
平行四边形的性质.718351
专题:
探究型.
分析:
在图2中,因为四边形PEAF为平行四边形,所以PE=AF,又三角形FDC为等腰三角形,所以FD=PF+PD=FC,即PE+PD+PF=AC=AB,在图3中,PE=AF可证,FD=PF﹣PD=CF,即PF﹣PD+PE=AC=AB.
解答:
解:
图2结论:
PD+PE+PF=AB.
证明:
过点P作MN∥BC分别交AB,AC于M,N两点,
∵PE∥AC,PF∥AB,
∴四边形AEPF是平行四边形,
∵MN∥BC,PF∥AB
∴四边形BDPM是平行四边形,
∴AE=PF,∠EPM=∠ANM=∠C,
∵AB=AC,
∴∠EMP=∠B,
∴∠EMP=∠EPM,
∴PE=EM,
∴PE+PF=AE+EM=AM.
∵四边形BDPM是平行四边形,
∴MB=PD.
∴PD+PE+PF=MB+AM=AB,
即PD+PE+PF=AB.
图3结论:
PE+PF﹣PD=AB.
点评:
此题主要考查了平行四边形的性质,难易程度适中,读懂信息,把握规律是解题的关键.
3.如图,△ABC是等边三角形,点D是边BC上的一点,以AD为边作等边△ADE,过点C作CF∥DE交AB于点F.
(1)若点D是BC边的中点(如图①),求证:
EF=CD;
(2)在
(1)的条件下直接写出△AEF和△ABC的面积比;
(3)若点D是BC边上的任意一点(除B、C外如图②),那么
(1)中的结论是否仍然成立?
若成立,请给出证明;若不成立,请说明理由.
考点:
平行四边形的判定与性质;全等三角形的判定与性质;等边三角形的性质.718351
专题:
证明题.
分析:
(1)根据△ABC和△AED是等边三角形,D是BC的中点,ED∥CF,求证△ABD≌△CAF,进而求证四边形EDCF是平行四边形即可;
(2)在
(1)的条件下可直接写出△AEF和△ABC的面积比;
(3)根据ED∥FC,结合∠ACB=60°,得出∠ACF=∠BAD,求证△ABD≌△CAF,得出ED=CF,进而求证四边形EDCF是平行四边形,即可证明EF=DC.
解答:
(1)证明:
∵△ABC是等边三角形,D是BC的中点,
∴AD⊥BC,且∠BAD=∠BAC=30°,
∵△AED是等边三角形,
∴AD=AE,∠ADE=60°,
∴∠EDB=90°﹣∠ADE=90°﹣60°=30°,
∵ED∥CF,
∴∠FCB=∠EDB=30°,∵∠ACB=60°,∴∠ACF=∠ACB﹣∠FCB=30°,
∴∠ACF=∠BAD=30°,在△ABD和△CAF中,
,
∴△ABD≌△CAF(ASA),∴AD=CF,∵AD=ED,
∴ED=CF,又∵ED∥CF,∴四边形EDCF是平行四边形,∴EF=CD.
(2)解:
△AEF和△ABC的面积比为:
1:
4;
(3)解:
成立.
理由如下:
∵ED∥FC,
∴∠EDB=∠FCB,
∵∠AFC=∠B+∠BCF=60°+∠BCF,∠BDA=∠ADE+∠EDB=60°+∠EDB
∴∠AFC=∠BDA,
在△ABD和△CAF中,
∴△ABD≌△CAF(AAS),
∴AD=FC,
∵AD=ED,
∴ED=CF,
又∵ED∥CF,
∴四边形EDCF是平行四边形,
∴EF=DC.
点评:
此题主要考查学生对平行四边形的判定和性质、全等三角形的判定和性质、等边三角形的性质的理解和掌握.此题涉及到的知识点较多,综合性较强,难度较大.
4.如图,在菱形ABCD中,AB=10,∠BAD=60度.点M从点A以每秒1个单位长的速度沿着AD边向点D移动;设点M移动的时间为t秒(0≤t≤10).
(1)点N为BC边上任意一点,在点M移动过程中,线段MN是否一定可以将菱形分割成面积相等的两部分并说明理由;
(2)点N从点B(与点M出发的时刻相同)以每秒2个单位长的速度沿着BC边向点C移动,在什么时刻,梯形ABNM的面积最大并求出面积的最大值;
(3)点N从点B(与点M出发的时刻相同)以每秒a(a≥2)个单位长的速度沿着射线BC方向(可以超越C点)移动,过点M作MP∥AB,交BC于点P.当△MPN≌△ABC时,设△MPN与菱形ABCD重叠部分的面积为S,求出用t表示S的关系式,井求当S=0时的值.
考点:
菱形的性质;二次函数的最值;全等三角形的性质.718351
专题:
压轴题.
分析:
(1)菱形被分割成面积相等的两部分,那么分成的两个梯形的面积相等,而两个梯形的高相等,只需上下底的和相等即可.
(2)易得菱形的高,那么用t表示出梯形的面积,用t的最值即可求得梯形的最大面积.
(3)易得△MNP的面积为菱形面积的一半,求得不重合部分的面积,让菱形面积的一半减去即可.
解答:
解:
(1)设:
BN=a,CN=10﹣a(0≤a≤10)
因为,点M从点A以每秒1个单位长的速度沿着AD边向点D移动,点M移动的时间为t秒(0≤t≤10)
所以,AM=1×t=t(0≤t≤10),MD=10﹣t(0≤t≤10).
所以,梯形AMNB的面积=(AM+BN)×菱形高÷2=(t+a)×菱形高÷2;
梯形MNCD的面积=(MD+NC)×菱形高÷2=[(10﹣t)+(10﹣a)]×菱形高÷2
当梯形AMNB的面积=梯形MNCD的面积时,
即t+a=10,(0≤t≤10),(0≤a≤10)
所以,当t+a=10,(0≤t≤10),(0≤a≤10)时,可出现线段MN一定可以将菱形分割成面积相等的两部分.
(2)点N从点B以每秒2个单位长的速度沿着BC边向点C移动,设点N移动的时间为t,可知0≤t≤5,
因为AB=10,∠BAD=60°,所以菱形高=5,
AM=1×t=t,BN=2×t=2t.
所以梯形ABNM的面积=(AM+BN)×菱形高÷2=3t×5×=t(0≤t≤5).
所以当t=5时,梯形ABNM的面积最大,其数值为.
(3)当△MPN≌△ABC时,
则△ABC的面积=△MPN的面积,则△MPN的面积为菱形面积的一半为25;
因为要全等必有MN∥AC,
∴N在C点外,所以不重合处面积为×(at﹣10)2×
∴重合处为S=25﹣,
当S=0时,即PM在CD上,
∴a=2.
点评:
本题考查了菱形以及相应的三角函数的性质,注意使用两条平行线间的距离相等等条件.
5.如图,在下列矩形ABCD中,已知:
AB=a,BC=b(a<b),假定顶点在矩形边上的菱形叫做矩形的内接菱形,现给出(Ⅰ)、(Ⅱ)、(Ⅲ)三个命题:
命题(Ⅰ):
图①中,若AH=BG=AB,则四边形ABGH是矩形ABCD的内接菱形;
命题(Ⅱ):
图②中,若点E、F、G和H分别是AB、BC、CD和DE的中点,则四边形EFGH是矩形ABCD的内接菱形;
命题(Ⅲ):
图③中,若EF垂直平分对角线AC,变BC于点E,交AD于点F,交AC于点O,则四边形AECF是矩形ABCD的内接菱形.
请解决下列问题:
(1)命题(Ⅰ)、(Ⅱ)、(Ⅲ)都是真命题吗?
请你在其中选择一个,并证明它是真命题或假命题;
(2)画出一个新的矩形内接菱形(即与你在
(1)中所确认的,但不全等的内接菱形).
(3)试探究比较图①,②,③中的四边形ABGH、EFGH、AECF的面积大小关系.
考点:
菱形的判定与性质;全等三角形的判定与性质;线段垂直平分线的性质;三角形中位线定理;矩形的性质;命题与定理.718351
分析:
(1)①先证明是平行四边形,再根据一组邻边相等证明;
②根据三角形中位线定理得到四条边都相等;
③先根据三角形全等证明是平行四边形,再根据对角线互相垂直证明是菱形;
(2)先作一条对角线,在作出它的垂直平分线分别与矩形的边相交,连接四个交点即可.
(3)分别表示出三个菱形的面积,根据边的关系即可得出图
(1)图
(2)的面积都小于图(3)的面积;根据a与b的大小关系,分a>2b,a=2b和a<2b三种情况讨论.
解答:
解:
(1)都是真命题;
若选(Ⅰ)证明如下:
∵矩形ABCD,
∴AD∥BC,
∵AH=BG,
∴四边形ABGH是平行四边形,
∴AB=HG,
∴AB=HG=AH=BG,
∴四边形ABGH是菱形;
若选(Ⅱ),证明如下:
∵矩形ABCD,
∴AB=CD,AD=BC,
∠A=∠B=∠C=∠D=90°,
∵E、F、G、H是中点,
∴AE=BE=CG=DG,AH=HD=BF=FC,
∴△AEH≌△BEF≌△DGH≌△GCF,
∴EF=FG=GH=HE,
∴四边形EFGH是菱形;
若选(Ⅲ),证明如下
∵EF垂直平分AC,
∴FA=FC,EA=EC,
又∵矩形ABCD,
∴AD∥BC,
∴∠FAC=∠ECA,
在△AOF和△COE中,
,
∴△ADF≌△COE(SAS)
∴AF=CE,
∴AF=FC=CE=EA,
∴四边形AECF是菱形;
(2)如图4所示:
AH=CF,EG垂直平分对角线FH,四边形HEFG是菱形;
(3)SABGH=a2,
SEFGH=ab,
S菱形AECF=,
∵﹣a2==>0(b>a)
∴S菱形AECF>SABGH.
∵﹣ab===>0,
∴S菱形AECF>SEFGH.
∵a2﹣ab=a
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