分式的加减法教案一.docx

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分式的加减法教案一

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分式的加减法

教学目标

（一）教学知识点

1．同分母的分式的加减法的运算法则及其应用．

2．简单的异分母的分式相加减的运算．

（二）能力训练要求

1．经历用字母表示数量关系的过程，发展符号感．

2．会进行同分母分式的加减运算和简单的异分母分式的加减运算，并能类

比分数的加减运算，得出同分母分式的加减法的运算法则，发展有条理的思考

及其语言表达能力．

（三）情感与价值观要求

1．从现实情境中提出问题，提高“用数学”的意识．

2．结合已有的数学经验，解决新问题，获得成就感以及克服困难的方法和

勇气．

教学重点

1．同分母的分式加减法．

2．简单的异分母的分式加减法．

教学难点

当分式的分子是多项式时的分式的减法．

教学方法

启发与探究相结合

教具准备

投影片四张：

第一张：

提出问题，（记作§3．3．1 A）;

第二张：

想一想，做一做，（记作§3．3．1 B）；

第三张：

想一想，（记作§3．3．1 C）;

第四张：

议一议，（记作§3．3．1 D）;

第五张：

例 1，记作（§3．3．1 E）；

第六张：

补充练习，（记作§3．3．1 F）．

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教学过程

Ⅰ．创设现实情境，提出问题

［师］上一节我们学习了分式的乘除法运算法则，学会了分式乘除法的运

算，这节课我们先来看下面的问题：

（出示投影片 §3．3．1 A）

问题一：

从甲地到乙地有两条路，每条路都是 3 km，其中第一条是平路，

第二条有 1 km 的上坡路、 2 km 的下坡路．小丽在上坡路上的骑车速度为v

km/h,在平路上的骑车速度为 2 v km/h,在下坡路上的骑车速度为 3v km/h,那么

（1）当走第二条路时，她从甲地到乙地需多长时间?

（2）她走哪条路花费的时间少？

少用多长时间？

问题二：

某人用电脑录入汉字文稿的效率相当于手抄的3 倍，设他手抄的速

度为 a 字/时，那么他录入 3000 字文稿比手抄少用多少时间？

［生］问题一，根据题意可得下列线段图：

12

v3v

（2）走第一条路，小丽从甲地到乙地需要的时间为 3 h．但要求出小丽走

2v

123

v3v2v

需要用它们中的较大者减去较小者，便可求出．

123

v3v2v

中都含有字母．

［生］比较两个数的大小，我们可以用作差法．例如有两个数 a,b．

如果 a－b＞0，则 a＞b;

如果 a－b=0,则 a=b；

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如果 a－b＜0,则 a＜b．

123

v3v2v

也是用来表示数的，所以我认为可以用实数比较大小的方法来做．

123

v3v2v

于零，小于零呢？

123

v3v2v

运算呢？

［生］分式的加减法．

［师］很好！

这正是我们这节课要学习的内容——分式的加减法（板书课

题）

我们再来看一下问题二．

［生］问题二中这个人用电脑录入 3000 字的文稿需

3000

3a

小时，利用分式

的基本性质化简，即为

1000                              3000

a                                 a

这个人录入 3000 字的文稿比手抄少用（

3000  1000

a     a

30001000

aaaa

［师］但和问题一中加减法比较一下，你会发现什么？

［生］问题一中的是异分母的分式相加减，而问题二是同分母的加减法．

［师］很好！

我们按研究问题的一般思路，从简单的学起即先学习同分母

的加减法．

Ⅱ．讲授新课

1．同分母的加减法

［师］我们接着看下面的问题（出示投影片§3．3．1 B）

想一想

（1）同分母的分数如何加减？

你能举例说明吗？

（2）你认为分母相同的分式应该如何加减？

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做一做

（1） 12 =____________．

aa

x 24

x - 2x - 2

x - 1x - 3

x + 1x + 1x + 1

［生］同分母的分数的加减是分母不变，把分子相加减，例如

4  3

13 13

174 + 3 - 1710

131313

我认为分母相同的分式相加减与同分母的分数相加减一样，应该是分母不

变，把分子相加减．

［师］谁能试着到黑板上板演“做一做”中的三个小题．

［生 1］解：

（1） 12 = 1 + 23 ;

aaaa

x 24x2 - 4

x - 2x - 2x - 2

［生 3］解：

x + 2  x - 1  x - 3

x + 1  x + 1  x + 1

=

x + 2 - x - 1 + x - 3

x + 1

=

x - 2

x + 1

．

［师］我们一块来讲评一下上面三位同学的运算过程．

［生］第（ 1）小题是正确的．第（ 2）小题没有把结果化简．应该为原式

x2 - 4（ x + 2）（ x - 2）

x - 2x - 2

［师］这位同学很仔细．我们学习分式乘除法时就强调运算结果必须是最

简的，如果分子、分母中有公因式，一定要把它约去，使分式最简．

［生］第（3）小题，我认为也有错误．同分母的分式相加减，分母不变，

把分子相加减，我觉得（ x+1）分母不变，做得对，但三个分式的分子 x+2、x

－1、x－3 相加减应为（x+2）－（x－1）+（x－3）．

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［师］的确如此，我们知道列代数式时，（ x－1）÷（x+1）要写成分式的

形式即 x - 1 ，因此分数线既有除号的作用，还有括号的作用，即分子、分母应

x + 1

该是一个整体．

［生］老师，是我做错了．第（3）题应为：

（3）

x + 2  x - 1  x - 3

x + 1  x + 1  x + 1

=

=

=

（ x + 2） - （ x - 1） + （ x + 3）

x + 1

x + 2 - x + 1 + x - 3

x + 1

x

x + 1

［师］发现问题，及时改正是一种很好的学习习惯，努力发扬，你一定会

取得更大进步．

通过前面做一做，想一想，我们可以得出同分母的分式相加减的法则：

同分母的分式相加减，分母不变，把分子相加减，用式子表示是：

aba ± b

ccc

零的整式）．

前面问题二现在可以完成了吧！

大胆地试一试．

［生］

3000  1000 3000 - 1000  2000

a     a       a       a

手抄少用

2000

a

个小时．

2．简单的异分母的分式相加减

［生］问题一还没有解决呢？

［师］是的，如果分式的分母不同，那么该如何加减呢？

同学们不妨凭借

自己的数学经验，合作交流，找到一个可行的方法．

出示投影片（§3．3．1 C）

想一想

（1）异分母的分数如何加减？

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1

a4a

［生 ］异分母的分数加减时，可利用分数的基本性质通分，把异分母的分

数加减法化成同分母的分数加减法

［生 ］我认为分式有很多地方和分数相类似，异分母的分式加减是否也可

以通过像分数那样通分，将异分母的分式加减法化成同分母的分式加减法．

［师 ］同学们的想法很好！

我这儿就有两位同学将异分母的分式加减化成

同分母的分式加减．（出示投影片 §3．3．1 D）

小明认为，只要把异分母的分式化成同分母的分式，异分母分式的加减问

题就变成了同分母分式的加减问题．小亮同意小明的这种看法，但他俩的具体

做法不同：

小明：

3  1  3 ⋅ 4a   a

+  =     +

a  4a  a ⋅ 4a  4a ⋅ a

=

12a   a  13a  13

+   =

4a  4a  4a  4a

小亮：

3  1  3 ⨯ 4  1

+  =    +

a  4a  a ⋅ 4  4a

113

4a4a4a

你对这两种做法有何评论？

与同伴交流．

［生 ］我觉得这两种做法都有一个共同的目标：

把异分母的分式加减法化

成同分母的分式加减 法．但 我 觉得小 亮 的方法更 简单． 就像分数运 算：

11114646105

64646 ⨯ 44 ⨯ 624242412

果 找6和4的 最 小 公 倍 数12 ， 算 起 来 就 很 方 便 ， 即

1123235

646 ⨯ 24 ⨯ 312 12 12

［生 ］我认为也是这样，根据分式的基本性质，异分母的分式可以化为同

分母的分式，这一过程称为分式的通分．但通分时为了简便，也应该像分数的

通分一样，找各个分母的最小公倍数．

［师］同学们分析得很有道理，为了计算简便，异分母分式通分时，通常

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取最简单的公分母（简称最简公分母）作为它们的公分母．例如

3  1

a  4a

4a 的最简公分母是 4a．下面我们再来看几个例子．

出示投影片（§3．3．1 E）

［例 1］计算：

a - 152x - 1

a5ax - 1 1 - x

［生］老师，我们组还是联系异分母的分数相加减的方法，利用分数的性

质，先通分，转化成同分母的就可以完成．

［生］我们组也是用了将异分母的分式相加减转化成同分母相加减的分式

运算．

［例 1］中的第

（1）题，一个分母是 a,另一个分母是 5a，利用分式的基本

性质，只需将第一个分式

3    3 ⨯ 5  15

a     5a  5a

解：

（1）

3  a - 15 15  a - 15

+     =   +

a   5a   5a   5a

=

=   = ;

5a     5a  5

［生］我们组也已完成了第（ 2）题．两个分式相加，一个分式的分母是 x

－1,另一个分式的分母是 1－x，我们注意到了 1－x=－（ x－1），所以要把

x - 1

1 - x

化 成 分 母 为 x － 1 的 分 式 ， 利 用 分 式 的 基 本 性 质 ， 得

x - 1（ x - 1） ⨯ （-1）1 - x

1 - x（1 - x） ⨯ （-1）x - 1

（2）

2   x - 1   2   1 - x

+    =    +

x - 1 1 - x  x - 1  x - 1

=

2 + （1 - x）  3 - x

=

x - 1    x - 1

［师］同学们能凭借自己的数学经验，将新出现的数学难题处理的有条有

理，很了不起．

［生］问题一可以出来结果啦．

（ 1 ）小丽当走第二条路时，她从甲地到乙地需要的时间为

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12323 + 25

v3v3v3v3v3v

（2）小丽走第一条路所用的时间为

3

2v

h．

作差可知

5    3  10   9   1

3v   2v  6v   6v  6v

少，少用

1

6v

h．

Ⅲ．应用、升华

1．随堂练习第 1 题

计算：

（1）

（2）

（3）

3b  b

x   x

1  1

+  ;

a  2a

a     a

a - b  b - a

解：

（1）

3b  b  3b - b  2b

x   x    x    x

（2）

（3）

1  1   2   1  2 + 1  3

+  =   +  =    =  ;

a  2a  2a  2a  2a  2a

a     a    a     - a

a - b  b - a  a - b  a - b

=

a - （-a）  2a

a - b   a - b

2．补充练习（出示投影片§3．3．1 F）

计算：

m + 2n   n     2n

n - m  m - n  n - m

解：

m + 2n  - n    2n

n - m  n - m  n - m

=

=

m + 2n（-n） - 2n

n - m

m - n  - （n - m）

n - m   n - m

Ⅵ．课时小结

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［师］这节课我们学习了分式的加减法，同学们课堂上思维非常活跃，想必

收获一定很大．

［生］我觉得我这节课最大的收获是：

“做一做”中犯的错误，在今后做

此类题的过程中，一定不会犯同样的错误．

［生］我的收获是学会用转化的思想将异分母的分式的加减法转化成同分

母分式的加减法．

……

Ⅴ．课后作业

习题 3．4 第 1、2、3 题．

Ⅵ．活动与探究

11

yxz

［ 过 程 ］ 已 知 条 件 实际 上 是 一 个 方 程 组 ，我 们 可 以 取 其 中 两 个 方 程

1

yx

1

y1 - x

1x - 1

xx

1x- 1xx - 1

z1 - xx - 1x - 1x - 1x - 1

板书设计

§3．3．1 分式的加减法

（一）

分数的加减法分式的加减法

同分母

异分母

做一做：

（学生板演）

分母不变，分子相加减  分母不变，分子相加

减．

转化为同分母          转化为同分母

（1）

1  2

+

a  a

x 24

x - 2x - 2

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x - 1x - 2

x + 1x + 1x + 1

［例 1］计算：

（1）

（2）

+

a   5a

+

x - 1 1 - x

注意：

1°分数线的括号作用，突出分子是整体．

2°计算结果要化成最简形式．