北师大版本初中九年级的数学下册的第1章导学案全集docx.docx

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1.1

锐角三角函数

第1课时正切与坡度

学习目标:

1.

经历探索直角三角形中边角关系的过程

.理解正切的意义和与现实生活的联系.

2.

能够用tanA表示直角三角形中两边的比，表示生活中物体的倾斜程度、

坡度等，外能够用正切进行简

单的计算.

学习重点:

1.从现实情境中探索直角三角形的边角关系.

2.理解正切、倾斜程度、坡度的数学意义，密切数学与生活的联系.

学习难点:

理解正切的意义，并用它来表示两边的比.

学习方法:

引导—探索法.

学习过程:

一、生活中的数学问题:

1、你能比较两个梯子哪个更陡吗？

你有哪些办法？

2、生活问题数学化：

⑴如图：

梯子AB和EF哪个更陡？

你是怎样判断的？

⑵以下三组中，梯子AB和EF哪个更陡？

你是怎样判断的？

1

二、直角三角形的边与角的关系（如图，回答下列问题）

⑴Rt△AB1C1和Rt△AB2C2有什么关系?

⑵B1C1和B2C2有什么关系？

AC1AC2

⑶如果改变B2在梯子上的位置（如B3C3）呢?

⑷由此你得出什么结论?

三、例题：

例1、如图是甲，乙两个自动扶梯，哪一个自动扶梯比较陡?

例2、在△ABC中，∠C=90°，BC=12cm，AB=20cm，求tanA和tanB的值.

四、随堂练习：

1、如图，△ABC是等腰直角三角形，你能根据图中所给数据求出tanC吗?

2、如图，某人从山脚下的点A走了200m后到达山顶的点B，已知点B到山脚的垂直距离为55m，求山的坡度.（结

果精确到0.001）

3、若某人沿坡度i＝3：

4的斜坡前进10米，则他所在的位置比原来的位置

升高________米.

4、菱形的两条对角线分别是16和12.较长的一条对角线与菱形的一边的夹角为θ，则

tanθ＝______.

2

5、如图，Rt△ABC是一防洪堤背水坡的横截面图，斜坡AB的长为12m，它的坡角为45°，为了提高该堤的

防洪能力，现将背水坡改造成坡比为1：

1.5的斜坡AD，求DB的长.（结果保留根号）

五、课后练习：

1、在Rt△ABC中,∠C=90°,AB=3,BC=1,则tanA=_______.

2、在△ABC中,AB=10,AC=8,BC=6,则tanA=_______.

3、在△ABC中,AB=AC=3,BC=4,则tanC=______.

4、在Rt△ABC中,∠C是直角,∠A、∠B、∠C的对边分别是a、b、c,且a=24,c=25,求tanA、tanB的值.

5、若三角形三边的比是25:

24:

7,求最小角的正切值.

6、如图,在菱形ABCD中,AE⊥BC于E,EC=1,tanB=5,求菱形的边长和四

12

A

D

边形AECD的周长.

BEC

7、已知:

如图,斜坡AB的倾斜角a,且tanα=3,现有一小球从坡底A处以20cm/s

4

的速度向坡顶B处移动,则小球以多大的速度向上升高?

B

AC

8、探究:

⑴、a克糖水中有b克糖（a>b>0）,则糖的质量与糖水质量的比为_______;若再添加c克糖（c>0）,则糖的质

量与糖水的质量的比为________.生活常识告诉我们:

添加的糖完全溶解后,糖水会更甜,请根据所列式子及

3

这个生活常识提炼出一个不等式:

____________.

⑵、我们知道山坡的坡角越大,则坡越陡,联想到课本中的结论:

tanA的值越大,则坡越陡,我们会得到一个

锐角逐渐变大时,它的正切值随着这个角的变化而变化的规律,请你写出这个规律:

_____________.

⑶、如图,在Rt△ABC中,∠B=90°,AB=a,BC=b（a>b）,延长BA、BC,使AE=CD=c,直线CA、DE交于点F,请运

用

（2）中得到的规律并根据以上提供的几何模型证明你提炼出的不等式.

4

1.1锐角三角函数

第2课时正弦与余弦

学习目标：

1.

经历探索直角三角形中边角关系的过程，理解正弦和余弦的意义.

2.

能够运用sinA、cosA表示直角三角形两边的比.

3.

能根据直角三角形中的边角关系，进行简单的计算.

4.理解锐角三角函数的意义.

学习重点：

1.理解锐角三角函数正弦、余弦的意义，并能举例说明.

2.能用sinA、cosA表示直角三角形两边的比.

3.能根据直角三角形的边角关系，进行简单的计算.

学习难点：

用函数的观点理解正弦、余弦和正切.

学习方法：

探索——交流法.

学习过程：

一、正弦、余弦及三角函数的定义

想一想：

如图

（1）直角三角形AB1C1和直角三角形AB2C2有什么关系?

（2）A1C1和A2C2有什么关系?

BC1和BC2呢?

BA1BA2BA1BA2

（3）如果改变A2在梯子A1B上的位置呢?

你由此可得出什么结论?

（4）如果改变梯子A1B的倾斜角的大小呢?

你由此又可得出什么结论?

请讨论后回答.

二、由图讨论梯子的倾斜程度与sinA和cosA的关系：

三、例题：

例1、如图，在Rt△ABC中，∠B=90°，AC＝200.sinA＝0.6，求BC的长.

5

例2、做一做：

如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，cosA＝12，AC＝10，AB等于多少?

sinB呢?

cosB、sinA呢?

你还能得出类

13

似例1的结论吗?

请用一般式表达.

四、随堂练习：

1、在等腰三角形ABC中，AB=AC＝5，BC=6，求sinB，cosB，tanB.

4

2、在△ABC中，∠C＝90°，sinA＝

，BC=20，求△ABC的周长和面积.

3、在△ABC中.∠C=90°，若tanA=1，则sinA=.

2

4、已知：

如图，

CD是Rt△ABC的斜边AB上的高，求证：

2

BC＝AB·BD.（用正弦、余弦函数的定义证明）

五、课后练习：

1、在Rt△ABC中,∠C=90°,tanA=3,则sinB=_______,tanB=______.

4

2、在Rt△ABC中,∠C=90°,AB=41,sinA=9,则AC=______,BC=_______.

41

6

3、在△ABC中,AB=AC=10,sinC=

4,则BC=_____.

5

4、在△ABC中,已知AC=3,BC=4,AB=5,那么下列结论正确的是

（）

A.sinA=

3

B.cosA=

3

3

D.cosB=

3

4

5

C.tanA=

5

4

5、如图,在△ABC中,∠C=90°,sinA=

3,则BC

等于（）

B

5AC

A.3

B.

4

C.

3

D.

4

A

C

4

3

5

5

3

6、Rt△ABC中,∠C=90°,已知cosA=,那么tanA等于（）

A.4

B.

3

C.

4

D.

5

3

4

5

4

7、在△ABC中，∠C=90°,BC=5,AB=13,则sinA的值是

A．5

B

．12

C

．5

D

．12

13

13

12

5

8、已知甲、乙两坡的坡角分别为

α、β,

若甲坡比乙坡更徒些

则下列结论正确的是（）

A.tanαcosβ

9、如图,在Rt△ABC中,CD是斜边AB上的高,则下列线段的比中不等于sinA的是（）

A.

CD

B.

DB

C.

CB

D.

CD

AC

CB

AB

CB

10、某人沿倾斜角为β的斜坡前进100m,则他上升的最大高度是（）m

B

D

100

100

A

C

A.

B.100sin

βC.

D.100cos

β

sin

cos

11、如图,分别求∠α,∠β的正弦,余弦,和正切.

12、在△ABC中,AB=5,BC=13,AD是BC边上的高,AD=4.求:

CD,sinC.

13、在Rt△ABC中,∠BCA=90°,CD是中线,BC=8,CD=5.求sin∠ACD,cos∠ACD和tan∠ACD.

7

14、在Rt△ABC中,∠C=90°,sinA和cosB有什么关系?

15、如图,已知四边形ABCD中,BC=CD=DB,∠ADB=90°,cos∠ABD=4.求：

s△ABD：

s△BCD

5

C

D

AB

8

1.230°，45°，60°角的三角函数值

学习目标：

1.

经历探索30°、45°、60°角的三角函数值的过程，能够进行有关的推理

.进一步体会三角函数的意

义.

2.

能够进行30°、45°、60°角的三角函数值的计算.

3.

能够根据30°、45°、60°的三角函数值说明相应的锐角的大小.

学习重点：

1.探索30°、45°、60°角的三角函数值.

2.能够进行含30°、45°、60°角的三角函数值的计算.

3.比较锐角三角函数值的大小.

学习难点：

进一步体会三角函数的意义.

学习方法：

自主探索法

学习过程：

一、问题引入

[问题]为了测量一棵大树的高度，准备了如下测量工具：

①含30°和60°两个锐角的三角尺；②皮尺.

请你设计一个测量方案，能测出一棵大树的高度.

二、新课

[问题]1、观察一副三角尺，其中有几个锐角?

它们分别等于多少度?

[问题]2、sin30°等于多少呢?

你是怎样得到的?

与同伴交流.

[问题]3、cos30°等于多少?

tan30°呢?

[问题]4、我们求出了30°角的三个三角函数值，还有两个特殊角——45°、60°，它们的三角函数值

分别是多少?

你是如何得到的?

结论：

三角函数

角度sinαcoαtanα

30°

45°

60°

[例1]计算：

（1）sin30°+cos45°；

（2）sin260°+cos260°-tan45°.

9

[例2]一个小孩荡秋千，秋千链子的长度为2.5m，当秋千向两边摆动时，摆角恰好为60°，且两边的

摆动角度相同，求它摆至最高位置时与其摆至最低位置时的高度之差.（结果精确到0.01m）

三、随堂练习

1.计算：

（1）sin60°-tan45°；

（2）cos60°+tan60°；

（3）

2sin45°+sin60°-2cos45°；

⑷

1

2

；

2

sin30

3

1

⑸（2+1）-1+2sin30°-8；⑹（1+2）0-｜1-sin30°｜1+

（1）-1；

2

⑺sin60°+

1

；

-3

-（

0

-cos60

°-

1

tan60

⑻2

2003+π）

.

1

1

2

2.某商场有一自动扶梯，其倾斜角为30°.高为7m，扶梯的长度是多少?

3．如图为住宅区内的两幢楼，它们的高AB＝CD=30m，两楼问的距离AC=24m，现需了解甲楼对乙楼的采光

影响情况.当太阳光与水平线的夹角为30°时，求甲楼的影子在乙楼上有多高?

（精确到0.1m，2≈1.41，

3≈1.73）

四、课后练习：

1、Rt△ABC中，A60,c8，则a_____,b_____；

2、在△ABC中，若c23,b2,，则tanB____，面积S＝；

3、在△ABC中，AC：

BC＝1：

3，AB＝6，∠B＝，AC＝BC＝

4、等腰三角形底边与底边上的高的比是2:

3，则顶角为（）

10

（A）600（B）900（C）1200（D）1500

5、有一个角是

30的直角三角形，斜边为

1cm，则斜边上的高为

（

）

（A）1cm

（B）1cm

（C）

3cm

（D）

3cm

4

2

4

2

6、在ABC中，

C

90

，若B2

A，则tanA等于（

）．

（A）3

（B）

3

（C）

3

（D）1

3

2

2

7、如果∠a是等边三角形的一个内角，那么

cos

a的值等于（

）．

1

（B）

2

3

（D）1

20米

（A）

2

（C）

2

2

8、某市在“旧城改造”中计划内一块如图所示的三角形空地上种植某种草皮以美化环境，

方米a元，则购买这种草皮至少要（

）．

（）450

a

元

（）225

a

元

（）150

元

（）300

元

A

B

Ca

D

a

9、计算：

⑴、sin260

cos260

⑵、sin60

2sin30cos30

⑶、sin30cos245⑷、2cos4523

0

0

3cos600

⑸、2sin60

3cos45

⑹、

0

1

5sin30

⑺、2sin230·tan30cos60tan60°⑻、sin245tan230

30米

150

已知这种草皮每平

10、请设计一种方案计算tan15°的值。

11

1.3三角函数的计算

学习目标：

1.经历探索船是否有触礁危险的过程，进一步体会三角函数在解决问题过程中的应用.

2.能够把实际问题转化为数学问题，能够借助于计算器进行有关三角函数的计算，并能对结果的意义进行说明.

学习重点：

1.经历探索船是否有触礁危险的过程，进一步体会三角函数在解决问题过程中的作用.

2.发展学生数学应用意识和解决问题的能力.

学习难点：

根据题意，了解有关术语，准确地画出示意图.

学习方法：

探索——发现法

学习过程：

一、问题引入：

海中有一个小岛A，该岛四周10海里内有暗礁.今有货轮由西向东航行，开始在A岛南偏西55°的B处，

往东行驶20海里后，到达该岛的南偏西25°的C处，之后，货轮继续往东航行，你认为货轮继续向东航行

途中会有触礁的危险吗?

你是如何想的?

与同伴进行交流.

二、解决问题：

1、如图，小明想测量塔CD的高度.他在A处仰望塔顶，测得仰角为30°，再往塔的方向前进50m至B处.测

得仰角为60°.那么该塔有多高?

（小明的身高忽略不计，结果精确到1m）

2、某商场准备改善原来楼梯的安全性能，把倾角由40°减至35°，已知原楼

梯长为4m，调整后的楼梯会加长多少？

楼梯多占多长一段地面?

（结果精确到

0.0lm）

三、随堂练习

1.如图，一灯柱AB被一钢缆CD固定，CD与地面成40°夹角，且DB＝5m，现再在C点上方2m处加固

12

另一条钢缆ED，那么钢缆ED的长度为多少?

2.如图,水库大坝的截面是梯形ABCD.坝顶AD＝6m，坡长CD＝8m.坡底BC＝30m，∠ADC=135°.

（1）求∠ABC的大小：

（2）如果坝长100m.那么建筑这个大坝共需多少土石料?

（结果精确到0.01m3）

3．如图，某货船以

20

海里／时的速度将一批重要物资由

A处运往正西方向的B处，经16小时的航行到达，

到达后必须立即卸货

.此时.接到气象部门通知，一台风中心正以

40海里／时的速度由A向北偏西60°方向

移动，距台风中心

200

海里的圆形区域（包括边界）均受到影响.

（1）问：

B处是否会受到台风的影响?

请说明理由.

（2）为避免受到台风的影响，该船应在多少小时内卸完货物?

（供选用数据：

2≈1.4，3≈1.7）

四、课后练习：

1.有一拦水坝是等腰楼形,它的上底是6米,下底是10米,高为23米,求此拦水坝斜坡的坡度和坡角.

2.如图,太阳光线与地面成60°角,一棵大树倾斜后与地面成36°角,这时测得大树在地面上的影长约为10

米,求大树的长（精确到0.1米）.

A太阳光线

3660

DCB

3.如图,公路MN和公路PQ在点P处交汇,且∠QPN=30°,点A处有一所学校,AP=160米,假设拖拉机行驶时,周围100米以内会受到噪声的影响,那么拖拉机在公路MN上沿PN的方向行驶时,学校是否会受到噪声影响?

请

13

说明理由.

N

PAQ

M

4.如图,某地为响应市政府“形象重于生命”的号召,在甲建筑物上从点A到点E挂一长为30米的宣传条幅,

在乙建筑物的顶部D点测得条幅顶端A点的仰角为40°,测得条幅底端E的俯角为26°,求甲、乙两建筑物的水平距离BC的长（精确到0.1米）.

A

FD

E

BC

5.如图,小山上有一座铁塔AB,在D处测得点A的仰角为∠ADC=60°,点B的仰角为∠BDC=45°;在E处测得A

的仰角为∠E=30°,并测得DE=90米,求小山高BC和铁塔高AB（精确到0.1米）.

E

6.某民航飞机在大连海域失事,为调查失事原因,决定派海军潜水员打捞飞机上的黑匣子

在A处以每小时8海里的速度向正东方向划行,在A处测得黑匣子B在北偏东60°

的方向,划行半小时后到达C处,测得黑匣子B在北偏东30°的方向,在潜水员继

续向东划行多少小时,距离黑匣子B最近,并求最近距离.

A

B

DC

如图所示,一潜水员

北F

6030

AC

A

7.以申办2010年冬奥会,需改变哈尔滨市的交通状况,在大直街拓宽工程中,要伐掉一棵树

AB,在地面上事先划定以B为圆心,半径与AB等长的圆形危险区,现在某工人站在离B点3

60

C30E

14

DB

米远的D处测得树的顶点A的仰角为60°,树的底部B点的俯角为30°,如图所示,问距离B点8米远的保护

物是否在危险区内?

8.如图,某学校为了改变办学条件,计划在甲教学楼的正北方

21米处的一块空

A

C

地上（BD=21米）,再建一幢与甲教学等高的乙教学楼

（甲教学楼的高AB=20米）,

甲

乙

设计要求冬至正午时,太阳光线必须照射到乙教学楼距地面

5米高的二楼窗口

南

教

30

教

学

学

处,已知该地区冬至正午时太阳偏南

太阳光线与水平线夹角为

30°,试判断:

楼

楼

B

D

计划所建的乙教学楼是否符合设计要求

?

并说明理由.

9.如图,两条带子,带子α的宽度为2cm,带子b的宽度为1cm,它们相交成α角,如

果重叠部分的面积为

2

a

4cm,求α的度数.

b

15

1.4

解直角三角形

课题

解直角三角形

学习目标

1、使学生综合运用有关直角三角形知识解决实际问题．

2、培养学生分析问题、解决问题的能力，渗透数形结合的数学思想方法．

学习重点

归纳直角三角形的边、角之间的关系，利用这些关系式解直角三角形，并利用解

直角三角形的有关知识解决实际问题．

学习难点

利用解直角三角形的有关知识解决实际问题．

学习用具

执教者

学习内容

共

案

个

案

一、新课引入：

1、什么是解直角三角形？

2、在Rt△ABC中，除直角C外的五个元素间具有什么关系？

请学生回答以上二小题，因为本节课